1、二次函數單元復習與鞏固知識框圖突際問題一元二次方慳與二次亙典的兇晝利用二次函數的圖象求一元二次方程的解 匚|實標向Jg與二次屆數;jft大因枳是黑但知識要點梳理知識點一：二次函數的定義一般地，如果 "公+防+«”是常數，*=。），那么尸叫做x的二次函數知識點二：二次函數的圖象與性質1 .二次函數由特殊到一般，可分為以下幾種形式：尸"；蚱攻心匕（工-杼；.=咐一呼+無b 4ac h2其中 2津電 尸組+幾種特殊的二次函數的圖象特征如下:函數解析式開口方向對稱軸頂點坐標當值） 0時開口向上當口 4 0時開口向卜尺二o（1y軸）(0 , 0)y - ax2X三口（T軸）

2、（0,小）y - 口卜-城X = fe（歷，0）y - 口 （3一由y +上k 二 h山)y =+ 醫 +c?bX =2ab Aac-b1 !«(21Aa )2 .拋物線的三要素：開口方向、對稱軸、頂點.（1）次的符號決定拋物線的開口方向：當相>0時，開口向上；當口y°時，開口向下;同相等，拋物線的開口大小、形狀相同.（2）平行于尸軸（或重合）的直線記作X三刃.特別地，尸軸記作直線.3 .拋物線P = © 4辦工+二中，arbrc的作用（i）值決定開口方向及開口大小，這與J三或中的厘完全一樣.（2）力和&共同決定拋物線對稱軸的位置.由于拋物線的對稱軸

3、是直bX = 一線 如，-> 0故：&二°時，對稱軸為y軸；曰（即厘、&同號）時，對稱軸在y軸左側;-<0鼻 （即色、&異號）時，對稱軸在A軸右側.(3)匕的大小決定拋物線 =*工+b1+白與尸軸交點的位置.當五二口時，了=匚，.拋物線y =，+瓦+亡與丁軸有且只有一個交點(0,白)：匚二。，拋物線經過原點；匚；。，與丁軸交于正半軸；匚 。，與丁軸交于負半軸.-0以上三點中，當結論和條件互換時， 仍成立.如拋物線的對稱軸在 二軸右側，則0.4 .用待定系數法求二次函數的解析式(1) 一般式：y = 2 4M已知圖象上三點或三對或、尸的值，通常選擇一

4、般式(2)頂點式：y="一我y *文.已知圖象的頂點或對稱軸，通常選擇頂點式 .(可以看成y三#的圖象平移后所對應的函數.)(3)“交點式"：已知圖象與 K軸的交點坐標'1、叼，通常選用交點式:/二口(工一七)(工/).(由此得根與系數的關系!知識點三：二次函數與一元二次方程的關系函數/1,，當A U時，得到一兀一次萬程I ，那么一元二次方程的解就是二次函數的圖象與x軸交點的橫坐標，因此二次函數圖象與x軸的交點情況決定一元二次方程根的情況.(1)當二次函數的圖象與 X軸有兩個交點，這時 卜八 -4"已0 ,則方程有兩個不相等實根；(2)當二次函數的圖象與

5、x軸有且只有一個交點，這時 A - = 0 ?則方程有兩個相等實根；(3)當二次函數的圖象與 x軸沒有交點，這時 卜二b -4ac 0 ,則方程沒有實根.知識點四：利用二次函數解決實際問題利用二次函數解決實際問題，要建立數學模型，即把實際問題轉化為二次函數問題，利用題中存在的公式、 內含的規律等相等關系，建立函數關系式，再利用函數的圖象及性質去研究問題.在研究實際問題時要注意自變量的取值范圍應具有實際意義利用二次函數解決實際問題的一般步驟是：(1)建立適當的平面直角坐標系；(2)把實際問題中的一些數據與點的坐標聯系起來；(3)用待定系數法求出拋物線的關系式；(4)利用二次函數的圖象及其性質去分

