1、2020屆河北省衡水中學高三上學期七調考試數學（理）試題第I卷（選擇題）、單選題試卷第8頁，總5頁1 .已知集合M0, X,N 1,2,若 M I N 2,則 MN的子集個數為（）A. 2C. 6D. 82.已知復數Z1 2iTT,則z對應的點位于復平面的（A.第一象限C.第三象限D.第四象限3.設f（x）為奇函數，當x 0時,f(x)116C.44 .設 an為等比數列，bn為等差數列,且Sn為數列bn的前n項和若a2 1 ,3io 16,且 a6b6,則 SiA. 20B. 30C. 44D. 885.設是兩個不同的平面,m,n是兩條不同的直線，下列說法正確的是（A.B.c.m/m /D.

2、6.如圖是數學界研究的弓月形的一種，邊形的三條鄰邊，四個半圓的直徑分別是則此點取自陰影部分的概率是（）AC,CD,DB是以AB為直徑的圓的內接正六ABAC,CD,DB,在整個圖形中隨機取一點,A.，6,3 3B.6,36,3 3C.2,3 2% 3D.6,3 26/3 37.已知函數f （x）2sin(x )(0,0）的部分圖象如圖所示,則 y f(x)的解析式可以為（2sinA. yB.2sin7 x 10C. y2sin7 x 10d.2sin8.已知向量.一 一 r , r1,j3 ,向量a在b方向上的投影為6,若（r b)rb,則實數的值為（1B. 一3D.9.已知雙曲線22x yM

3、:二分 1(aa b0,b0）的一條漸近線與y軸所形成的銳角為30 ,則雙曲線 M的離心率為（）A. 23B. 33C. 2310 .設正方體ABCD AB1CQ1的棱長為1 ,E為DD1的中點，M為直線BD1上一點，N為平面AEC內一點，則M , N兩點間距離的最小值為B.c.男4D.611.已知直線l1: mx3m 1 0與直線 l2: x my 3m 10相交于點P ,線段AB 是圓 C:(x 1)2(y1）2 4的一條動弦，且|AB | 273 ,uuu uuu則| PA PB|的最大值為（）A. 3石B.C. 572D. 8石 212.已知不等式x 31nx 1-mlnx n（m,n

4、 R,且m 3）對任意實數x 0恒成立，則nJ.的最大值為（）m 3A.21n2B. In 2C. 1n2 1D. In 2 2第II卷（非選擇題）二、填空題1213 .已知tan -,則cos sin 2 的結果為 214 .設樣本數據 X1,X2,L ,X2019 的方差是 5,若 y 2xi 13（i 1,2,L ,2019）,則y1,y2,L ,y2019 的方差為 15 .某單位在慶祝新年的聯歡晚會中， 要安排一個有6個節目的節目單，要求歌曲A和 舞蹈A相鄰，且歌曲 A要排在舞蹈 A的前面；歌曲B和舞蹈B不相鄰，且歌曲B和舞 蹈B均不排在最后，則這 6個節目的排法有 種.16 .在邊

5、長為2m的菱形ABCD中，A 60，沿對角線BD折起，使二面角A BD C的大小為120 ,這時點A, B,C, D在同一個球面上，則該球的表面積為三、解答題17.已知向量m33x dcos-,1 ,2.x 2 x1sin-, cos 一 ,設函 f (x) 一 222ir rm n.在VABC中，角A,B,C的對邊分別是, 一 1a,b,c, f(A)一 2（1）求A的大小;(2)若 a 3, cos(B C) cos A一 一 24sin C ,求c的大小.18 .如圖，AB是半圓。的直徑，C是半圓O上除點A, B外的一個動點， DC垂直于eO所在的平面，垂足為 C, DC/EB,且DC

6、EB 1 , AB 4.(1)證明：平面ADE 平面ACD ;(2)當C為半圓弧的中點時，求二面角 D AE B的余弦值.19 . 2018年是中國改革開放的第40周年，為了充分認識新形勢下改革開放的時代性，某地的民調機構隨機選取了該地的100名市民進行調查，將他們的年齡分成6段:20,30 , 30,40 , , 70,80并繪制了如圖所示的頻率分布直方圖(1)現從年齡在 20,30 , 30,40 , 40,50內的人員中按分層抽樣的方法抽取8人,再從這8人中隨機抽取3人進行座談，用 X表示年齡在 30,40內的人數，求X的分 布列和數學期望；(2)若用樣本的頻率代替概率，用隨機抽樣的方法

