1、§3-1 引 言 l l         線性系統(tǒng)分析方法，是將復(fù)雜信號分解為簡單信號之和（或積分），通過系統(tǒng)對簡單信號的響應(yīng)求解系統(tǒng)對復(fù)雜信號的響應(yīng)。l l         在上一章介紹的時域法中，將信號分解為沖激信號的積分，根據(jù)系統(tǒng)的沖激響應(yīng)通過卷積計算出系統(tǒng)對信號的響應(yīng)。l l         在本章以及下一章將要介紹的頻域法中，將

2、信號分解為一系列正弦函數(shù)的和（或積分），通過系統(tǒng)對正弦信號的響應(yīng)求解系統(tǒng)對信號的響應(yīng)。l l         頻域在工程中也有很重要的意義。很多信號的特性與頻域都有很重要的關(guān)系。研究頻域可以得到很多具有實用價值的結(jié)論。l l         在進行頻域法時,，首要問題就是如何將信號分解為一系列正弦信號的和（或者積分）。這就是本章要討論的信號分析問題。 §3-2 信號在正交函數(shù)集中的分解 為了形象地說明信號的

3、分解，首先我們復(fù)習(xí)矢量的分解。一、 矢量的分解1）     矢量的一維分解：用一個標準矢量乘以一個標量得到的新矢量，去近似近似矢量，并要求誤差盡可能小，應(yīng)該取多少？下圖通過幾何方法表示了的確定方法。  l l         從幾何或者解析角度，都可以得到使誤差最小的系數(shù)為：其中的稱為矢量和的相似系數(shù)。l l         如果（或），則表明和相垂直（又稱為正交）。 1） 2

4、）     矢量的二維分解用兩個標準矢量、的線性組合，去近似近似矢量，并要求誤差盡可能小，、各應(yīng)該取多少？下圖通過幾何方法表示了、的確定方法。 l l         在上圖表示的情況下，、的取值都同時與、有關(guān)，計算公式可能比較復(fù)雜。如果標準向量、相互垂直（正交），計算就很簡單了：容易得到此時的系數(shù)計算公式為：，此時每一個系數(shù)只與其相關(guān)的標準矢量有關(guān)，系數(shù)計算公式與一維情況下的計算公式相似。 l l     

5、;    上圖中表示的是用兩個矢量表示一個二維的矢量，誤差為零。如果用兩個矢量表示一個二維以上的矢量，誤差就不一定等于0了。但是可以證明，在這種系數(shù)情況下誤差最小。l l         顯然，如果知道了標準矢量、和相應(yīng)的系數(shù)、，就可以確定任意矢量。l l         這實際上就是我們在平面幾何中見到的笛卡爾坐標系。  2） 3）     矢量

6、的多維分解：上面二維的情況可以推廣到任意維，可以將矢量表示成為一系列標準矢量（基）的線性組合：² ²        顯然，如果知道了標準矢量和響應(yīng)的系數(shù)，就可以確定任意矢量。² ²        如果矢量兩兩正交，可以證明相應(yīng)的最佳系數(shù)的計算公式為：² ²        如果標準矢量基的長度都為1，則，上面的公式可以簡化為：&#

7、160;3） 4）     標準矢量基的幾個限制條件：為了便于計算系數(shù)，實際使用的標準正交矢量集最好滿足以下幾個條件：1） 1）     歸一化：標準矢量的模等于12） 2）     正交化：標準矢量兩兩正交3） 3）     完備性：可以不失真地組合出任意矢量其中歸一化和正交化是為了計算系數(shù)時比較方便；而完備性則是為了保證可以完整、沒有誤差地表示任意矢量，使這種分解更有實用性。 二、   信號的分解

8、60;與矢量分解相似，我們也可以推導(dǎo)出信號分解。1、     單個標準信號下的分解：在時間區(qū)間內(nèi)，用近似任意函數(shù)，并使誤差進可能小。（這里假設(shè)所有函數(shù)都是實數(shù)函數(shù)）誤差： l l         如何衡量函數(shù)誤差的大小？可以采用方均誤差： l l         取什么值的時侯何時誤差最小？或者何時系數(shù)最佳？最佳系數(shù)：也稱為函數(shù)和的相似系數(shù)。最佳系數(shù)的證明最佳系數(shù)的證明：誤差：方均誤差：

