1、2022-1-171第九節(jié)第九節(jié) 隨機(jī)變量函數(shù)的分布隨機(jī)變量函數(shù)的分布X-2123pk0.30.20.10.42 . 0) 1()0(XPYP4 . 01 . 03 . 0)2()2()3(XPXPYP一、一維隨機(jī)變量函數(shù)的分布一、一維隨機(jī)變量函數(shù)的分布求Y=X2-1的分布律例1 設(shè)隨機(jī)變量X的分布律如下，解：Y的所有可能取值為0,3,84 . 0)3()8(XPYP2022-1-172例例2. 一提煉純糖的生產(chǎn)過程，一天可生產(chǎn)純糖一提煉純糖的生產(chǎn)過程，一天可生產(chǎn)純糖1噸，但由于噸，但由于機(jī)器損壞和減速，一天實(shí)際產(chǎn)量機(jī)器損壞和減速，一天實(shí)際產(chǎn)量X是一個(gè)隨機(jī)變量是一個(gè)隨機(jī)變量,設(shè)設(shè)X的的概率密度

2、為概率密度為其他, 010,2)(xxxfX)(),(yFxFYX)()(21yYPyFyY時(shí)，當(dāng)解：分別記解：分別記X，Y的分布函數(shù)為的分布函數(shù)為一天的利潤一天的利潤Y=3X-1，Y也是隨機(jī)變量，求也是隨機(jī)變量，求Y的概率密度。的概率密度。)13 (yXP)31(yXP)31(yFX的概率密度為求導(dǎo)數(shù)，得關(guān)于將Y)(yyFY)31)(31()()(yyfyFyfXYY其他，, 02131)31(2yy其他，,0219)1(2yy2 , 1Y 1 , 0時(shí)，當(dāng)X0)()(1yYPyFyY時(shí)，當(dāng)1)(2yFyY時(shí)，當(dāng)2022-1-173例例3. 設(shè)隨機(jī)變量設(shè)隨機(jī)變量X在區(qū)間在區(qū)間-1,2上服從均

3、勻分布，上服從均勻分布，時(shí)，有當(dāng)10) 1 ( y)()(yYPyFY)(2yXP解解: 當(dāng)當(dāng)X在區(qū)間在區(qū)間-1,2上取值時(shí)上取值時(shí),Y在在0,1或或1,4取值取值求隨機(jī)變量求隨機(jī)變量Y=X2的概率密度。的概率密度。)(yXyPdxyy31由于由于y=x2不是單調(diào)的，不是單調(diào)的，y32時(shí)，有當(dāng)41)2( y)()(yYPyFY)(2yXPdxdxyy13110) 1(31y)(yXyP) 1(XyP)1(yXP2022-1-174解解: (1)因?yàn)橐驗(yàn)閄在在(0, 1)上取值，所以上取值，所以Y=eX 在在(1，e)上取值。上取值。例例3. 設(shè)隨機(jī)變量設(shè)隨機(jī)變量X在區(qū)間在區(qū)間(0,1)上服從均

4、勻分布，上服從均勻分布，(1)求隨機(jī)變量求隨機(jī)變量Y=eX的概率密度的概率密度; 0)(PyF1yYyY）（時(shí)，當(dāng)上式對上式對y求導(dǎo)數(shù)，得求導(dǎo)數(shù)，得Y的概率密度為的概率密度為)(ln)ln()()(PyFey1YyFyXPyePyYXX）（時(shí)，當(dāng)1)(PyFeyYyY）（時(shí)，當(dāng))()(yFyfYY)(ln(lnyyFXeyy或, 1, 0ey 1)(ln1yfyX,1y2022-1-175例例3. 設(shè)隨機(jī)變量設(shè)隨機(jī)變量X在區(qū)間在區(qū)間(0,1)上服從均勻分布，上服從均勻分布， (2)求求Y=-2lnX的概率密度。的概率密度。 解解: (1)因?yàn)橐驗(yàn)閄在在(0, 1)上取值，所以上取值，所以Y=-

5、2lnX 在在(0，+)上取值。上取值。; 0)(PyF0yYyY）（時(shí)，當(dāng)上式對上式對y求導(dǎo)數(shù)，得求導(dǎo)數(shù)，得Y的概率密度為的概率密度為)(1)(1)()ln2()(PyF0y222YyXyyeFeXPeXPyXPyY）（時(shí)，當(dāng))()(yFyfYY)(22yyXeeF0, 0y0y)(2122yXyefe,212ye2022-1-1761）3） 在實(shí)際問題中，常常會(huì)遇到需要求隨機(jī)變量函在實(shí)際問題中，常常會(huì)遇到需要求隨機(jī)變量函數(shù)的分布問題。例如：在下列系統(tǒng)中，每個(gè)元件的數(shù)的分布問題。例如：在下列系統(tǒng)中，每個(gè)元件的壽命分別為隨機(jī)變量壽命分別為隨機(jī)變量 X,Y ，它們相互獨(dú)立同分布。，它們相互獨(dú)立同

6、分布。我們想知道系統(tǒng)壽命我們想知道系統(tǒng)壽命 Z 的分布。的分布。),min(YXZ ),max(YXZ YXZ 這就是求隨機(jī)變量函數(shù)的分布問題。這就是求隨機(jī)變量函數(shù)的分布問題。2）二、多維隨機(jī)變量函數(shù)的分布二、多維隨機(jī)變量函數(shù)的分布2022-1-177解題步驟：解題步驟： ，的分布函數(shù)先求隨機(jī)變量函數(shù)zFYXgZZ, zFzfYXgZZZ的密度函數(shù)再求隨機(jī)變量函數(shù),1.一般情形問題一般情形問題 已知二維隨機(jī)變量（已知二維隨機(jī)變量（X,Y）的聯(lián)合密度為）的聯(lián)合密度為 f ( x , y ), g ( x , y ) 是二元連續(xù)函數(shù)，欲求隨機(jī)變量是二元連續(xù)函數(shù)，欲求隨機(jī)變量 Z=g (X,Y)的概

