1、數學實驗融入數學思考的案例研究周華摘 要數學地思考問題、解決問題這一思維活動的形式應該與數學操作相融合，只有這樣，學生的感性經驗才能在數學思維的活動中順利上升為理性認識，教師應能抓住契機并為學生創造數學思考的時機，以達成數學實驗與數學形式的和諧統一.關鍵詞數學思考;根本領實;數學實驗;幾何直觀;三角形全等教師在三角形全等這一內容的教學中一般都會設計一些數學實驗并引導學生進行思索與質疑，本文結合具體的案例對判定三角形全等方法中的一些問題展開了思考和研究.三個根本領實驗證方面的思考教材在根本領實的呈現中一般都會安排以下實踐活動：“請大家用量角器、刻度尺畫出三角形ABC，使其滿足AB=70

2、mm，A=60°，B=80°.作出滿足條件的三角形后將其剪下并將之與同桌的三角形疊放于一起，大家看看這兩個三角形是否相互重合？教師在此活動設計中往往會讓學生根據要求作三角形、剪三角形、疊放三角形并驗證根本領實ASA對于特殊情況的正確性.筆者在學生的這一活動中經常會觀察到如下現象：現象1：學生在驗證中發現兩個三角形無法重合.教師往往給出作圖有誤差的解釋，但學生對為什么一定要驗證這兩個三角形重合心存疑惑.現象2：學生復制后剪出兩個全等三角形并因此令驗證失去了應有的意義.筆者曾經詢問過學生不按照教師要求活動的原因，學生卻堅持“本來就是重合的，又為何要去驗證的態度.由此可見，學生在

3、具備數學根本結論的根底上仍舊會對操作驗證的必要性持質疑的態度，沒有數學思考的實驗操作對于學生學習興趣的激發、數學思維的開展都不能產生積極的意義.事實上，假設學生作三角形沒有誤差，就一定會得到兩個能夠重合的三角形，從數的角度對兩個三角形全等的條件進行刻畫即能解釋三角形解的唯一性.三角形兩角一夾邊，即A，B，以及c邊的長，由正弦定理= =可知三角形的解唯一.如圖1，b、c、A，由余弦定理可得a2=b2+c2-2bc·cosA，可求得a的唯一值，由余弦定理可得cosB=，由此確定B的大小并隨之確定C的大小.三邊時，由余弦定理可得cosA=，可確定A的大小，同理確定B、C的大小.有

4、些學生往往會認為SSA條件下的三角形也全等，教師面對學生的這一錯誤認知應在教學中融入數學思考，使學生能夠在感受三角形解的唯一性這一根本領實中進行直觀分析并獲得結論的合理性【1】.數學實驗中的思考教師在教學中可以設計如下問題串并啟發學生思考.1作圖前引導學生猜想：“請大家用量角器、刻度尺作ABC，使其滿足AB=70mm，A=60°，B=80°.請大家將ABC剪下并與同桌的三角形疊放于一起，這是我們即將要進行的數學活動，活動之前請大家先猜一猜這兩個三角形是否能夠重合呢？設計意圖 引導學生猜想兩三角形是否重合能使學生對滿足條件的三角形解的唯一性、三角形穩定性等知識進行思

5、考，學生進行積極思考的過程往往能對三角形解的唯一性獲得認同.2引導學生作圖后進行觀察：“由條件可畫出哪幾種符合條件的三角形呢？大家將作出的三角形剪下并與同桌的三角形疊放于一起并觀察這兩個三角形的形狀、大小方面的情況吧.設計意圖 引導學生在數學猜想和作圖后進行觀察能使學生的幾何直觀能力獲得開展.3引導學生在疊放三角形后進行反思：為什么會有同學的兩個三角形無法重合呢？設計意圖 引導學生認識實驗誤差對數學結論的影響并培養學生實踐操作的標準與嚴謹.4一般化動態演示：利用幾何畫板演示三角形邊、角大小的改變，引導學生對兩角一夾邊分別相等的三角形是否全等進行觀察.設計意圖 引導

