1、 第七章 參數估計(一一) 考核知識點考核知識點 1. 點估計點估計 2. 矩估計法矩估計法 3. 極大似然估計法極大似然估計法 4. 單個正態總體均值和方差的區間估計單個正態總體均值和方差的區間估計( (二二) ) 考核要求考核要求1.1.點估計點估計1.1 1.1 參數估計的概念，參數估計的概念， 要求：識記要求：識記1.2 1.2 求參數的矩估計，求參數的矩估計， 要求：簡單應用要求：簡單應用1.3 1.3 求極大似然估計，求極大似然估計， 要求：簡單應用要求：簡單應用2.2.估計量的評價標準估計量的評價標準2.1 2.1 矩估計的無偏性，矩估計的無偏性， 要求：領會要求：領會2.2 2

2、.2 估計量的有效性、相合性，估計量的有效性、相合性， 要求：領會要求：領會3.3.區間估計區間估計3.1 3.1 置信區間的概念，置信區間的概念， 要求：領會要求：領會3.2 3.2 求單個正態總體均值和方差的置信區間，要求：求單個正態總體均值和方差的置信區間，要求：簡單應用簡單應用 現在我們來介紹一類重要的統計推斷問題現在我們來介紹一類重要的統計推斷問題 參數估計問題是利用從總體抽樣得到的信息來估參數估計問題是利用從總體抽樣得到的信息來估計總體的某些參數或者參數的某些函數計總體的某些參數或者參數的某些函數. 參數估計參數估計估計廢品率估計廢品率估計新生兒的體重估計新生兒的體重估計湖中魚數估

3、計湖中魚數 估計降雨量估計降雨量在參數估計問題在參數估計問題中，假定總體分中，假定總體分布形式已知，未布形式已知，未知的僅僅是一個知的僅僅是一個或幾個參數或幾個參數.這類問題稱為參數估計這類問題稱為參數估計.參數估計問題的一般提法參數估計問題的一般提法X1,X2,Xn要依據該樣本對參數要依據該樣本對參數 作出估計作出估計, 或估計或估計 的某個已知函數的某個已知函數 .)(g現從該總體抽樣，得樣本現從該總體抽樣，得樣本 設有一個統計總體設有一個統計總體 , 總體的分布函數為總體的分布函數為F( x, ) ，其中，其中 為未知參數為未知參數 ( 可以是向量可以是向量) . 參數估計參數估計點估計

4、點估計區間估計區間估計(),();xE XE Xx用樣本均值 估計總體均值即22211()(),();nninisxxD XD Xsn用樣本二階中心矩估計總體方差即.AA用事件 出現的頻率估計事件 發生的概率)1 . 0,(2 N（假定身高服從正態分布（假定身高服從正態分布 ） 設這設這5個數是個數是:1.65 1.67 1.68 1.78 1.69 估計估計 為為1.68，這是點估計這是點估計.這是區間估計這是區間估計.估計估計 在區間在區間 1.57, 1.84 內，內，例如我們要估計某隊男生的平均身高例如我們要估計某隊男生的平均身高. 現從該總體選取容量為現從該總體選取容量為5的樣本，我

5、們的任的樣本，我們的任務是要根據選出的樣本務是要根據選出的樣本5個數求出總體均值個數求出總體均值 的估計的估計. 而全部信息就由這而全部信息就由這5個數組成個數組成 . 12,(0, ),0.nx xxU 設是來自服從區間(0, )上的均勻分布的樣本為未知參數.求 的矩估計例例().2XE X解 總體 的均值2x由矩法，應有，2 . x解得 =0.1,0.7,0.2,1,1.9,1.3,1.8,比如，若樣本值為則 的估計值12(0.1 0.70.2 1 1.9 1.3 1.8)2.7 7.1.2 極大似然法極大似然法 它是在總體類型已知條件下使用的一種參數估它是在總體類型已知條件下使用的一種參

6、數估計方法計方法 . 它首先是由德國數學家高斯在它首先是由德國數學家高斯在1821年提出的年提出的 . GaussFisher 然而然而,這個方法常歸這個方法常歸功于英國統計學家費希爾功于英國統計學家費希爾 . 費希爾在費希爾在1922年重新發現了年重新發現了這一方法，并首先研究了這種方這一方法，并首先研究了這種方法的一些性質法的一些性質 .最大似然法的基本思想最大似然法的基本思想 先看一個簡單例子先看一個簡單例子：一只野兔從前方竄過一只野兔從前方竄過 .是誰打中的呢？是誰打中的呢？ 某位同學與一位獵人一起外某位同學與一位獵人一起外出打獵出打獵 .如果要你推測，如果要你推測，你會如何想呢你會如

