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文檔簡介
1、 練習4、證明： cos a 1 Dn = L L L 1 0 2cos a O O 2cos a L O L L L 0 L L O L = cos na O 1 1 2cos a 證：n = 1時，D1 = cos a . 結論成立 假設 n £ k 時，結論成立 當 n = k + 1 時，Dk +1 按第 k + 1 行展開得 Dk +1 = 2cos a Dk + ( -1k +1+ k 行列式的計算 cos a 1 0 1 2cos a O L O 2cos a L L O L L L L 0 L L O L O 1 1 2cos a = 2cosa Dk - Dk -1
2、 由歸納假設 Dk +1 = 2cosa cos ka - cos( k - 1a = 2cosa cos ka - cos ka = 2cos a cos ka - cos ka cos a + sin ka sin b = cos ka cos a + sin ka sin b = cos( k + 1a 于是n = k + 1時結論亦成立，原命題得證 行列式的計算 練習5、計算 1 1 x 21 x 2 2 Dn = L L n n x 1 x 2 L L L L 1 x 2n L n x n 解：考察 n + 1 階范德蒙行列式 1 1 L 1 1 x1 x2 L xn x x 21
3、x 2 2 L x 2 n x 2 g( x = L L O LL n -1 n -1 n -1 n -1 x 1 x 2 L x n x x n1 x n 2 L x n n x n = ( x - x1 ( x - x2 ( x - xn 行列式的計算 ( xi - x j Õ 1£ j < i £ n 顯然 Dn 就是行列式 g ( x 中元素的余子式 M2,n+1，即 Dn = M 2,n+1 = ( -1n+ 3 A2,n+1 由 f ( x 的表達式知，x 的系數為： -( x2 x3 L xn + x1 x2 L xn + L + x1 x2 L xn-1 即 ( xi - x j Õ 1£ j < i £ n ( xi - x j Õ 1£ j < i £ n A2,n+1 = -( x2 x3 L xn + x1 x2 L xn + L + x1 x2 L xn-1 Dn = (-1n ( x2 x3 L xn + x1 x2 L xn + L + x1 x
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