1、2016年普通高等學校招生全國統一考試（天津卷）數學（理科）參考公式：如果事件，互斥，那么；如果事件，相互獨立，那么；柱體的體積公式，其中表示柱體的底面面積，表示柱體的高；錐體體積公式，其中表示錐體的底面面積，表示錐體的高第卷（共40分）一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的（1）【2016年天津，理1，5分】已知集合，則（）（A）（B）（C）（D）【答案】D【解析】把分別代入得：，即，故選D【點評】本題重點考查集合的運算，容易出錯的地方是審錯題意，誤求并集，屬于基本題，難點系數較小一要注意培養良好的答題習慣，避免出現粗心錯誤，二是明確集合交

2、集的考查立足于元素互異性，做到不重不漏（2）【2016年天津，理2，5分】設變量，滿足約束條件，則目標函數的最小值為（）（A）（B）6（C）10（D）17【答案】B【解析】作出不等式組表示的可行域，如右圖中三角形的區域，作出直線，圖中的虛線，平移直線，可得經過點時，取得最小值6，故選B【點評】線性規劃問題，首先明確可行域對應的是封閉區域還是開放區域、分界線是實線還是虛線，其次確定目標函數的幾何意義，是求直線的截距、兩點間距離的平方、直線的斜率、還是點到直線的距離等等，最后結合圖形確定目標函數最值取法、值域范圍（3）【2016年天津，理3，5分】在中，若，則（）（A）1（B）2（C）3（D）4【

3、答案】A【解析】在中，若，得：，解得或（舍去），故選A【點評】（1）正、余弦定理可以處理四大類解三角形問題，其中已知兩邊及其一邊的對角，既可以用正弦定理求解也可以用余弦定理求解（2）利用正、余弦定理解三角形其關鍵是運用兩個定理實現邊角互化，從而達到知三求三的目的（4） （4）【2016年天津，理4，5分】閱讀右邊的程序框圖，運行相應的程序，則輸出的值為（）（A）2（B）4（C）6（D）8【答案】B【解析】第一次判斷后：不滿足條件，；第二次判斷不滿足條件；第三次判斷滿足條件：，此時計算，第四次判斷不滿足條件，第五次判斷不滿足條件，第六次判斷滿足條件，故輸出，故選B【點評】算法與流程圖的考查，側重

4、于對流程圖循環結構的考查先明晰算法及流程圖的相關概念，包括選擇結構、循環結構、偽代碼，其次要重視循環起點條件、循環次數、循環終止條件，更要通過循環規律，明確流程圖研究的數學問題，是求和還是求項（5）【2016年天津，理5，5分】設是首項為正數的等比數列，公比為則“”是“對任意的正整數，”的（）（A）充要條件（B）充分而不必要條件（C）必要而不充分條件（D）既不充分也不必要條件【答案】C【解析】是首項為正數的等比數列，公比為，若“”是“對任意的正整數，”不一定成立，例如：當首項為2，時，各項為2，此時，；而“對任意的正整數，”，前提是“”，則“”是“對任意的正整數，”的必要而不充分條件，故選C【

5、點評】充分、必要條件的三種判斷方法（1）定義法：直接判斷“若p則q”、“若q則p”的真假并注意和圖示相結合，例如“pq”為真，則p是q的充分條件（2）等價法：利用pq與非q非p，qp與非p非q，pq與非q非p的等價關系，對于條件或結論是否定式的命題，一般運用等價法（3）集合法：若AB，則A是B的充分條件或B是A的必要條件；若AB，則A是B的充要條件（6）【2016年天津，理6，5分】已知雙曲線，以原點為圓心，雙曲線的實半軸長為半徑長的圓與雙曲線的兩條漸近線相交于，四點，四邊形的面積為，則雙曲線的方程為（）（A）（B）（C）（D）【答案】D【解析】以原點為圓心，雙曲線的實半軸長為半徑長的圓的方程

6、為，雙曲線兩條漸近線方程為，設，則四邊形的面積為，將代入，可得，雙曲線的方程為，故選D【點評】求雙曲線的標準方程關注點：（1）確定雙曲線的標準方程也需要一個“定位”條件，兩個“定量”條件，“定位”是指確定焦點在哪條坐標軸上，“定量”是指確定，的值，常用待定系數法（2）利用待定系數法求雙曲線的標準方程時應注意選擇恰當的方程形式，以避免討論若雙曲線的焦點不能確定時，可設其方程為若已知漸近線方程為，則雙曲線方程可設為（7）【2016年天津，理7，5分】已知是邊長為1的等邊三角形，點，分別是邊，的中點，連接并延長到點，使得，則的值為（）（A）（B）（C）（D）【答案】B【解析】由、分別是邊、的中點，故