9、為了求使最小的，將上式對求偏導(dǎo)并令其為零，可以得到：由此可得： l l         如果（或），則稱和正交。這個正交的含義與矢量中的正交類似。l l         如果和是復(fù)函數(shù)，則方均誤差的定義應(yīng)該改為：相應(yīng)的最佳系數(shù)計算公式為： 例題3-2-1例321： 試用sint 在區(qū)間（0，2p）來近似f(t) 分析：在使這近似式的方均誤差最小的條件下，可以導(dǎo)得在函數(shù)中的分量系數(shù)為 解： 2、&#

10、160; 多個標準信號下的分解：將信號表示為多個標準信號的線性組合：l l         這里的同樣難以確定。但是如果標準函數(shù)之間兩兩正交，則可以證明：l l         我們實際上在高等數(shù)學(xué)等前期課程中已經(jīng)見到過幾個這樣的標準信號集了。例如：泰勒級數(shù)使用的是：l l         在本章中將要用到的標準函數(shù)集為三角函數(shù)集： 2、 3、&#

11、160; 對標準信號集的要求：與矢量分解中的情況一樣，這里對于用于分解函數(shù)的標準函數(shù)集也有以下的要求：1） 1）     歸一化：2） 2）     正交化：，3） 3）     完備性：可以用其線性組合表示任意信號。 l l         正交性標準函數(shù)集的首要條件。只有在這種情況下系數(shù)才可以用上美的公式計算，而且可以保證方均誤差最小。其他兩個條件都會受到實際應(yīng)用的限制，可能難于達到

12、。l l         完備正交函數(shù)集一般都包含無窮多個函數(shù)，例如：三角函數(shù)集，沃爾什函數(shù)集等。l l         但在實際應(yīng)用中不可能用無窮多個，只可能用有限個函數(shù)，只能近似表示任意函數(shù)。 函數(shù)與矢量的運算與分解有很大的相似性，很多函數(shù)分解中的概念（例如正交等）也是從矢量運算中引用過來的。這里用一個表格作比較： 矢量函數(shù)加法標乘乘法正交歸一誤差誤差代價函數(shù)系數(shù)§3-3 信號表示為傅利葉級數(shù) 

13、;傅利葉級數(shù)是最常用的一種正交函數(shù)集。它在工程中有很廣泛的用途。一、 三角函數(shù)形式的傅利葉級數(shù)1、三角正交函數(shù)集其中：或?qū)⒄缓瘮?shù)集表示為： l l         可以證明該函數(shù)集滿足正交性：函數(shù)集中的函數(shù)兩兩相正交。2、任意信號在三角函數(shù)集中的分解可以將任意函數(shù)f(t)在這個三角函數(shù)集中展開（表示成該正交函數(shù)集函數(shù)的線性組合）： 其中的系數(shù)可以根據(jù)前面的公式計算出：l l         這個公式中的的表達不太方

14、便。為此將分解式改寫：則系數(shù)為：l l         通過這種分解，可以將信號可以表示成為直流信號和一系列正弦信號之和。 3、任意信號在僅余弦三角函數(shù)集中的分解 在原來的信號分解公式 中，利用三角函數(shù)公式，令，則可以將上式表達成：它可以看成是下列正交信號集：的平移后的線性組合。 l l         從系數(shù)計算公式可以看出，如果f(t)是實數(shù)信號，則：Ø Ø   

15、      和是n的偶函數(shù)；Ø Ø         和是n的奇函數(shù)。l l         上面的分解等式的左右兩邊的函數(shù)是否相等，沒有誤差？或者，是否隨著n趨向于無窮大，等式右邊的函數(shù)收斂于左邊的函數(shù)？Direchlet證明，只要滿足下面三個條件，等式就一定收斂：1） 1）     f(t)絕對可積，即：2） 2） 

16、    f(t)在區(qū)間內(nèi)有有限個間斷點；3） 3）     f(t)在區(qū)間內(nèi)有有限個極值點。 這個條件被稱為Direchlet條件。實際信號大都滿足這個條件，所以都可以這樣分解。 l l         這個分解等式中，等號右邊是多個周期為T的函數(shù)的和，它仍然是周期為T的函數(shù)。顯然，如果本身也是一個周期為的函數(shù)，則如果它可以在一個周期內(nèi)用上面的公式分解，則它同時也可以在整個時間區(qū)間內(nèi)分解。 l l 