7、何想呢?只聽一聲槍響，野兔應聲倒下只聽一聲槍響，野兔應聲倒下 . 你就會想，只發一槍便打中你就會想，只發一槍便打中, 獵人命中的概率獵人命中的概率一般大于這位同學命中的概率一般大于這位同學命中的概率 . 看來這一槍是獵人看來這一槍是獵人射中的射中的 . 這個例子所作的推斷已經體現了極大似然法的這個例子所作的推斷已經體現了極大似然法的基本思想基本思想 . 最大似然估計原理：最大似然估計原理： 當給定樣本當給定樣本X1,X2,Xn時，定義似然函數為：時，定義似然函數為： 設設X1,X2,Xn是取自總體是取自總體X的一個樣本，樣的一個樣本，樣本的聯合密度本的聯合密度(連續型或聯合分布律連續型或聯合分

8、布律 (離散型離散型)為為 f (x1,x2, ,xn ; ) . )(Lf (x1, x2 , xn; ) 這里這里 x1, x2 , xn 是樣本的觀察值是樣本的觀察值 . 似然函數：似然函數：)(max)( LL 最大似然估計法就是用使最大似然估計法就是用使 達到最大值的達到最大值的 去估計去估計 . )( L 稱稱 為為 的最大似然估計值的最大似然估計值 . 看作參數看作參數 的函數，它可作為的函數，它可作為 將以多大可將以多大可能產生樣本值能產生樣本值 x1, x2, ,xn 的一種度量的一種度量 .)( L )( L f (x1,x2, xn; ) 而相應的統計量而相應的統計量稱為

9、稱為 的最大似然估計量的最大似然估計量 .1(,)n XX兩點說明：兩點說明： 1、求似然函數、求似然函數L( ) 的最大值點，可以應用的最大值點，可以應用微積分中的技巧。由于微積分中的技巧。由于ln(x)是是 x 的增函數的增函數, lnL( )與與L( )在在 的同一值處達到它的最大值，假定的同一值處達到它的最大值，假定 是一實數，且是一實數，且lnL( )是是 的一個可微函數。通過的一個可微函數。通過求解方程：求解方程： 可以得到可以得到 的的MLE . 0)(lndLd 假設假設 是向量，上述方程必須用方程組代是向量，上述方程必須用方程組代替替 . 2、用上述求導方法求參數的、用上述求

10、導方法求參數的MLE有時行不有時行不通，這時要用最大似然原則來求通，這時要用最大似然原則來求 . 下面舉例說明如何求最大似然估計下面舉例說明如何求最大似然估計L(p)= f (x1, x2, xn; p ) 例例5 設設X1,X2,Xn是取自總體是取自總體 XB(1, p) 的一的一個樣本，求參數個樣本，求參數p的最大似然估計量的最大似然估計量.nixxiipp11)1 (解：似然函數為解：似然函數為: ppXi110)1ln()()ln()(ln11pxnpxpLniinii對數似然函數為：對數似然函數為：niiniixnxpppL11)1()(niiniixnxpp11)1 (對對p求導并

11、令其為求導并令其為0，)(111)(ln11niiniixnpxpdppLd=0得得即為即為 p 的最大似然估計值的最大似然估計值 .從而從而 p 的最大似然估計量為的最大似然估計量為 111(,)nniip XXXXn 11niipxxn (4) 在最大值點的表達式中在最大值點的表達式中, 用樣本值代入就用樣本值代入就得參數的最大似然估計值得參數的最大似然估計值 .求最大似然估計求最大似然估計(MLE)的一般步驟是：的一般步驟是： (1) 由總體分布導出樣本的聯合分布率由總體分布導出樣本的聯合分布率(或聯或聯合密度合密度); (2) 把樣本聯合分布率把樣本聯合分布率 ( 或聯合密度或聯合密度

12、 ) 中自變中自變 量看成已知常數量看成已知常數,而把參數而把參數 看作自變量看作自變量,得到似然得到似然 函數函數L( ); (3) 求似然函數求似然函數L( ) 的最大值點的最大值點(常常轉化為常常轉化為求求ln L( )的最大值點的最大值點) ，即，即 的的MLE; 12,nx xx 設是總體的樣本,已知總體的密度函數為例例 (1),1;(1)0,.xxf x其中參數其他12.試分別求出 的矩估計和極大似然估計解 總體期望為(1)1()E Xx xdx,.1x由矩估計法 令得矩法方程解之得 的矩估計1.1xx,為求 的極大似然估計 易求得似然函數為1ln ( )0.niidLnxd由以上