7、選B【點評】研究向量數量積，一般有兩個思路，一是建立直角坐標系，利用坐標研究向量數量積；二是利用一組基底表示所有向量，兩種實質相同，坐標法更易理解和化簡平面向量的坐標運算的引入為向量提供了新的語言“坐標語言”，實質是“形”化為“數”向量的坐標運算，使得向量的線性運算都可用坐標來進行，實現了向量運算完全代數化，將數與形緊密結合起來（8）【2016年天津，理8，5分】已知函數（，且）在R上單調遞減，且關于的方程恰好有兩個不相等的實數解，則的取值范圍是（）（A）（B）（C）（D）【答案】C【解析】在遞減，則，函數在R上單調遞減，則；解得，；由圖象可知，在上，有且僅有一個解，故在上，同樣有且僅有一個解

8、，當即時，聯立，則，解得或1（舍去），當時，由圖象可知，符合條件，綜上：的取值范圍為，故選C【點評】已知函數有零點求參數取值范圍常用的方法和思路：（1）直接法：直接根據題設條件構建關于參數的不等式，再通過解不等式確定參數范圍（2）分離參數法：先將參數分離，轉化成求函數值域問題加以解決；（3）數形結合法：先對解析式變形，在同一平面直角坐標系中，畫出函數的圖象，然后數形結合求解第II卷（共110分）二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分（9）【2016年天津，理9，5分】已知，是虛數單位，若，則的值為【答案】2【解析】，解得：，【點評】本題重點考查復數的基本運算和復數的概念，屬于基本題首

9、先對于復數的四則運算，要切實掌握其運算技巧和常規思路，如其次要熟悉復數相關基本概念，如復數的實部為、虛部為、模為、共軛為（10）【2016年天津，理10，5分】的展開式中的系數為（用數字作答）【答案】【解析】，令，解得的展開式中的系數為【點評】（1）求特定項系數問題可以分兩步完成：第一步是根據所給出的條件（特定項）和通項公式，建立方程來確定指數（求解時要注意二項式系數中和的隱含條件，即，均為非負整數，且）；第二步是根據所求的指數，再求所求解的項（2）有理項是字母指數為整數的項解此類問題必須合并通項公式中同一字母的指數，根據具體要求，令其為整數，再根據數的整除性來求解（11）【2016年天津，理

10、11，5分】已知一個四棱錐的底面是平行四邊形，該四棱錐的三視圖如圖所示（單位：m），則該四棱錐的體積為【答案】2【解析】由已知中的三視圖可得：該幾何體是一個以俯視圖為底面的四棱錐，棱錐的底面是底為2，高為1的平行四邊形，故底面面積，棱錐的高，【點評】（1）解答此類題目的關鍵是由多面體的三視圖想象出空間幾何體的形狀并畫出其直觀圖（2）三視圖中“正側一樣高、正俯一樣長、俯側一樣寬”，因此，可以根據三視圖的形狀及相關數據推斷出原幾何圖形中的點、線、面之間的位置關系及相關數據（12）【2016年天津，理12，5分】如圖，是圓的直徑，弦與相交于點，則線段的長為【答案】【解析】過作于，則，在中，則，由相交

11、弦定理得：，【點評】1、解決與圓有關的成比例線段問題的兩種思路：（1）直接應用相交弦、切割線定理及其推論；（2）當比例式(等積式)中的線段分別在兩個三角形中時，可轉化為證明三角形相似，一般思路為“相似三角形比例式等積式”在證明中有時還要借助中間比來代換，解題時應靈活把握2、應用相交弦定理、切割線定理要抓住幾個關鍵內容：如線段成比例與相似三角形、圓的切線及其性質、與圓有關的相似三角形等（13）【2016年天津，理13，5分】已知是定義在R上的偶函數，且在區間上單調遞增若實數滿足，則的取值范圍是【答案】【解析】是定義在R上的偶函數，且在區間上單調遞增，在區間上單調遞減，則，等價為，即，則，即【點評

12、】不等式中的數形結合問題，在解題時既要想形又要以形助數，常見的“以形助數”的方法有：（1）借助數軸，運用數軸的有關概念，解決與絕對值有關的問題，解決數集的交、并、補運算非常有效（2）借助函數圖象性質，利用函數圖象分析問題和解決問題是數形結合的基本方法，需注意的問題是準確把握代數式的幾何意義實現“數”向“形”的轉化（14）【2016年天津，理14，5分】設拋物線（為參數，）的焦點，準線為過拋物線上一點作的垂線，垂足為設，與相交于點若，且的面積為，則的值為【答案】【解析】拋物線（為參數，）的普通方程為：焦點為，如圖：過拋物線上一點作的垂線，垂足為，設，與相交于點，的面積為，可得即：，解得【點評】（

13、1）凡涉及拋物線上的點到焦點距離時，一般運用定義轉化為到準線距離處理（2）若為拋物線上一點，由定義易得；若過焦點的弦的端點坐標為，則弦長為，可由根與系數的關系整體求出；若遇到其他標準方程，則焦半徑或焦點弦長公式可由數形結合的方法類似地得到三、解答題：本大題共6題，共80分解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟（15）【2016年天津，理15，13分】已知函數（1）求的定義域與最小正周期；（2）討論在區間上的單調性解：（1）的定義域為所以，的最小正周期（2）令，函數的單調遞增區間是由，得設，易知所以，當時，在區間上單調遞增，在區間上單調遞減【點評】三角函數是以角為自變量的函數，因此解三角函數題，