17、0;       這種分解可以用在兩個場合：1） 1）     研究任意函數(shù)在區(qū)間內(nèi)的分解2） 2）     研究周期為T的函數(shù)在整個時間區(qū)間內(nèi)的分解。 本課程中討論的主要是后一種情況。 l l         如果f(t) 周期為T的函數(shù),為了方便討論，一般函數(shù)的主值區(qū)間取l l      

18、60;  在函數(shù)的分解中： 稱為信號的直流分量； 、或稱為信號的基波分量； 、或稱為信號的n次諧波分量； 一般情況下，n無法計算到無窮大，只能取有限。這時，這種正交展開是有誤差的。n越大，誤差越小。下面通過一個實例進一步討論傅里葉級數(shù)的一些特性。 例：求方波的傅利葉級數(shù)。解：按照定義公式，可以計算出： 下圖給出了根據(jù)這個公式，分別用一個、兩個和三個正弦脈沖逼近方波的實際效果。 l l         從圖中可以看到，隨著n的增大，函數(shù)的逼近效果逐步得到改善，效果越來

19、越好。l l         但在信號的間斷點附近，誤差函數(shù)出現(xiàn)了一個尖刺狀的突起。這個突起是否會隨著n的增加而減小？ Ø Ø         Gibbs現(xiàn)象：隨n趨向于無窮，在函數(shù)的間斷點附近至少存在一點，其函數(shù)的分解誤差收斂于函數(shù)在這點上的跳變值的8.948987%.Ø Ø         這實際上就是說

20、：無論n多大，在間斷點附近一定有一個點，在這個點上誤差值一定接近間斷值的9。Ø Ø         這個結(jié)論是否與上面提到的收斂條件矛盾？兩個論斷并無矛盾。這牽涉到兩個收斂的概念：逐點收斂和方均收斂。具體地說，逐點收斂一定方均收斂，但是方均收斂不一定逐點收斂。這里對其原理不再討論，有興趣的讀者可以參閱有關(guān)數(shù)學(xué)書籍。 二、    復(fù)指數(shù)形式的傅利葉級數(shù)  另一種常用的傅里葉級數(shù)展開式是從復(fù)指數(shù)正交函數(shù)集將函數(shù)展開為：其中使用的正交函數(shù)集為復(fù)指數(shù)函數(shù)或者復(fù)正弦

21、函數(shù)：或者記為：根據(jù)前面的公式，可以得到其中的系數(shù)為： l l         復(fù)指數(shù)形式的傅利葉級數(shù)的另外一種推導(dǎo)方法是從三角函數(shù)函數(shù)形式的傅利葉級數(shù)入手：令：，可以得到：令： 通過上式也可以看出，函數(shù)可以分解為一系列的線性組合，其中的系數(shù)為：而：>>,  l l         兩種推導(dǎo)過程得到的答案應(yīng)該相同。對比兩個系數(shù)計算公式，可以得到：這個等式反映了與、或、之間的關(guān)系。 例：

22、根據(jù)前面推導(dǎo)的方波的傅里葉級數(shù)的計算結(jié)果，  很容易得到復(fù)指數(shù)情況下的傅里葉級數(shù)為：  ² ²        表示一種復(fù)正弦信號。其中n可以為正，也可以為負，這時就會出現(xiàn)頻率小于零的負頻率。這在物理上并沒有意義，只是在數(shù)學(xué)上可以帶來方便。² ²        復(fù)指數(shù)形式的傅利葉級數(shù)雖然在物理上難于理解，但是它計算簡單，在數(shù)學(xué)上可以帶來很多方便之處，所以應(yīng)用廣泛。 例3

23、31例：根據(jù)前面推導(dǎo)的方波的傅里葉級數(shù)的計算結(jié)果，  很容易得到復(fù)指數(shù)情況下的傅里葉級數(shù)為：  ² ²        表示一種復(fù)正弦信號。其中n可以為正，也可以為負，這時就會出現(xiàn)頻率小于零的負頻率。這在物理上并沒有意義，只是在數(shù)學(xué)上可以帶來方便。² ²        復(fù)指數(shù)形式的傅利葉級數(shù)雖然在物理上難于理解，但是它計算簡單，在數(shù)學(xué)上可以帶來很多方便之處，所以應(yīng)用廣泛。

