1、第四節一、立體體積一、立體體積 二、曲面的面積二、曲面的面積 三、物體的質心三、物體的質心 四、物體的轉動慣量四、物體的轉動慣量 五、物體的引力五、物體的引力 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 重積分的應用 第九章 1. 能用重積分解決的實際問題的特點所求量是 對區域具有可加性 從定積分定義出發 建立積分式 用微元分析法 (元素法) 分布在有界閉域上的整體量 3. 解題要點 畫出積分域、選擇坐標系、確定積分序、 定出積分限、計算要簡便 2. 用重積分解決問題的方法 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 一、立體體積一、立體體積 曲頂柱體曲頂柱體的頂為連續曲面),(yxfz 則其體積為Dyxyx

2、fVdd),(,),(Dyx 占有空間有界域空間有界域 的立體的體積為zyxVddd機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 1:221yxzS任一點的切平面與曲面222:yxzS所圍立體的體積 V . 解解: 曲面1S的切平面方程為202000122yxyyxxz它與曲面22yxz的交線在 xoy 面上的投影為1)()(2020yyxxyxVDdd 22yx 202000122yxyyxxyxDdd 12020)()(yyxxsin,cos00ryyrxx令2(記所圍域為D ),(000zyx在點Drrrdd2例例1. 求曲面rr dd10320機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 xoyza2例例

3、2. 求半徑為a 的球面與半頂角為 的內接錐面所圍成的立體的體積.解解: 在球坐標系下空間立體所占區域為:則立體體積為zyxVdddcos202darrdsincos316033a)cos1(3443acos20ar 0200dsin20drrvdddsind2rM機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 MAdzdn二、曲面的面積二、曲面的面積xyzSo設光滑曲面DyxyxfzS),( , ),(:則面積 A 可看成曲面上各點),(zyxM處小切平面的面積 d A 無限積累而成. 設它在 D 上的投影為 d ,Adcosd),(),(11cos22yxfyxfyxd),(),(1d22yxfyxf

4、Ayx(稱為面積元素)則Mnd機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 故有曲面面積公式d),(),(122DyxyxfyxfAyxyzxzADdd)()(122若光滑曲面方程為zyzxyxAdd)()(122,),( , ),(zyDzyzygx則有zyD即機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 xzxyzyAdd)()(122若光滑曲面方程為 ,),( , ),(xzDxzxzhy若光滑曲面方程為隱式,0),(zyxF則則有yxzyzxDyxFFyzFFxz),(,AyxDxzDzzyxFFFF222,0zF且yxdd機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 例例3. 計算雙曲拋物面yxz 被柱面222R

5、yx所截解解: 曲面在 xoy 面上投影為,:222RyxD則yxzzADyxdd122yxyxDdd122rrrRd1d0220 )1)1( 32232R出的面積 A .機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 例例4. 計算半徑為 a 的球的表面積.解解:設球面方程為 ar球面面積元素為ddsind2aA 0202dsindaA24asinada方法方法2 利用直角坐標方程. (見書 P109)方法方法1 利用球坐標方程.axyzoddsina機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 三、物體的質心三、物體的質心設空間有n個質點, ),(kkkzyx其質量分別, ),2, 1(nkmk由力學知, 該質

6、點系的質心坐標,11nkknkkkmmxx,11nkknkkkmmyynkknkkkmmzz11設物體占有空間域 ,),(zyx有連續密度函數則 公式 ,分別位于為為即:采用 “大化小, 常代變, 近似和, 取極限” 可導出其質心 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 將 分成 n 小塊, ),(kkk將第 k 塊看作質量集中于點),(kkk例如,nkkkkknkkkkkkvvx11),(),(令各小區域的最大直徑,0zyxzyxzyxzyxxxddd),(ddd),(系的質心坐標就近似該物體的質心坐標.的質點,即得此質點在第 k 塊上任取一點機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 同理可得zyxz

7、yxzyxzyxyyddd),(ddd),(zyxzyxzyxzyxzzddd),(ddd),(,),(常數時當zyx則得形心坐標：,dddVzyxxx,dddVzyxyyVzyxzzddd的體積為zyxVddd機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 若物體為占有xoy 面上區域 D 的平面薄片, ),(yx為yxyxyxyxxxDDdd),(dd),(yxyxyxyxyyDDdd),(dd),(,常數時,ddAyxxxDAyxyyDdd(A 為 D 的面積)得D 的形心坐標:則它的質心坐標為MMyMMx其面密度 xMyM 對 x 軸的 靜矩 對 y 軸的 靜矩機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束