7、從該地抽取20名市民進行調查，其中有k名市民的年齡在 30,50的概率為P X k k 0,1,2,20 .當P X k最大時，求k的值.2220.已知橢圓 y 1的右焦點為F ,過F的直線l交橢圓于P、Q兩點(直線l與 62坐標軸不垂直)，若PQ的中點為N , O為坐標原點，直線 ON交直線x 3于M .(I)求證：MF PQ ；(陰求£©的最大值.MF2 x21 .已知函數f (x) x x 4 e .(1)若不等式f (x), m在區間1,3上有解，求實數 m的取值范圍；(2)已知函數F(x) f(x) ax, a R ,若x0是F(x)的極大值點，求F x0的取 值

8、范圍.x 2 t cos22 .在直角坐標系xOy中，設傾斜角為的直線l :(t為參數)與曲y 3 tsinx 2cos線C:(為參數)相交于不同的兩點 A, B .y sin(1)若求線段AB中點M的坐標；(2)若| PA |PB| OP2,其中P 2, J3 ,求直線l的斜率.23 .已知函數 f(x) |x 2| m|x 1|(m R).(1)若m 2,解不等式f(x)5；(2)若f(x), m|x 5|,求m的最小值.參考答案1 . D【解析】【分析】先求出集合 M ,再求出M N ,即可得解.【詳解】Q M I N 2 ,2 M 即 M 0,2,M U N 0,1,2 ,M N子集個

9、數為23 8個.故選：D.【點睛】本題考查了集合的運算和子集的概念，屬于基礎題.2 . C【解析】【分析】1 3i轉化條件得z ,即可得解.2 2【詳解】1 2i 1 2i 1 i 1 3i由題z -1 i 1 i 1 i 2 2 .故選：C.【點睛】本題考查復數的概念和運算，屬于基礎題.3. A【解析】【分析】1 先計算f 一 4 ,再利用奇函數的性質 f 4 f 4即可得解. 16【詳解】，升» . . 1.1.由題意 f ff log2 f 4 f 4 log242162162.故選：A.【點睛】本題考查了復合函數函數值的求法和函數奇偶性的應用，屬于基礎題4. C【解析】【分析

10、】利用等差數列的性質可求出 a6,再利用Su 11a6即可得解.【詳解】Q an 為等比數列，a6232a1016 且%a2q40 ,b6a64 ,又 bn為等差數列， §1 里色 11 11a6 44.2故選：C.【點睛】本題考查了等差、等比數列性質的應用以及等差數列的求和，屬于基礎題 5. D【解析】【分析】根據線面、面面關系的性質和判定逐一判斷即可【詳解】若 ，I m, m n ,則n與 可能相交、平行或 n ，故A錯誤;若 ，n/ ，則n與 可能相交、平行或 n ，故B錯誤；答案第10頁，總20頁若m/ , m/ ，則 與 可能平行也可能相交，故 C錯誤;若m , m ，則

11、/ ,又n ，則n正確.故選：D.本題考查了線面、面面位置關系的性質和判定，屬于基礎題6. A由題意分別算出陰影部分的面積和總面積后即可得解332126,3+3 - =,、 ,-1+2不妨設六邊形的邊長為1,由題意得§巧=心2_ 6.3+3S陰影二S總S半圓二8P S陰影S總6.3_8_6、3+386 . 36*3 3 .故選：A.本題考查了幾何概型概率的求法，屬于基礎題7. D由圖可得1即可求出056,0即可求出,即可得解.f 0由圖像可知f 012sin即02 cos0, 0又圖像過點一 5即 2sin(60,5-65-61 6k k Z5當k 2時,f(x) 2sin56故選：

12、D.本題考查了三角函數yAsin wx小解析式的確定和導數的應用，屬于中檔題8. Ar設a x, y ,轉化條件得x 3y4 ,整體代換即可得解.r , ra在b萬向上的投影為6,x 、3y26即 x、3y 12.r b)r b)1.3 y 30,124,解得故選：A.本題考查了向量數量積的應用，屬于中檔題9. C【分析】轉化條件得ba.3,再利用e即可得解.【詳解】由題意可知雙曲線的漸近線為y -x,a又 漸近線與y軸所形成的銳角為 30 ,bc 一 tan60 73, a雙曲線離心率e2.故選：C.本題考查了雙曲線的性質，屬于基礎題10. B本道題結合直線與平面平行判定，證明距離最短即為計