24、0; 例331 例331: 一周期矩形脈沖信號,高度為A,周期T，其此信號的傅立葉級數(shù)解結(jié)論：（此結(jié)論具有一般性） 1 收斂性:n增加,an,bn總體趨勢減小的。2 Gibbs現(xiàn)象：n增加，間斷點的誤差還是很大 3 信號變化快的部分高頻分量；信號變化慢的部分低頻分量三、   函數(shù)的奇偶性與其傅利葉級數(shù)關(guān)系  函數(shù)的奇偶性對于傅里葉級數(shù)的系數(shù)有一定的影響。掌握這些性質(zhì)有利于傅里葉級數(shù)系數(shù)的計算。1、 1、     如果函數(shù)是偶函數(shù)，則其傅利葉級數(shù)中只有直流和余弦分量。 或：偶函數(shù)之和仍然是偶函數(shù)。 

25、;2、 2、     如果函數(shù)是奇函數(shù)，則其傅利葉級數(shù)中只有正弦分量。 或：奇函數(shù)之和仍然是奇函數(shù)。 ² ²        任意的函數(shù)都可以分解為一個奇函數(shù)和一個偶函數(shù)的和這一點可以從傅利葉級數(shù)展開式中看到，也可以從下面的分解得到： 例如，鋸齒波信號：就可以分解為一個偶信號：和一個奇信號：之和。3、     奇諧函數(shù)的傅利葉級數(shù)² ²    

26、60;   奇諧函數(shù)：滿足的周期為T的函數(shù)。例如：² ²        奇諧函數(shù)的傅里葉級數(shù)中只有奇次諧波分量。 例如前面的周期性方波的傅里葉級數(shù)中，只有1、3、5、7、等奇次諧波分量。4、     偶諧函數(shù)的傅利葉級數(shù)² ²        偶諧函數(shù)：滿足的周期為T的函數(shù)。例如：² ²   

27、0;    偶諧函數(shù)實際上是周期為的函數(shù)。² ²        偶諧函數(shù)的傅利葉級數(shù)中只有直流和偶次諧波分量。 l l         通過函數(shù)的奇偶諧波特性，可以使我們對函數(shù)的傅利葉級數(shù)中包含的成份進行快速判斷，有利于我們的計算。  例332: 選擇題：如圖所示的信號中，含有諧波分量為A 直流、正弦及余弦項 B 只有直流、正弦項 C 只有直流、 余弦項 D 只有直流

28、、奇次余弦項E 只有直流、奇次正弦項  分析：講上圖變成一直流分量和下圖所示信號和即可判斷解：只有直流和正弦項，選B 四、             信號的有效值和功率 1、     正交分解與信號功率：假設(shè)信號可以在正交函數(shù)集中分解為：則其功率為： 其中：，為第i個正交信號分量的功率。 由此可以得到Parseval定理：信號的功率等于信號在完備正交函數(shù)集中分解后各個子信號功率的和。 l

29、l         利用信號傅利葉級數(shù)分解后，信號功率：l l         信號在非正交函數(shù)集中分解后，信號的功率并不滿足疊加性（如泰勒級數(shù)展開）。  2、 2、  信號有效值：信號的有效值定義為與信號有著相同的功率的直流信號的大小。其作用是方便信號功率的計算和表示。   l l         例如，正

30、弦信號的有效值： l l         按照信號功率分解公式，有： 即：信號的有效值不能疊加。 l l         利用信號傅利葉級數(shù)分解后的信號分量計算信號功率： §3-4 周期性信號的頻譜 l l         周期性函數(shù)可以在傅利葉級數(shù)中展開。如果給定了各個頻率分量的幅度和相位，就可以

31、確定信號。l l         頻譜是信號的一種圖形表示方法，它將信號各個頻率分量上的系數(shù)關(guān)系用圖形的方法表示出來。它可以說明信號的特性，而且可以給信號的變換和處理計算帶來很多方便之處。 l l         頻譜圖有兩個組成部分： 振幅頻譜：表示信號含有的各個頻率分量的幅度。其橫坐標為頻率，縱坐標各個對應(yīng)頻率分量的幅度。 相位頻譜：表示信號含有的各個頻率分量的相位。其橫坐標為頻率，縱坐標各個對應(yīng)頻率分

