1、華北水利水電學院數項級數斂散性判別法。（總結）課程名稱：高等數學（下）專業班級：_成員組成聯系方式：_2012年5月18日摘要：在學習數項級數的時候，對于單一的方法所出的例題，大家 都知道用何種方法去解決。 但是等到所有的方法學完之后，再給出題 目，大家似乎一頭霧水， 不知道用哪一種方法。有些同學甚至挨個拭每一種方法， 雖然也可行。 但是對于同一個級數， 用不同的方法判斷 斂散性的難易程度不同，如果選用合適的方式，可以到到事半功倍的 效果，但是如果懸選擇了錯誤的方法， 可能費了九牛二虎之力之后，得出的結果還是錯誤的。所以我們有必要總結一下判斷斂散性的方 法，了解它們的特性，才能更好地運用它們。

2、關鍵詞：數項級數，斂散性，判斷，方法。英文題目Abstract：Single out examples to learn a number of series, we all know whichway to go. But wait until all of the methods after completing their studies are given topics, everyone seems con fused and do not know what kind of way. Somestudents even one by one swab of each method,

3、 although it is also feasibleButfor one series, using different methods to determine the converge nee anddivergence of the degree of difficulty, if the appropriate choice of the way to amultiplier effect, but if the hanging has chosen the wrong way, may have spentnine cattle tigers after the power,

4、the result is wrong. So we n eed to sum up todetermi ne the converge nee and diverge nee, and to understand theircharacteristics, in order to make better use of themKey words：Anu mber of series, converge nee and diverge nee of judgment.引言：以下介紹書中所提到的判斷數項級數斂散性的定理，并通過一些例題，講解它們各自的適用范圍。并總結出判斷斂散性的一般 思維過程。

5、3-以下介紹相關定義及定理一、常數項級數的概念定義：無窮多常數項累加求和工冬+4+.常見的幾類重要的常數項級數正項級數：級數中所有項均大于等于零。 交錯級數：級數中的項正負相間的級數。 等比級數.H-acfacf + +.=網調和級數在以下的判別中這幾類級數將會有重要的運用二、相關定理定理一：如果帆”工,則可判斷該級數一定不收斂。+一 +( (111+尹尹P級數頭嚴（心0）定理二、等比級數判別法：-當小1時，級數收斂;（2）當爪1時,級數發散定理三、p-級數判別法：1工K) /1=1 當0川1時，級數發散當卩1時，級數收斂注：調和級數是特出的p級數，這時p=l。定理四、設IX與是兩個正項級數,

6、當代 5 且級數工匕收斂時，級數工”也收斂;當叫創”且級數工匕發散時，級數2”也發散;定理五、（極限形式）若工”為正項級數，且lim叫一則當時，級數工叫也收斂；（2）當彳1時，或爐+“時，級數工叫發散;注：當曠1時，）比式判別法不能對級數的斂散性作出判斷,因為它可能是收斂的，也可能是發散的例如，級數Inn = 1 y J_y丄們的比式極限都是x 心但乙滬是收斂的，而乙是發散的.注：對于定理四和定理五當判斷一個級數的斂散性時，需要構 造一個級數，這個構造的過程就要求我們對一些常用的有特殊性質的 級數有所了解。例如：調和級數，等比級數，p級數。比較法雖然簡 單，但是需要構造新級數，所以比較麻煩。以

7、下介紹一種方法用于自 身比較。5-定理六、（極限形式）若為正項級數，且塑呃則當/1時，級數發散注：當心1時，根式不能對級數的斂散性作出判斷例如,級數工奈與工7,二者都有嘿吃=1,但工7是收斂的，而工齊是 發散的但補是收斂的，而疋是發散的.定理七、若交錯級數幺 滿足:（1）心二】（=1，2,）；/ 、lullu un n= 0（2）“T+X則交錯級數收斂絕對收斂與條件收斂對于一般項級數“嚴+ +”+,其各項為任意實數，若級數OC0C00Vu un nViz/. IVu uH H- 各項的絕對值所構成的正項級數幺 收斂，則稱級數幺 絕對0C5000工九ykj工知收斂;若級數幺 收斂，而級數幺 發散

8、，則稱級數幺 條件收斂易XX1知5（_1）亦是絕對收斂級數，而s（_1）廠是條件收斂級數.對于有些特殊級數，既不是正項級數也不是交錯級數，可以通過 取絕對值，轉換為正項級數后，再利用定理八，進行判斷。以下介紹一種通過積分判斷的方法。此方法的特點是利用非負函數的單調性和積分性質，并以反常積分為比較對象來判斷正項級數的斂散 性。定理九設/為1,+8)上非負減函數，則正項級數工/()與反常定理八、YuYu茲 若幺收斂，則幺必收斂. 6 積分fx)dx同時收斂或同時發散。證明：由假設/為1，+呵上非負減函數，則對任何正數A,/在1, A上可積，從而有如工厲皿(-1), . = 2,3,- fa)dxf