6、析問題、解決問題四、規律方法指導1 .求拋物線的頂點、對稱軸的方法2 fb V 也已一爐y - ax +合算十C=al aH十(1)公式法：'2G 4a,.頂點是f b 4 鼻巴一6，、hI-J芯二一2H 4口 ，對稱軸是直線溫.(2)配方法：運用配方的方法，將拋物線的解析式化為y=乩”療+比的形式，得到頂點為 產,上)，對稱軸是直線五二日.(3)運用拋物線的對稱性：由于拋物線是以對稱軸為軸的軸對稱圖形， 所以拋物線上縱坐標相同兩點連線的垂直平分線是拋物線的對稱軸， 對稱軸與拋物線白交點是頂點.用配方法求得的頂點，再用公式法或對稱性進行驗證，才能做到萬無一失2.直線與拋物線的交點（i）

7、尸軸與拋物線y = &工;二得交點為（0,白）.（2）與尸軸平行的直線 走二方與拋物線y = ax :阮+，有且只有一個交點（宓，一"，_7 一）.（3）拋物線與K軸的交點二次函數/="1 *"定+的圖象與N軸的兩個交點的橫坐標F、叼，是對應一元二次方程"/= 0的兩個實數根.拋物線與工軸的交點情況可以由對應的一元二次方程的根的判別式判定：有兩個交點 0 。=拋物線與工軸相交；有一個交點（頂點在M軸上）0 A = 0 =拋物線與或軸相切；沒有交點 G G拋物線與或軸相離.（4）平行于大軸的直線與拋物線的交點同（3） 一樣可能有0個交點、1個交點、

8、2個交點.當有2個交點時，兩交點的縱坐 標相等，設縱坐標為比，則橫坐標是 匾1二十亡二死的兩個實數根.一次函數V二七+迎工°）的圖象I與二次函數y三加總工。）的圖象g 的交點，由方程y -kx+翼4組”原+當H+亡的解的數目來確定：方程組有兩組不同的解時0與G有兩個交點；方程組只有一組解時 G ?與G只有一個交點；方程組無解時 =?與口沒有交 點.（6）拋物線與或軸兩交點之間的距離：若拋物線""工+法"與正軸兩交點為hc3 / _ y=_ _，工14=_由于工1、三是方程#*Q的兩個根，故也aICCB 左 - 4ac 心=_4=#/ _勺）=+芍）4演均

9、=q 工 _ _=_= -j-經典例題透析類型一：二次函數的定義1. （1）如果函數V = O-m2"'+ + l是二次函數，試確定m的值.思路點撥： 根據二次函數的定義，只需滿足 跳訊+ 2=2 ,且附-3=0 ,函數 發5- 3）/-十制+1是二次函數.渥 -+ 2=2.解：函數二附-RC+. + 1是二次函數，則1鹿-3/0.由得叼=°, % = 3由得mw3.，當m=0時，函數少二（胸一3）一調"十座+ 1是二次函數.（2）將二次函數y三工一4工+ $化為y=（工一期）土-”的形式，則尸_.思路點撥：把函數方=乂-4,+ 5通過配方即可得至IJ產三

10、6一如 ,4的形式.解：p = -4/ + 5三/-皿 + 4+1 = 5-2）?41,即尸=1”2尸斗1總結升華：已知一個函數為二次函數， 求字母系數的取值時， 根據定義必須滿足兩個條 件：自變量的最高次數為 2,二次項系數不為 0.舉一反三【變式1】請寫出一個開口向上，與y軸交點的縱坐標為-1,且經過點（1, 3）的拋物線的關系式.思路點撥：此題是開放題，所寫二次函數只要滿足題目的條件都正確.解析：本題答案不唯一，主要是二次項系數a的值，只要取大于 0的數均成立，設/+6".拋物線與y軸交點的縱坐標為-1,c=-1.又過點（1, 3）,a+b+c=3,即a+b=4,當a=1時b=

11、3,當a=2時b=2等等.答案：yf y = 21421等等.類型二：求二次函數的解析式2. （1）將拋物線y=x2的圖象向上平移1個單位，則平移后的拋物線的解析式為 答案：y = x2+1(2)已知當x=-1時，拋物線最高點的縱坐標為4,且與x軸兩交點間的距離是 6,求此函數的關系式.思路點撥：由題意可知頂點坐標為(-1, 4).故可選擇頂點式.又由對稱軸為 x=-1,與x 軸兩交點間的距離為 6,可推知與x軸兩交點的坐標為(-4, 0)和(2, 0),故又可選擇兩點式.解析：解法1：由題意可知，拋物線的頂點為(-1, 4),設函數的關系式為N三口(累+ 1) +4又由對稱軸為x=-1,拋物