32、量的相位。 l l         頻譜圖有兩種形式： 1、如果用正弦函數(shù)展開式形式的傅里葉級數(shù)，則相應(yīng)的表達式為：則振幅為： 相位為： Ø Ø         按照這種定義做出的頻譜，因為只有(或)時才有意義，做出的圖只有的一邊，所以又被稱為單邊頻譜。 例：周期性方波的單邊頻譜。，所以：由此可以作出其頻譜圖 l l     &

33、#160;   單邊頻譜中，對于(或)點上的幅度頻譜，有一些與其它頻率點上的不同之處：1） 1）          如果認為幅度頻譜表示的是是信號在各個頻率上的信號分量幅度的大小，則信號真正的直流分量應(yīng)該為，頻譜在上的分量的大小應(yīng)該減半。2） 2）          如果認為幅度頻譜表示的是隨頻率變化的規(guī)律，則幅度頻譜不用變化。2、如果用復(fù)數(shù)正弦函數(shù)展開式形式的傅里葉級數(shù)，則相應(yīng)的表達式為：的傅里

34、葉級數(shù)表達式，則：Ø Ø         振幅為Ø Ø         相位為。Ø Ø         按照這種定義做出的頻譜在n大于和小于零的兩邊都有意義，做出的圖又被稱為雙邊頻譜。Ø Ø       

35、60; 由于對于實數(shù)信號而言，其頻譜具有對稱性，所以一般情況下對于雙邊頻譜也只要作出(或)部分就可以了。這樣一來的頻譜與單邊的頻譜就有些相似，但是含義不同。在頻譜形狀上，兩者的相位頻譜相同，但是振幅頻譜的幅度大小是單邊譜的一半。Ø Ø         單邊頻譜在物理概念上容易理解，但是雙邊頻譜對于后續(xù)的處理帶來很大的好處Ø Ø         在后面的內(nèi)容中，頻譜往往都是用雙邊頻譜。周期性信號的頻

36、譜有下面三個特點：1、     離散性：它有不連續(xù)的線條組成；2、     諧波性：線條只出現(xiàn)在基波頻率的整數(shù)倍點上；3、     收斂性：實際信號的幅頻特性總是隨頻率趨向無窮大而趨向于零。 例：周期性方波脈沖的頻譜：其中：，稱為抽樣函數(shù)。根據(jù)上面的公式可以畫出信號的頻譜。該例中信號的振幅頻譜和相位頻譜可以合二為一。根據(jù)周期性方波的頻譜，我們可以得到關(guān)于信號特性的幾個一般性結(jié)論：1、 1、     T增加>Sa()函數(shù)不

37、變>頻譜的包絡(luò)不變，收斂性不變。但是：1）譜線幅度降低；2）譜線密度加大。n n         信號周期加大，對振幅的收斂性沒有影響，但會使譜線密度增加。n n         當(dāng)T趨向無窮大時，信號成為非周期信號，這時，譜線幅度降低為無窮小，譜線密度加大，信號分量出現(xiàn)在所有頻率上。2、 2、     下降>Sa()尺度擴大>收斂性變差，但是譜線間隔不變。n n &#

38、160;       信號時間寬度變小，將使信號能量向高頻擴散，信號的頻帶增加。3、 3、     信號的頻帶：由于信號的頻譜的收斂性，一般可以在一個信號分量主要集中的頻率區(qū)間內(nèi)研究信號的特性，而忽略信號其它部分的分量。響應(yīng)的頻率區(qū)間就是信號的頻帶。信號的頻帶有很多種定義方法：1） 1）     以信號最大幅度的為限，其它部分忽略不計；2） 2）     以信號振幅頻譜中的第一個過零點為限，零點以外部分忽略不計；3）

39、 3）     以包含信號總能量的90%處為限，其余部分忽略不計； 4、 4、     信號的邊沿對信號頻帶的影響信號的邊沿變化越快，信號的頻帶越寬。例：三角脈沖函數(shù)的頻譜：（t_rec_p.m） 例341 例342例341： 請畫出下面周期信號的頻譜圖，并分析當(dāng)不變而T改變 和T不變而改變頻譜的變化情況  解： 該信號第n次諧波的振幅為 頻譜繪制如下： 分析并分析當(dāng)不變而T改變 和T不變而改變頻譜的變化情況 由此可見，振幅數(shù)值與之比有關(guān)。  (a)周期矩