13、算 BD1與OE的距離，計算，即可。結合題意，繪制圖形結合題意可知 OE是三角形BDDi中位線，題目計算距離最短，即求 OE與BDi兩平行線的距離，DD1 1,BD1 樞 BD 衣，所以距離d ,結合三角形面積計算公式可得S - BD DDi 1 BDi 2d ,解得 d 6 ,故選 b。226【點睛】本道題考查了直線與平面平行的判定，難度較大。11. D【解析】【分析】22uuuuuu由已知可得點 P的軌跡為(x 2)2(y 2)22,將|PAPB |轉化為點P到弦AB的中點D的距離的兩倍，利用圖形即可得解.【詳解】由題意得圓C的圓心為1, 1，半徑r= 2,易知直線11 : mx y 3m

14、 1 0恒過點3,1 ,直線l2 : x my 3m 1 0恒過1,3 ,且l l 2，點P的軌跡為(x 2)2 (y 2)2 2,圓心為2,2 ,半徑為亞,若點D為弦AB的中點，位置關系如圖：uuu unn urnrPA PB 2PD.連接 CD ,由 | AB | 273 易知 CD = J4-呵=1.PD PC CD 43 32 22 1 4 短 1, maxmax'uuu uuuuurn|PA PB U 2 PD8V2 2.max故選：D.【點睛】本題考查了直線的方程、圓的方程、直線與圓的位置關系以及向量的線性運算，考查了轉化化歸思想和數形結合的思想，屬于難題.12. B【解析

15、】【分析】轉化條件得x 3 m lnxn 1 ,求出f x x 3 m In x的最小值后即可得n 32 一 一3 m 3m In 3m n 1,可得1 In 3 m ,取后求出m 3m 3 .2g x 1 lnx x 0的最大值即可得解. x【詳解】由題意得x 3 m lnxn 1恒成立，令 fx x 3mlnx-Ufx,不合題意;若3 m 0, f x 0, f x單調遞增，當x 0時f x若 3m 0,當 x 0,m3 時，fx0, f x單調遞減，當xm 3,時,0, f x單調遞增，所以f x最小值為f m 33 m 3 m In 3 m 21 In 3 mm 3人. .2- 一12

16、 x 2 一令 g x 1 In x - x 0,則 gx 2- x 0 , xx x x當x 0,2時，g x 0, g x單調遞減，當x 2,時，g x 0, g x單調遞增,g x g 2 ln2,1 In 3 m 2In 2即旦色的最大值為ln 2.m 3m 3故選：B.【點睛】本題考查了導數的應用和恒成立問題的解決方法，考查了轉化化歸的思想，屬于難題13.轉化條件得2sincos ， cos2sin 22cos2，求出cos2后即可得解【詳解】Q tansin21sin一 ,2cos1 -一即 2sin22122cos - cos coscos ,21 即 cos222。cos si

17、n2 cos 2sin cos 2cos -.8故答案為：85'【點睛】本題考查了同角三角函數關系的應用和二倍角公式的應用，屬于基礎題14. 20.【解析】【分析】利用方差的性質直接求解即可.【詳解】因為樣本數據 X1,X2,L ,X2019 的方差是 5,若 y 2Xi 13(i 1,2,L ,2019), 所以 y1,y2,L , y2019 的方差為 5 22 20 .故答案為：20【點睛】本題考查了方差的性質，屬于基礎題15. 36【解析】【分析】B和A3種36種排先用捆綁法把歌曲 A和舞蹈A看成一個整體，再和其他兩個節目全排列，最后把歌曲 舞蹈B插空即可得解.【詳解】把歌曲A

18、排在舞蹈A前面后把兩個節目看成一個整體，再和其他兩個節目全排列，有 排法，再用歌曲B和舞蹈B插空且均不排在最后，有 A3種排法所以共有A3 A 法.故答案為：36.答案第24頁，總20頁【點睛】本題考查了排列組合的應用，屬于基礎題16. 28【解析】取BD的中點E,連接AE、CE,可知外接球的球心在面 AEC中，再作OG CE ,分別求出OG與CG的長度后即可得解.如圖1 ,取BD的中點E,連接AE、CE,由已知易知面 AEC 面BCD ,則外接球的球心在面AEC中.由二面角 A BD C的大小為120可知 AEC 1200.在面AEC中，設球心為 O,作OG CE ,連接OE ,易知O在面B