6、學生在動態演示的直觀觀察中開展幾何直觀能力并對三角形全等的條件進行認知與感悟.學生在上述數學實驗與思考中往往會對結論及結論的產生形成積極的思考，對根本領實正確性、合理性的理解也會因此逐漸形成.作圖中的思考學生在已有學習經驗的影響下往往會聯想作圖操作這一方式進行驗證，教師應引導學生在作圖驗證的根底上進行思維過程的整理，引導學生適當改變作圖的順序并因此令復雜的作圖變得簡潔【2】.探究“滿足兩邊一對角條件的三角形是否全等時進行類似思考.如作出ABC，使得AB=4cm，BC=3cm，A=30°.假設學生根據條件先作AB，再作BC，便會很快發現C點位置不確定并導致作圖中必須調整湊出30

7、6;角.假設調整作圖順序并先作A，再作AB和BC，作圖過程隨即變得簡單很多.不僅如此，學生很快會發現如圖2所示的符合條件的有兩個三角形，繼而獲得“滿足兩邊一對角條件的三角形不一定全等這一結論.教師在學生作圖之前可適當進行啟發：“邊和角哪個先畫能夠更加容易作出符合題意的三角形？可還有其他方法可以作出？引導學生在作圖中進行思考并分清幾何圖形中確定的幾何元素和不確定的幾何元素，A的大小在上述幾何作圖中是確定的，AB，BC也是確定的，但ABC不確定，啟發學生在理性思考中對作圖順序進行調整并最終令作圖過程更為簡單.圖形觀察后的數學思考教師在一般三角形全等、直角三角形全等的判定教學之后，可設計如下問題.問

8、題1：如圖3，ABC、DEF均為銳角三角形，A=D，AB=DE，BC=EF，那么ABC和DEF全等嗎？為什么？學生在直觀觀察中很快能夠發現這兩個三角形全等，不過，幾何直觀的說服力并不客觀，演繹推理還是必需的，但關于銳角三角形SSA的判定在三角形全等的判定方法中并沒有描述，因此，教師在學生直觀發現三角形全等之后還應啟發學生進行更加深刻的思考.簡析 過點B作BHAC于點H，過點E作EGDF，垂足為點G如圖4.根據條件，可證明ABHDEG，可得BH=EG，繼而證得BHCEGF，從而得出C=F，由AAS定理可證ABCDEF.問題2：如圖5，ABC與DEF中，A=D>90°，A

9、B=DE，BC=EF，求證：ABCDEF.簡析 過點B作BH垂直CA的延長線于點H，過點E作EG垂直FD的延長線于點G，如圖6.與問題1的證明方法相似，首先證明AHBDGE，可得BH=EG，再證明CHBFGE，從而證得C=F，由AAS判定定理可證得ABCDEF.筆者設計這兩個問題之時，學生已經系統地學完了三角形全等的判定.引導學生對“邊邊角的判定是否能夠成立進行有意義的探究，能使學生在這一知識點上的認知得以不斷加深.學生在特殊例子的探究中首先明確了滿足兩邊一對角的兩個三角形并不一定全等，系統建立判斷三角形全等的相關知識之后對“邊邊角問題再次展開深入的研究，對“一定成立背后的理由進行探尋，能使學生思維的深刻性在嚴格的推理論證中獲得很好的開展.數學地思考問題、解決問題這一思維活動的形式應該與數學操作相融合，只有這樣，學生的感性經驗才能在數學思維的活動中順利上升為理性認識，學生也才能在操作經驗升華為思維經驗的過程中獲得數學活動經驗的積累和數學思維能力的開展【3】.學生在判斷三角形全等時所產生的質疑對于教師也是一種提醒，教師應能抓住契機并為學生創造數學思考的時機以達成數學實驗與數學形式的和諧統一.參考文獻：【1】蔡鳳.淺談例題設計的“變之道J.中國數學教育