40、形脈沖在時的頻譜圖。(b)當(dāng)脈沖連續(xù)時間不變,而重復(fù)周期增大為時(c)就是不變而減小一倍 所以1、T不變， t改變譜線間隔不變。t下降：1)Sa( )幅度變小；2)收斂速度減慢，3)信號的頻帶增加 2、T改變， t不變Sa()函數(shù)不變(頻譜的包絡(luò)不變，還是收斂）T增加：1）譜線幅度降低；2）譜線密度加大。 例342： 求如下圖所示的矩形脈沖的傅里葉變換。分析：這個脈沖與矩形脈沖相比，只是延遲了一時間，因此它的傅里葉變換只要將矩形脈沖的乘以，解：=   顯然，這函數(shù)的模量與矩形脈沖完全一樣，但它的相位要矩形脈沖的滯后，如下圖所示。 §3

41、-5 非周期性信號的頻譜 非周期性信號可以看成周期信號在周期趨向無窮大時的極限。一、 從周期信號到非周期信號 從傅利葉級數(shù)到傅利葉變換 根據(jù)周期信號傅利葉級數(shù)展開公式，其各個頻率分量的幅度為：當(dāng)時，此時：1） 1）     頻譜間隔趨進無窮小，信號在各個頻率點上都有信號分量>頻率取值變成連續(xù)的。2） 2）     在每一個頻率點上的頻率分量大小趨向零。 其中第二點給計算帶來了麻煩，所以無法用傅利葉級數(shù)表示非周期信號。這時，為了消除系數(shù)公式中趨向無窮小的部分，定義：這時上式可以得到一個非零的

42、值。令，則，而成為一個連續(xù)的變量，假設(shè)其表示為連續(xù)的變量，則可以得到傅利葉變換公式：n n           因為該式有“單位頻帶內(nèi)信號幅度”的量綱，所以被稱為“頻譜密度函數(shù)”。它表示信號在該頻率點上的分量的相對大小，而信號在此頻率點上的實際分量分量大小為零。n n           與傅利葉級數(shù)一樣，如果f(t)是實數(shù)函數(shù)，的幅度是的偶函數(shù)，的相位是的奇函數(shù)。二、   傅

43、利葉反變換怎樣用計算f(t)這個公式實際上也表示了將信號分解為一系列復(fù)數(shù)三角函數(shù)的子信號之和（積分）。這個公式也可以表達成為一個在物理上更容易理解的實數(shù)三角函數(shù)形式：三、   正反傅利葉變換 由此可以得到正反傅利葉變換公式為：FT：IFT： n n   和之間是一一對應(yīng)的，根據(jù)其中的一個可以確定另外一個。可以認為，它們包含了相同的信息，只不過自變量不同，它們是相同信號的不同表達形式。正變換將以時間為自變量的函數(shù)變成了以頻率為變量的函數(shù)，將信號從時域變換到了頻域。所以建立在這種變換上的系統(tǒng)分析方法稱為變換域法。這種變換通常經(jīng)過積分計算得

44、出，所以也稱為積分變換。n n   傅利葉變換所牽涉的兩個函數(shù)都是連續(xù)函數(shù)，所以它完成的是從連續(xù)函數(shù)到連續(xù)函數(shù)的變換；而傅利葉級數(shù)則是完成從連續(xù)函數(shù)到離散函數(shù)的變換。n n   傅利葉變換存在的條件依然是Direchlet條件，只不過這時考慮的時間區(qū)間為。n n   這里，在頻域中我們用作自變量，目的是為后面引入拉普拉斯變換打下伏筆。 四、   非周期信號的頻譜這里同樣可以用圖的形式，在變換域中表示信號。響應(yīng)的頻譜圖稱為信號的幅頻特性曲線和相頻特性曲線。 例351例351： 求下面非周期信號的傅

45、立葉變換分析：我們既可以根據(jù)傅立葉變換的數(shù)學(xué)定義直接求得；也可以根據(jù)周期信號傅立葉級數(shù)來求。 解1： 解2：下面的周期信號的傅立葉級數(shù)    五、    傅利葉變換的另外幾種形式：1、將頻域中的自變量從變成，則：FT：IFT：或：FT：IFT：這種形式上正反傅利葉變換形式上比較對稱。但是使用時并不方便。 2、一些文獻上也可以見到另一種形式的傅利葉變換公式：FT：IFT：§3-6 常用信號的F.T 常用信號的FT見P125129表。現(xiàn)在將一些結(jié)論列舉如下： 1、 1、 