12、線與x軸的兩交點間的距離為 6, 所以拋物線與x軸兩交點坐標為(-4, 0)和(2, 0)._4把x=2, y=0代入，=心+ 1尸+4 ,得儀2 + 1尸+4 = 0 ,解得“§力 2 T4 2 832j/ = (x + 1) -1-4 ,二一一工 一一彳 所求拋物線的關系式為9，即 999.解法2:由題意知，拋物線的頂點為 (-1, 4),對稱軸為x=-1,與x軸的兩交點坐標為(-4, 0), (2, 0).設拋物線的關系式為 > =奴工+斗(工-2),把五二一,代入，得 4 =城-1+軟-1-2)4r 34)832c t /=一萬(克+今(工-2) 尸=一1一工+所求拋物

13、線的關系式為9，即 999.總結升華：要善于根據題目的條件進一步推理，要特別注意利用數值的頂點、對稱軸、 與x軸的交點等可以直接運用的條件，本題解法有多種，請同學們慢慢分析體會.類型三：二次函數的圖象及性質3.如圖所示，二次函數y-ax +'工+'的圖象開口向上，圖象經過點(-1,2)和0, 0), 與y軸交于負半軸.(1)四個結論：a>0,b>0,c>0,a+b+c=0,其中正確的序號是(2)四個結論：abcv 0;2a+b>0,a+c=1,a>1,其中正確的序號是 解析：a、c的符號可通過圖象看出，a>0, c< 0.-A >

14、 ob的符號可借助于對稱軸的位置勿 ，七 e將（1, 0）代入' =白工+' + &可得值+ i +廣二口.故（1）中a>0成立；b>0不成立；c>0不成立；a+b+c=0成立.由 a>0, b< 0, c<0, abc>0.-±<1由圖象可知 2n ,即一小M 2百，2a+b>0.將（-1, 2）代入戶 .+嬴"得+.結合a+b+c=0,進而可得 a+c=1.由 a+c=1,得 a=1-c, 1.- c< 0, a>1.故（2）中abcv0不成立；2a+b>0成立；a+c=1成

15、立；a>1成立. 答案：（1）（2）總結升華：熟練掌握函數的圖象及性質是解題的關鍵.舉一反三【變式1】已知尸二次,45工的圖象如圖所示，則¥ = k”的圖象一定過（）A.第一、二、三象限B.第一、二、四象限C.第二、三、四象限D.第一、三、四象限【變式2】在同一坐標系中，一次函數F =與二次函數"工的圖像可能是解析：當0時進行討論，即可找到答案答案：C解析：由圖象可知開口向下，a<0,對稱軸在y軸右側，所以 2忘 ，所以b>0,所以y =的圖象一定經過二、三、四象限.答案：C總結升華：要確定衛二QX一的圖象所經過的象限，即確定 a與-b的符號.由圖象的開

16、口方向確定a的符號，從而確定直線所過的象限，數形結合是解本題的關鍵.類型四：一元二次方程與二次函數的關系4.(1)若二次函數片與x軸有兩個交點，求k的取值范圍.思路點撥：由題意，該函數為二次函數，則 29-1)羊。,又與x軸有兩個交點，則說口明當y=0時，即方程上(比一1)工4丘+ 2您- 1)二。有兩個不同的實數根，即*-4枇>0 .2(1)工0.解：由題意，得廿T於二靖-"次-1)'2代7口解得上=1 ;解得維-1八0, /-歸-2hl”0,2L0, . >5.當 2且H 1時，二次函數與x軸有兩個交點.y= + x 4- c(2)已知拋物線2與x軸沒有交點.