14、首先從角進行分析，善于用已知角表示所求角，即注重角的變換角的變換涉及誘導公式、同角三角函數關系、兩角和與差公式、二倍角公式、配角公式等，選用恰當的公式，是解決三角問題的關鍵，明確角的范圍，對開方時正負取舍是解題正確的保證對于三角函數來說，常常是先化為的形式，再利用三角函數的性質求解三角恒等變換要堅持結構同化原則，即盡可能地化為同角函數、同名函數、同次函數等，其中切化弦也是同化思想的體現；降次是一種三角變換的常用技巧，要靈活運用降次公式（16）【2016年天津，理16，13分】某小組共10人，利用假期參加義工活動已知參加義工活動次數為1，2，3的人數分別為3，3，4現從這10人中隨機選出2人作為

15、該組代表參加座談會（1）設為事件“選出的2人參加義工活動次數之和為4”，求事件發生的概率；（2）設為選出的2人參加義工活動次數之差的絕對值，求隨機變量的分布列和數學期望解：（1）由已知，有所以，事件發生的概率為（2）隨機變量的所有可能取值為，所以，隨機變量分布列為：012隨機變量的數學期望【點評】求均值、方差的方法（1）已知隨機變量的分布列求它的均值、方差和標準差，可直接按定義(公式)求解；（2）已知隨機變量的均值、方差，求的線性函數ab的均值、方差和標準差，可直接用的均值、方差的性質求解；（3）如能分析所給隨機變量是服從常用的分布(如兩點分布、二項分布等)，可直接利用它們的均值、方差公式求解

16、（17）【2016年天津，理17，13分】如圖，正方形的中心為，四邊形為矩形，平面平面，點為的中點，（1）求證：平面；（2）求二面角的正弦值；（3）設為線段上的點，且，求直線和平面所成角的正弦值解：依題意，如圖，以為點，分別以的方向為軸，軸、軸的正方向建立空間直角坐標系，依題意可得，（1）設為平面的法向量，則，即不妨設，可得，又，可得，又因為直線，所以（2）易證，為平面的一個法向量依題意，設為平面的法向量，則，即不妨設，可得因此有，于是，所以，二面角的正弦值為（3）由，得因為，所以，進而有，從而，因此直線和平面所成角的正弦值為【點評】1、利用數量積解決問題的兩條途徑：一是根據數量積的定義，利用

17、模與夾角直接計算；二是利用坐標運算2、利用數量積可解決有關垂直、夾角、長度問題（1），；（2）；（3）（18）【2016年天津，理18，13分】已知是各項均為正數的等差數列，公差為對任意的，是和的等比中項（1）設，求證：數列是等差數列；（2）設，求證解：（1）由題意得，有，因此，所以是等差數列（2）所以【點評】分組轉化法求和的常見類型（1）若，且，為等差或等比數列，可采用分組求和法求的前項和（2）通項公式為的數列，其中數列，是等比數列或等差數列，可采用分組求和法求和（19）【2016年天津，理19，14分】設橢圓的右焦點為，右頂點為已知，其中為原點，為橢圓的離心率（1）求橢圓的方程；（2）設過

18、點的直線與橢圓交于點（不在軸上），垂直于的直線與交于點，與軸交于點若，且，求直線的斜率的取值范圍解：（1）設，由，即，可得，又，所以，因此，所以橢圓的方程為（2）設直線的斜率為，則直線的方程為設，由方程組，消去，整理得解得，或，由題意得，從而由（1）知，設，有，由，得，所以，解得因此直線的方程為設，由方程組消去，解得在中，即，化簡得，即，解得或所以，直線的斜率的取值范圍為【點評】在利用代數法解決最值與范圍問題時常從以下五個方面考慮：（1）利用判別式來構造不等關系，從而確定參數的取值范圍；（2）利用已知參數的范圍，求新參數的范圍，解這類問題的核心是在兩個參數之間建立等量關系；（3）利用隱含或已知的不等關系建立不等式，從而求出參數的取值范圍；（4）利用基本不等式求出參數的取值范圍；（5）利用函數的值域的求法，確定參數的取值范圍（20）【2016年天津，理20，14分】設函數，其中，（1）求的單調區間；（2）若存在極值點，且，其中，求證：；（3）設，函數，求證：在區間上的最大值不小于解：（1）由，可得下面分兩種情況討論：當時，有恒成立，所以的單調遞增區間為當時，令，解得，或當變化時，的變化情況如下表：00單調遞增極大值單調遞減極小值單調遞增所以的單調遞減區間為，單調遞增區間為，（2）因為存在極值點，所以由（1）知，且，由題意，得，即，進而，且，由題意及（1）知，存在唯一實數滿足，且，因