46、;             沖激函數(shù)：例361例361 求單位沖激信號的傅里葉變換。 解 單位沖激信號的傅里葉變換為 即 1 單位沖激信號的頻譜如圖所示。這種信號中所有頻率分量的強度均相等，因而頻帶具有無限寬度，這是脈沖寬度無限趨小后的意料之中的結(jié)果。現(xiàn)在考察一下反變換式，即 因為常數(shù)頻譜1不滿足絕對可積條件，因此從上式是積不出 的結(jié)果的。但如將=l看成是一雙邊指數(shù)函數(shù)頻譜 在趨于零時的極限，即 =l= 則 由上面可見，上述極限除在t=0點有無窮大值外，其余t值時該極限俱為零

47、，因此具有沖激函數(shù)性質(zhì)，其沖激強度可由下式確定。 因此上式右方函數(shù)的極限為強度是1的沖激函數(shù)。即  2、 2、              單邊指數(shù)信號：例362例362 求單邊指數(shù)信號(single-sided exponential signal)的傅里葉變換 分析：只有當(dāng)0時傅里葉變換存在；當(dāng)0時， 函數(shù)不符合絕對可積條件，傅里葉變換也不存在。  解 此信號的傅里葉變換為 即 由此得，函數(shù)的幅度頻譜和相位頻譜為  3、 3

48、、              雙邊指數(shù)信號：以上兩個信號的FT只在時存在。例363 例363 求下圖所示雙邊指數(shù)信號(two-sided exponential signal)傅里葉變換。解 根據(jù)定義可得 即   (b)頻譜函數(shù)的模量與相位此即為的幅度頻譜，其相位頻譜0。同樣，要其傅里葉變換存在，亦必需大于零。4、 4、          

49、0;   門函數(shù)：5、 5、              階躍信號：例364例364 求單位階躍信號的傅里葉變換 解 根據(jù)定義，階躍函數(shù)的傅里葉變換應(yīng)為 因為也不滿足絕對可積條件，不能直接應(yīng)用傅里葉變換式去進行變換。為解決這問題，仍用取極限的方法，可先求得單邊指數(shù)函數(shù)的頻譜函數(shù)，把它分寫為實部和虛部，即 然后令，分別求其實部和虛部的極限A()和B() 且 由此可見，A()是一沖激函數(shù)，其沖激強度為，即 A()=又 因此得單位階躍函數(shù)的頻譜函數(shù)為 即

50、  6、 6、              直流：Ø Ø         階躍信號和直流信號并不滿足絕對可積條件，嚴格地說不存在傅里葉變換。但是通過引入沖激函數(shù)，也可以找到其傅里葉變換的表達式，從而也可以用傅里葉變換的方法進行分析；  §3-7 周期性信號的傅利葉變換 周期信號只是一個相對的概念。如果忽略其周期性，它應(yīng)該

51、也可以被看成是非周期信號處理，進行傅里葉變換。但周期信號是功率信號，不滿足絕對可積條件。但是通過引入沖激函數(shù)，一樣可以找到傅里葉變換。 1、 1、              復(fù)正弦信號的傅里葉變換：n n         根據(jù)這個變換以及后面要證明的傅里葉變換的線性特性，可以推導(dǎo)出：2、 2、  周期性信號的傅里葉變換周期性信號可以展開成傅里葉級數(shù)：由此可以得到周期性

52、信號的傅里葉變換為: 可見，周期性信號的傅里葉變換是一系列間隔均勻的沖激序列。3、 3、  脈沖信號（FT為）按照周期T進行周期化后信號的FT：（這里假設(shè)周期化后各個脈沖沒有重疊）f(t)周期化后可以表示成為傅利葉級數(shù)：所以：其中：所以： n n   通過查表，可以很方便地得到：1） 1）     非周期信號的FT2） 2）     周期信號的FT3） 3）     周期信號的傅利葉級數(shù)對照傅利葉級數(shù)和傅利葉變換的定義，可以得到： &#