17、求c的取值范圍；試確定直線尸=?工* 經過的象限，并說明理由.1 jy= x +天+二思路點撥：拋物線 &與x軸沒有交點，0,可求c的取值范圍解：(1) ;拋物線與x軸沒有交點，.,/< 0,即1 2cv 0,解得c>之1 1(2)c> 2 ,，直線y=2 x+1隨x的增大而增大,1,b=1,，直線y=2x+1經過第一、二、三象限.總結升華：拋物線與x軸有兩個交點，即一元二次方程有兩個不等的實數根.舉一反三【變式1】無論x為何實數，二次函數尸=以工+萬戈+色的圖象永遠在x軸的下方的條件 是()A>0D <0, i? -Aae <0A.BC. ， &q

18、uot;D.|rJ思路點撥：因為二次函數 WX的圖象永遠在x軸的下方，故該圖象的開口向下，所以aqO；同時該圖象與x軸無交點，也就是方程 加d+2，+匕 = 0無實數根.解析：二次函數p三以 轉工"的圖象與x軸無交點，則說明y=0時，方程蘇+加+。0無解，即b, - 4被：<0 .又圖象永遠在x軸下方，則值:口 .答案：B【變式2】對于二次函數¥=必工+版+認辦0),我們把使函數值等于0的實數x叫做這個函數的零點，則二次函數 尸三/一"玳+股-2 (m為實數)的零點的個數是()A. 1B. 2C. 0 D.不能確定思路點撥： 使函數值為0的實數x也就是方程工

19、一加工十尷-2 二 °的根，由根的判別 式即可確定根的情況.解：當y=0時，解一刀”十常一2二0,1 ”一 :： 1 一.：一. .： ?即二次函數X-一爾斗陽- 2的零點個數是2 .答案：B總結升華：理解題意，轉化為方程問題求解，理解“零點”的意義是解題關鍵【變式3】拋物線y-x與直線只有一個公共點，則b=.思路點撥：有一個公共點，即方程組有唯一解，可通過判別式等于0求出b的值.解：由題意得1+3把代入得 / - - 二L . |拋物線y”與直線¥ = 2工+匕只有一個公共點，.方程/2克-8=0必有兩個相等的實數根，鄉=(-2了+他=0 .匕=1 y總結升華：此題都是充

20、分利用方程思想解函數的例子，正確理解題意是解題的關鍵.【變式4】二次函數的圖象如圖所示，根據圖象解答下列問題:(1)寫出方程*一十方乂+£ = 0的兩個根；(2)寫出不等式次/+加T+e >0的解集；寫出y隨x的增大而減小的自變量 x的取值范圍；若方程片7=總有兩個不相等的實數根，求k的取值范圍.思路點撥：認真觀察圖象，通過圖象求解.解：(1) '一.-2 2) J : 3 .-二.(4)方法1:方程"X+上工+二二上的解，尸=4 元",即為方程組尸為中x的解也就是拋物線y三次克+打+E交點的橫坐標，由圖象可看出，當上2時，直線/=k與拋物線y =

21、ax +初c+w有兩個交點，.方法2: 二次函數三色/ +/+ E的圖象過（1, 0）,（3, 0）, （2, 2）三點,a -b 0, 曰二一2,' 90 +至 +仁-0,； 3 二 &4dt + 2 +<: - 2, . t - -6. lf - l.-,即 2工,一尢+6 = 0 ,A = (-S)a-4x24 6) = 16-8*方程有兩個不相等的實數根,16-8 > 0- k <2總結升華：比較（4）中的兩個解法可以看出，對某些數與形結合的問題，用數形結合的 思想方法解題不但直觀，還可以取得事半功倍的效果類型五：實際應用5 .某跳水運動員進行 10

22、m跳臺跳水訓練時，身體（看做一點 而空中的運動路線是如圖 所示坐標系下經過原點 O的一條拋物線（圖中標出的數據為已知條件 ），跳臺i枝5 m以前，必須完成規定的翻騰動作,（1）中的拋物線，且運動員在空中調整10-在跳某個規定動作時，正常情況下，該運動員在空中最高處距水面 池邊的距離為4m,同時，運動員在距離水面高度為 并調整好入水姿勢，否則就會出現失誤.（1）求這條拋物線的關系式；（2）在某次試跳中測得運動員在空中的運動路線是好入水姿勢時，3-距池邊的水平距離為 5m,問此次跳水會不會失誤 ？并通過計算說明理由.思路點撥：由圖所示直角坐標系，可知拋物線經過0、A、B三點，0、B兩點的坐標由分析