13、似然方程解得 的極大似然估計21.niinx(1)(1)11( )(),nnniiiiLxx1ln ( )ln(1),niiLnx1.(2019-4)設總體X服從參數為的指數分布,其中未知,X1,X2,Xn為來自總體X的樣本,則的矩估計為_.2.(2019-7)設總體X服從泊松分布,即XP(),則參數2的極大似然估計量為_. 3.(2019-4)設總體設總體X具有區間具有區間0,上的均勻分布上的均勻分布(0),x1,x2,xn是來自該是來自該總體的樣本總體的樣本,則則的矩估計的矩估計 _.12,0,.()( ) ,0,0,4 200_7-_7_.xnexXf xx xxXx設總體 的概率密度為

14、為總體的一個樣本 則未知參數 的矩估計5.(2019-7)設總體設總體X服從參數為服從參數為的泊松分布的泊松分布,其中其中為未知參數為未知參數.X1,X2,Xn為為來自該總體的一個樣本來自該總體的一個樣本,則參數則參數的矩估計量為的矩估計量為_.12.()0 2 (0),6 2007,-10nXx xxx設總體 服從 ， 上的均勻分布是來自該總體的樣本為樣本均值 則 的矩估計（）1.2.22xAxB xCDx(1)12.(),1;( ; )0,(1),7 2008-4,.nXxxf xx xx 設總體 的概率密度為其他其中是未知參數是來自該總體的樣本 試求 的矩估計8.(2019-7)假設總體

15、X服從參數為的泊松分布,0.8、1.3、1.1、0.6、1.2是來自總體X的樣本容量為5的簡單隨機樣本，則的矩估計值為_12.()(0),0,( , )0,9 2008-0.,9,_.0_1xnXexf xxXx xxx 設總體 服從參數為的指數分布 其概率密度為由來自總體 的一個樣本算得樣本平均值則參數 的矩估計12.()(0)10 2009,2,_.-4nXx xxXx 設總體 服從參數為的泊松分布為 的一個樣本其樣本均值則 的矩估計值12.(),( ; ),0,_11 2009-7_xnXp xexx xx設總體 為指數分布 其密度函數為是樣本 故 的矩法估計121,0,.()( , )

16、0,0,0.(1);12 212.009- 0 xnexXf xxXXXXE X設總體 的概率密度為其中, ,為來自總體 的樣本求（ ）求未知參數 的矩估計12.()22.(0, ),0, _13 2010_ .1_nXx xxXx設總體 服從區間上的均勻分布是來自總體的樣本 為樣本均值為未知參數 則 的矩估計12.()( ,2 )_.14 20104nXUx xx設總體 服從均勻分布, , , , 是來自該總體的樣本,則 的矩估計 7.2 點估計的評價標準21232.(),(0,),(2),()11.2.4421 2006-4XXXNccABCD設是來自正態總體的樣本已知統計量是方差的無偏估

17、計量 則常數 等于 .(),( ),().2 2006- 7 .EABCD若 為未知參數 的估計量 且滿足則稱 是 的無偏估計量 有偏估計量漸近無偏估計量 一致估計量2123123.()( ,),3 2007_,11.42-10XNx x xXaxaxx 設總體為來自 的樣本 則當常數時是未知參數 的無偏估計12312311.()( ,1),( ,),23, 4_.2008 1XNx x xxxkxk 設總體為其樣本 若估計量為 的無偏估計量 則1231211232123.(),2,111111,5 2008-4244333_.XNx xxxxxxxx 設總體是(),是總體的簡單隨機樣本是總體

18、參數 的兩個估計量 且其中較有效的估計量是22122.()(,),6 2008 10nXNXXX 設總體為來自總體的樣本,均未知,則的無偏估計是（）niiXXnA12)(11.niiXnB12)(11.niiXXnC12)(1.niiXnD12)(11.(),( )_7 200_,.9-1E設 是未知參數 的一個估計量 若則 是 的無偏估計2123411234212331241.() ( ,),111112(),45556618 2,009-4()7XNxxxxXxxxxxxxxxx 設總體其中 未知， ， ， 為來自總體 的一個樣本則以下關于的四個估計:中 哪一個是無偏估計？4321.DCBA122221.()1()(29 20093 )1_ .7_nniiXXXXXXSXXaXa Sna假設總體 服從參數為 的泊松分布,是來自總體 的簡單隨機樣本,其均值為 ,樣本方差已知為的無偏估計,則7.3 7.3 參數的區間估計參數的區間估計7.3.2 7.3.2 單個正態總體參數的置信區間單個正態總體參數的置信區間2( ,)N 正態總體是最常見的分布,主要討