53、160;4、 4、  均勻沖激序列：例371例371 求均勻沖激序列的傅里葉變換。 解 均勻沖激序列，是如圖所示的向t的正負方向無限伸展的、間隔都等于T的沖激函數(shù)的序列，它常以符號表示，即  這是一個周期為T的周期信號。由圖可見，在間隔-t內(nèi)，=故 根據(jù)抽樣性質(zhì) 故。代入式(3-67)可得即 式中表示一個沖激序列，也就是在軸上每隔出現(xiàn)一個沖激。這種頻譜如圖所示。 由此可見，一個沖激序列的傅里葉變換仍是一沖激序列。 n n   引入奇異函數(shù)后，很多原來不存在FT的函數(shù)也可以有FT我們稱之為廣義傅利葉變換。n n  

54、如果函數(shù)的FT在處有沖激，則說明函數(shù)存在直流分量；如果函數(shù)的FT在處有沖激，則說明函數(shù)存在頻率為的（復(fù)）正弦分量；  §3-8 傅利葉變換的性質(zhì)1、 1、     線性特性：2、 2、     延時特性：例381例381： 利用傅立葉變換性質(zhì)求下面信號的傅立葉變換解：  例382例382： 若單脈沖信號 f0(t) 的頻譜為若有如下三脈沖信號 求其頻譜 解：利用延時性質(zhì) 例383例383： 已知直流 FT1=2()，求復(fù)指數(shù)函數(shù)的傅立葉變換解：利用延時性質(zhì)

55、因為：FT1= 2()所以：3、     移頻特性：移頻特性與延時特性互成對偶。推論：例384例384： 求的傅里葉變換解：根據(jù)歐拉公式，正弦函數(shù)可以表示為復(fù)指數(shù)函數(shù)之和 所以：即 總結(jié)：一個信號在時域中與頻率為的正弦函數(shù)相乘，等效于在頻域中將頻譜同時向頻率正負方向搬移這種頻譜搬移的情況如下圖所示 4、     尺度變換：n n   信號的寬度沿時間軸壓縮a倍，信號的頻率寬度B沿頻率軸擴展a倍。脈沖信號的寬度和頻帶寬度B的乘積等于常數(shù)。n n   數(shù)據(jù)傳輸中總希望信

56、號的脈沖寬度盡可能小，占用的信號頻帶同時也盡可能小。但從該性質(zhì)可以看出，信號脈沖寬度的頻帶寬度是一對矛盾。 例385例385： 利用傅立葉變換的尺度變換性質(zhì)求下列信號的傅立葉變換 分析： 根據(jù)尺度性質(zhì)：解：  5、  5、  奇偶虛實性假設(shè)：其中：，為的實部；，為的虛部；，為的幅度；，為的相角； 1） 1）     a、 b、c、2） 2）     如果信號f(t)是實數(shù)信號，則：a、是的偶函數(shù)；是的奇函數(shù)； 或：b、是的偶函數(shù)；是的奇

57、函數(shù)； 3） 3）     如果是實偶函數(shù)，則也是實偶函數(shù)；如果是實奇函數(shù)，則是虛奇函數(shù)；4） 4）     思考：如果是虛函數(shù)，情況怎樣？6、  對稱特性如果，則：例386例386： 利用傅立葉變換的對稱性質(zhì)求1的傅里葉正變換分析：下圖(a)表示作為一偶函數(shù)的單位沖激函數(shù)，經(jīng)過傅里葉正變換，成為(b)所示的頻譜函數(shù)1。現(xiàn)在將(a)中的變量改為，即把 = 改為=，成為(c)所示的頻譜函數(shù)再把(b)中的變量改為，并考慮到反變換式中的乘數(shù)，把l改為 =，成為(d)所示的時間函數(shù)。經(jīng)過這樣把變量和進行對稱的互易，從(a)到(b)的正變換就成解：FT1 2時間函數(shù)為一常數(shù)的信號表示一直流量，它的頻譜函數(shù)是零頻率處的一個沖激，這當(dāng)然是意想中的事。 7、 微分特性如果存在并且滿足Direchlet條件，則：推廣： 8、 積分特性如果，或存在且有限，則上式可以簡化為： 9、 頻域微積分或：10、 卷積定理  利用這十個性質(zhì)，結(jié)合傅利葉變換表，可以求解很多工程上的信號的傅利葉變換。 例387例3