9、a)dx 1)=工/()= ?ft=?=1若反常積分收斂，則對有s,” =X/( )1),有f(x)dxf(x)dx S S 心=工/()1,有fAfA0f(x)dxSf(x)dxSn nS0,k0,且召收斂，證明幺后鼻絕對收斂?（此題正是利用了比較法，輕松地證明了此題） /Pl /卑 ；+解：ynyn2 2+k+kn n +k+ky ya a2 2-1y J又2 ”、占而收斂，則召麗存收斂x xa aY（-l）/?-=故 gylnyln2 2+k+k絕對收斂.解：利用不等式讓丄1H丄 丄丄n n77 + 1n n/7 + 1例題4、斷調和級數舅土卅曠+的斂散性。丄=1 +丄+丄+丄+解因為心

10、2 3 n可以按如下加括號，得，級數（1 +丄）+ （丄+丄）+ （丄+丄+丄+丄）+（丄+丄+丄+丄+丄+丄+丄+丄）+ 2345678910111213141516而上述加括號后的級數的各項大于級數1JlxZ11111111111lx244888816161616161616161 1 1例題3、判別級數(-111)n=lfjfj n n的斂散性.x1 1y(-)因為心n n + + l l收斂，肩汕竽收斂. 8 =+ + + .2 2 2-9-OO 8的對應項，又后一級數生是發散的，所以原調和級數若匚是發散的。注:在級數斂散性判斷時，對于某些一般項處理起來比較困難時，可 以通過合并或拆分

11、來使一般項變得方便處理。p SU1IIII例題5、判斷級數是否收斂sin2n n 1 yj_y sufn n解:因廠一產，且召用為p=2時的p級數，此級數收斂。所以召 也收斂。注：如果級數中不是所有的項都滿足叫 匕，而是從有限項開始才滿 足。也可以用比較法判斷斂散性。因為改變級數的前有限項不改變級 數的斂散性。例題6、 證明級數.1111 + 卜卜 + +2! 3!nn收斂.知丄一!olA證川1X2X3X-XH滿足 川2心,而1P 丄(67=2+xn n”TTC1“TTCJJ1n n77 Sill解因為3“3”liiii-= 13妝n3,所以該級數收斂.注：本題是比值法的應用，從中可以看出，比

12、值法是通過比值的方法 消去某些因子，以達到簡化運算的目的。所以運用比值法時，應注意 觀察通過比值能否消去某些項，能否達到簡化的目的。0C1例題9、判斷級數幺2+1的斂散性.0丄 丄匸亠 1 1歸解 因為2”+12 2”，而心2,所以幺2收斂.再根據比較CC1判別法，原級數幺2+1收斂.注：本題是比較法和根植法的聯合應用，所以有時應用單一的方法無 法解決別法來解題。由于散，所以級數V sin-乙也發散.注：這是比較法的極限形勢。是比較法的更深度的運用。 11 某些問題時，可以應用多種方法，逐步達到簡化的目的。8 %例題10、設弘,且，塑，試判斷級數 3）的斂 散性.12 ()n= lun A =

13、 xlun =-a a”S 而皿色”7 S 所以，根據根值判別法有(1)當時,級數收斂;級數發散;級數可能收斂也可能發散.注：根植法對于處理通項中罕有n次方的級數時，有著特別方便的應用。1-1- F ( l)nF 判斷級數2! 3!川的斂散性.解因為1u =(1)川(+1)!( =1,2,).Innu un n= lim丄=0(2 )“T40C“T+aT+a所以它是收斂的.A siiinxnx例題12、判斷級數占廠的斂散性.sninxnx解因為1x_V一用.而級數禽用收斂.由比較判別法知，級數f sinx ;r=l IIJ sninxnx收斂，所以級數召廠絕對收斂.例題13、 證明級數f(-1

14、嚴加-1tl=k=I_2+2_Z+.+(_I)-IZL1+.248絕對收斂.Y0 ,解因為 J解：此題為P級數，但是也可以用積分判斷法解決。f(f( _ _丄函數當時在1，乜上是非負減函數。知道反常積分 竺y丄J1対在1時收斂，”1時發散.故由定理4得乙0去當”1時收 斂，當皿 1 1時發散。至于卩的情形，則可由定理12.1推論知道 它也是發散的。結束語：在以上的例題中，可以看出，每一個題，可能有多種方法處理。但是總有一種比較適合且簡便的方法。而且不同的方法 有不同的適用范圍。在某些領域可能有著特別方便的應用，但是在另 一些領域內可能毫無用處。所以我們需要選擇合適的方法。對于有些 題目，可能需要多種方法共同處理。對于正項級數首先觀