23、可知0(0, 0)、B(2, -10),且A的縱坐標為3 ,故可設拋物線y-ax +取",求得a、b、c的值.會不會產生失誤即運動員完成動作時到水面的距離是否小于5米，換句話說就是完成動作時所對應的拋物線上的點的縱坐標絕對值是否小于解：(1)在給定的直角坐標系下，設最高點為A,5米.入水點為 B,拋物線的關系式為由題意知，0、B兩點的坐標依次為(0, 0),2(2,-10),且頂點的縱坐標為 34叱-y 24a- n 1，4a + 23 + c =-10,解得25a -6c 0拋物線對稱軸在 y軸右側，又拋物線開口向下，a<0,b>0, ,25 3拋物線關系式為匕10十一

24、X33-m(2)當運動員在空中距池邊的水平距離為*2二§即 55時,16T此時運動員距水面的高為因此，此次跳水會出現失誤.總結升華：題目中已經建立了平面直角坐標系，我們只需根據相關數據求出函數解析式, j、口 2y - 典）+ 即可，本題也可以用頂點式3求解.正確理解“運動員在距離水面高度5 m以前，必須完成規定的翻騰動作，并調整好入水姿勢，否則就會出現失誤”，即1y住5是解題關鍵.6 .某公司經銷一種綠茶，每千克成本為50元.經市場調查發現，在一段時間內，銷售量w（千克）隨銷售單價x（元/千克）的變化而變化，具體關系式為 w=-2x+240.設這種綠茶在 這段時間內的銷售利潤為y（

25、元），解答下列問題：（1）求y與x的關系式.（2）當x取何值時，y的值最大？（3）如果物價部門規定這種綠茶的銷售單價不得高于90元/千克，公司想要在這段時間內獲得2250元的銷售利潤，銷售單價應定為多少元？思路點撥：（1）根據銷售利潤（y元）：銷售單價（x元/千克）-成本價（50元/千克）X銷售 量（w千克），建立y與x的關系式；（2）利用二次函數的性質求解；（3）根據銷售利潤（y的值）, 通過解方程，確定銷售單價 （x的值）.解：（1產（或-5口）,的二（工-50），（-21+240） = 一2公 +340-12000 ,. y與x的關系式為/-2/+340工-12000（2嚴-2/ + 卻

26、”12。口三-25-粉、2怨。, 當x=85時y的值最大.（3）當 y=2250 時，可得方程20-85）二十 2450. 2250解這個方程，得近=75.根據題意，/=95不合題意舍去.當銷售單價為75元時，可獲得銷售利潤 2250元.總結升華：第（1）問是根據利潤=差價X銷售量，建立函數模型.第（3）問是建立方程模型, 根據實際意義求出 x的值.通過建立數學模型，把實際問題轉化為數學問題求解.7 .如圖所示，張強的爸爸想利用一邊長為a m的舊墻及24 m長的舊木料，建造羊舍 3間，它們的平面圖是一排大小相等的長方形. aAD工1- -Jc（1）如果設羊舍寬為x m,則羊舍總面積S（m2）與

27、x（m）有怎樣的函數關系式？（2）請你幫助張強的爸爸算一下，如果羊舍總面積為32 m2,應如何安排羊舍的長和寬？舊墻的長度是 否會對羊舍的長度有影響？有什么樣的影響？（3）為了讓羊兒住得好，32 m2是否是最大面積？請利用有關的知識加以說明.思路點撥：AB=x，則BC=24-4x,由矩形面積公式便可求出S與x的函數關系式；當面積為32 m2時，函數問題就變成了方程問題，即已知函數值求x;利用二次函數的性質可判斷32 m2是否為最大面積，同時要注意x的取值范圍.解：（1）AB=x,則 BC=24-4x ,所以 S=（24-4x）x,即 £ 二一4工+24工.,陽-4工 0,24 * 戚由題意可知一 見解得 4或QmjmS.S 二 一4犬+24工<6所以當。<口 24時，14J .當 a>24 時，* =+如（0-<6）.（2）由一4/ + 24, = 32 ,得/-&x+E = 0 ,解得為=4 , % = 2所以當 AB=4