7、率密度。的概率密度。2022-1-1782 2）連續(xù)型隨機(jī)變量和的分布）連續(xù)型隨機(jī)變量和的分布，為其聯(lián)合密度函數(shù)是二維連續(xù)型隨機(jī)變量設(shè)yxfYX, 的密度函數(shù)下面計(jì)算zfYXZZ 的的分分布布函函數(shù)數(shù)首首先先計(jì)計(jì)算算隨隨機(jī)機(jī)變變量量zFYXZZ zZPzFZ zYXP zyxdxdyyxf，xyOx + y = z xzdyyxfdx，2022-1-179,xuy 作作變變換換：則有則有 zZduxuxfdxzF， dxxuxfduz， xzzdyyxfdxzF，)(的的密密度度函函數(shù)數(shù)為為導(dǎo)導(dǎo)，可可得得求求之之間間的的關(guān)關(guān)系系，上上式式對對由由分分布布函函數(shù)數(shù)與與密密度度函函數(shù)數(shù)YXZz z

8、FzfZZ dxxzxf，2022-1-1710由于由于 X , Y 的對稱性可得的對稱性可得 dyyyzfzfZ，相相互互獨(dú)獨(dú)立立，則則有有與與特特別別地地，如如果果隨隨機(jī)機(jī)變變量量YX .yfxfyxfYX ，此此時(shí)時(shí)，我我們們有有 dxxzfxfzfYXZ或者或者 dyyfyzfzfYXZ2022-1-1711 的的卷卷積積，記記作作與與我我們們稱稱上上式式為為函函數(shù)數(shù)yfxfYX yfxfYX*：因因此此，我我們們有有以以下下結(jié)結(jié)論論卷卷積積：密密度度函函數(shù)數(shù)的的與與的的密密度度函函數(shù)數(shù)等等于于相相互互獨(dú)獨(dú)立立，則則它它們們的的和和與與如如果果隨隨機(jī)機(jī)變變量量YXYXZYX yfxfz

9、fYXZ* dxxzfxfzfYXZ dyyfyzfzfYXZ dxxzfxfzfYXZ dyyfyzfYX2022-1-1712解解: 利用卷積公式利用卷積公式求求Z=X+Y的概率密度。的概率密度。例例5. 設(shè)隨機(jī)變量設(shè)隨機(jī)變量X與與Y相互獨(dú)立，概率密度分別是相互獨(dú)立，概率密度分別是;0, 00,)(;0, 010, 1)(yyeyfxxxfyYX的定義知，按)(),(yfxfYX010yyz且 dyyfyzfzfYXZ所以且即, 0,1yzyz)(zfz zYXdyyfyzf0,110zzyedye zzYXdyyfyzf1,) 1(11zzzyeedye其他,0zyOy = zy = z

10、 - 1110 z1z2022-1-1713 為是相互獨(dú)立，分布函數(shù)設(shè)隨機(jī)變量yFxFYXYX,的分布函數(shù)與試求),min(),max(YXYX3.極值分布極值分布 zYXPzF),max(max,zYzXP zYPzXP zFzFYX解：2022-1-1714 為是相互獨(dú)立，分布函數(shù)設(shè)隨機(jī)變量yFxFYXYX,的分布函數(shù)與試求),min(),max(YXYX zYXPzF),min(minzYXP),min(1 zYPzXP1)(1)(11zYPzXP解：)(1)(11zFzFYX2022-1-1715 令：的分布函數(shù)為是獨(dú)立的隨機(jī)變量，設(shè)推廣：xFXXXXiin21 11111zFzFXi

11、ni的分布函數(shù)同分布是相互獨(dú)立，且服從相，若特別地nXXX,21 ，nnnXXXXXXXX21211maxmin zFzFXininn1的分布函數(shù)則則的分布函數(shù)為設(shè)),(zFXi ，nnzFzF nzFzF1112022-1-1716解解: （1）串聯(lián)的情況）串聯(lián)的情況例例6. 設(shè)系統(tǒng)設(shè)系統(tǒng)L由兩個(gè)獨(dú)立的電子元件由兩個(gè)獨(dú)立的電子元件L1,L2連接而成，連接連接而成，連接方式分別為方式分別為(1)串聯(lián)；（串聯(lián)；（2）并聯(lián)）并聯(lián), 設(shè)設(shè)L1,L2的壽命分別為的壽命分別為X,Y，已知，已知X,Y的概率密度分別是的概率密度分別是其中其中10 20，求上述兩種連接方式中系統(tǒng)的壽命，求上述兩種連接方式中系統(tǒng)的壽命Z的概率密度。的概率密度。1212,0,0,( )( )0,0;0,0;xyXYexeyfxfyxymin(, )ZX Y11 e,x0( ) =0,x0 xXFx 21 e,0( ) =0,0yYyFyy ，由題設(shè)由題設(shè)X、Y的分布函數(shù)分別為的分布函數(shù)分別為2022-1-1717 zYXPzF),min(min)(1)(11zFzFYX，12()z1-e,z0 =0,z0 12()z12()e,z0( ) =0,z0minfz 所以所以Z=min(X, Y)的概率密度為的概率密度為2022-1-1718解解: （2）并聯(lián)的情況）并聯(lián)的情況max(, )ZX Y(