19、CD上的投影即為 G , OE平分 AEC ,G 為 BCD 的中心， CG 2GE 2, OG GE tan60o J3， 2OC . GC2 GO2 、1，S球=4、7 =28 .故答案為：28【點睛】本題考查了立體圖形外接球體積的求解，考查了空間想象能力，屬于中檔題17. (1) A (2) c 石3【解析】【分析】1(1)轉化條件得f(x) sin x 一，由f(A) 一即可得解；62(2)轉化條件得sin B 2sin C ,利用正弦定理可得 b 2c,利用余弦定理即可得解根據題意得f (x).3 .1 cosx 1sin x 2221 ur r - x x 2 x 1一 m n .

20、 3 sin - cos cos 一 一2222 2旦inx21 -cosx 2sin x 一 61 r(1)因為 f (A) sin A ,且 0 A 62，所以A 3(2)因為 cos(BC、A.2 八C) cos A 4sin C.所以 cos(B C) cos B C4sin 2 C ,所以 2sinB sinC 4sin2C.因為 sin C 0 ,所以 sin B 2sin C .根據正弦定理得b 2c.又由余弦定理，得a2 b2 c2 2bccosA,2221即 9 4c c 4c 2 ,解得 c 3 .本題考查了向量數量積的運算、三角恒等變換和解三角形的應用，屬于中檔題18.

21、(1)見解析(2)(1 )先證明BC，平面ACD ,再證明BC/DE后即可得DE 平面ACD ,即可得證;(2 )建立空間坐標系后分別求出平面DAE的一個法向量uu1和平面ABE的一個法向量uu ,ur uu求出cos(n1, n2)后即可得解.【詳解】(1)證明：因為 AB是半圓。的直徑，所BC AC.因為DC垂直于e O所在的平面，BC e O ,所以DC BC ,所以BC，平面ACD .因為 DC/EB,且 DC EB 1 ,所以四邊形BCDE為平行四邊形.所以BC/DE ,所以DE 平面ACD ,因為DE 平面ADE ,所以平面ADE 平面ACD .(2)由題意，ac bc 2J2，C

22、A、CB、CD兩兩互相垂直，建立如圖所示空間直角坐標系.則 D(0,0,1) , E(0,272,1), A(2j2,0,0) , B(0, 272,0),所以 AB(272,2 x/2,0),uiuirBEuuir(0,0,1)，DE_ uuu(0,2 72,0) , DA(2 . 2,0, 1).ur設平面DAE的一個法向量為 n1x, y1,uv uuv則 uv uuuv n1 DA。，即2收必0,0,2 2X1Z10,令x1ur1 ,則 n,(1,0,2 .2).uu設平面 ABE的一個法向量為 n2x2,y2,z2 ,uvuvU2uuv BE uuv AB0,即0,Z2 0,2 2X

23、22、2y2 0,uu則 n2(1,1,0),ir uucos ： n,，n2ir uu-nkuu-1229 9 J 26因為二面角D AE B是鈍角，所以二面角 D AE B的余弦值為 鑒.【點睛】 本題考查了面面垂直的判定與空間向量的應用，考查了計算能力，屬于中檔題.一 3，一,19. (1)分布列見解析； 一；(2)7.4(1 )根據分層抽樣的方法判斷出年齡在20,30 , 30,40 , 40,50內的人數，可彳導X的可能取值為0,1,2,結合組合知識，利用古典概型概率公式求出各隨機變量對應的概率,從而可得分布列，進而利用期望公式可得X的數學期望；(2)設年齡在 30,50內的人數_P

24、 Y k為 Y ,則 Y B 20,0.35 ,設 t ，可得若 t 1,則 k 7 35,P Y k 1PYk1 PYk；若t1,則k 7.35,Y k 1 P Y k ,從而可得結果.(1)按分層抽樣的方法抽取的8人中,年齡在20,30內的人數為0.0050.0100.02581人,年齡在30,40內的人數為0.0050.0100.0100.02582人,年齡在40,50內的人數為0.02585人.0.005 0.010 0.025所以X的可能取值為0, 1, 2,所以P空C831528，c：c；C83328，所以X的分布列為X0125153P142828EX2328c 55011428（