8、4例例5. 求位于兩圓sin2rsin4r和的質心. 2D解解: 利用對稱性可知0 x而DyxyAydd1Drrddsin312rr dsin4sin22dsin956042956dsin295620437之間均勻薄片0dsin3143212oyxC機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 Vzyxzzddd例例6. 一個煉鋼爐為旋轉體形, 剖面壁線的方程為, 30,)3(922zzzx內儲有高為 h 的均質鋼液,解解: 利用對稱性可知質心在 z 軸上，,0 yx采用柱坐標, 則爐壁方程為,)3(922zzrzyxVdddhzzz02d)3(9zDhyxzddd0因此故自重, 求它的質心.oxzh若

9、爐不計爐體的其坐標為機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 hzzz022d)3(9zDhyxzzddd0zyxdzdd)51233(923hhh225409043060hhhhhzoxzh)41229(923hhhV機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 四、物體的轉動慣量四、物體的轉動慣量設物體占有空間區域 , 有連續分布的密度函數. ),(zyx該物體位于(x , y , z) 處的微元 vzyxyxd),()(22因此物體 對 z 軸 的轉動慣量:zyxzyxyxIzddd),()(22zIdxyoz對 z 軸的轉動慣量為 因質點系的轉動慣量等于各質點的轉動慣量之和, 故 連續體的轉動慣量可用

10、積分計算. 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 類似可得:zyxzyxIxddd),( zyxzyxIyddd),( zyxzyxIoddd),( )(22zy )(22zx )(222zyx對 x 軸的轉動慣量對 y 軸的轉動慣量對原點的轉動慣量機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 如果物體是平面薄片,面密度為Dyxyx),(),(DxyxyxIdd),( DoyxyxIdd),( 則轉動慣量的表達式是二重積分.xDyo2y2x)(22yx DyyxyxIdd),( 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 rraddsin0302例例7.求半徑為 a 的均勻半圓薄片對其直徑解解: 建立坐標系如圖,

11、 0:222yayxDyxyIDxdd2Drrddsin23441a241aM半圓薄片的質量221aM 2212oxyDaa的轉動慣量.機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 )sinsincossin(222222rr解解: 取球心為原點, z 軸為 l 軸,:2222azyx則zIzyxyxddd)(22552aMa252dddsin2rr olzxy132220d球體的質量334aM dsin03rrad04例例8.8.求均勻球體對于過球心的一條軸 l 的轉動慣量.設球 所占域為(用球坐標) 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 222zyxr G 為引力常數五、物體的引力五、物體的引力設物體

12、占有空間區域 ,，連續),(zyx物體對位于原點的單位質量質點的引力利用元素法,vrxzyxGFxd),(d3vryzyxGFyd),(d3vrzzyxGFzd),(d3在上積分即得各引力分量:其密度函數rzxvdyFd引力元素在三坐標軸上的投影分別為),(zyxFFFF 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 vrxzyxGFxd),(3vryzyxGFyd),(3vrzzyxGFzd),(3對 xoy 面上的平面薄片D ,它對原點處的單位質量質點的引力分量為,d),(3DxxyxGFDyyyxGFd),(3)(22yx 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 aaR1122xyzoR例例9. 設面

13、密度為 ,半徑為R的圓形薄片求它對位于點解解: 由對稱性知引力zFddaG,222Ryx)0(), 0 , 0(0aaMDzaGFaGaG2處的單位質量質點的引力. 2ddGdaR020da0M。, 0z),0,0(zFF 23222)(dayx23222)(dayx2322)(darrr機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 Rxyzo例例10. 求半徑 R 的均勻球2222Rzyx對位于)(), 0 , 0(0RaaM的單位質量質點的引力.解解: 利用對稱性知引力分量0yxFFzFRRzazGd)(vazyxazGd)(23222RRzazGd)(200232222)(ddzRazrrr點zD

14、azyxyx23222)(dd0MazD機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 RRzazd )(zFG222211azaRza200232222)(ddzRazrrrRRzazGd)(G2RRaza)(1222daazR2aMGR2343RM 為球的質量機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 作業作業P96 7，10 , 17 P116 1，3，6, 11, 13 , 14習題課 目錄 上頁 下頁 返回 結束 )(th( t 為時間) 的雪堆在融化過程中,其側面滿足方程,)()(2)(22thyxthz設長度單位為厘米, 時間單位為小時, 設有一高度為已知體積減少的速率與側面積成正比(比例系數 0.9 ), 問高度為130 cm 的雪堆全部融化需要 多少小時? (2001考研考研)機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 備用題備用題提示提示:yxzo記雪堆體積為 V, 側面積為 S ,則)(:221220thyxD)()(:22122zththyxDzVzDyxdd)(0dthz)(0221d)()(thz