25、2）設在抽取的20名市民中，年齡在 30,50內的人數為Y, Y服從二項分布.由頻率分布直方圖可知，年齡在30,50內的頻率為0.010 0.025 100.35,所以Y B 20,0.35所以, kP Y k C20k0.3520 k0.35k 0,1,2,L ,20 .1,所以當k7.35,7.35,7時，P YC2020 kC201 0.350.351 0.35kH21 k1 0.357 21 k13kk 1,2,L ,20 ,k最大，即當k最大時,k 7.本題主要考查分層抽樣的定義、直方圖的應用以及離散型隨機變量的分布列與數學期望，屬 于中檔題.求解數學期望問題， 首先要正確理解題意，

26、 其次要準確無誤的找出隨機變量的所有可能值，計算出相應的概率，寫出隨機變量的分布列，正確運用均值、方差的公式進行計算，也就是要過三關：（1）閱讀理解關；（2）概率計算關；（3）公式應用關.20. （1）見解析；（2） 33.【解析】【分析】(I)聯立xp, yp22工工162'可得3k2 1 x2 12k2x 12k2 6 0 .設P點的坐標為y k x 2 ,1Q點的坐標為 xq,yq，再計算出ON的斜率為koN屣，MF的斜率為kMF即得kMF kPQ1.因此MF與PQ垂直.(n)先求出PQMFxp2xq,22k xpxq1/k2xpxq4144k3k2 1 224當 3k2 k2

27、124k 2 ,再求I max ,即得3k2 1PQMF最大值.(I)聯立2x6y k1,22可得3k2 1 x22 ,12k2x12k2 6 0設p點的坐標為Q點的坐標為xq，yq ，_ 2_ 2 _12k12k6xp xq 2， xpxq -2p 3k2 13k2 1于是有ypyqk xpxq4k4k3k2 1因為PQ的中點為N ,所以N6k2 2k2,23k2 1 3k2 1.因此ON的斜率為kON13k因為直線ON交直線xc1 一 一，一，3于M ,所以M 3,一.故MF的斜率為kMFk即得kMF kpQ1.因此MF與PQ垂直， MFQPQ22xpxqk xp2xqMFk2k2 xp2

28、xqk22xpxq4xpxqk24144k-223k2 12424k, 3k2 1k2 122.3k2 116311u 2u916由于u 3k2 1>1 ,1故 0 <1.u因此I max3(當u4時取到最大值，也即1).綜上所述,-PQ的最大值為 3 .MF【點睛】(1 )本題主要考查直線和橢圓的位置關系，考查直線和直線的位置關系，考查橢圓中的最值問題，意在考查學生對這些知識的掌握水平和分析推理轉化計算能力.(2)解答第2問的關鍵有兩點，其一是求出I2PQMF2 k 1-24k -2 ,其二是求函數的最大值3k2 1221. (1) 一 e【解析】【分析】(2)44 4,4e(1

29、 )轉化條件得f(x)min, m ,利用導數求出f(x)在區間1,3上的最小值即可;2 - x(2)求導得F (x) x x 5e a,由極大值可得可知1 x0 4且ax2x 5 e 3 ,則 FXox34x04)ex0,利用導數求出3 x ,h(x) x 4x 4 e 在1 x° 4的值域即可得解.【詳解】(1)若不等式f (x), m在x 1,3上有解，則f(x)min, m . .2x因為 f(x) x x 4 e ,所以 f (x)x2 x 5 e x.1 221令 g(x)x2 x 5且 g(1) 5 0, g(3)X 1£,x 1,3,則易知g(x)在x 1,

30、3上單調遞減,241 0.故存在 (1,3)，使得f (x)在區間1出 上單調遞增，在區間(x3上單調遞減2所以，當 x 1,3時，f(x)min min f (1),f(3)-,e故實數m的取值范圍為-,.e2x(2)由題息知 F(x) f (x) ax x x 4 e ax, 所以，F (x)x2 x 5 e x a.記 G(x)則 G (x) (x 1)(x4)ex,所以，G(x)僅在在區間(1,4)上單調遞減若刈是F(x)的極大值點，則1 Xo 4,且 ax2 x0 5 e x0,所以，FXox2Xo4 ex0a%x34%4 ex0記 h(x)x3 4x 4 e x,則 h (x) xe x(x 1) (x 4).所以，h(x)在區間(1,0)上單調遞減，在區間(0,4)上單調遞增，易知h(0)4,h( 1) e, h(4)44e444 ， e所以，當 x ( 1,4)時，4, h(x) ,44所以，4 F Xof ,er4