1、2015年高考數學模擬試題第卷 (選擇題 共60分)一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分在每小題給出的四個選項中只有一項是符合題目要求的1.已知集合，集合，那么（ ）A. B. C D2.已知(cos40°，sin40°)，(cos80°，sin80°)，則· = （ ）A. 1 B. C D3.復數，是z的共軛復數，復數在復平面內對應的點位于（ ）A. 第一象限 B. 第二象限 C第三象限 D第四象限4.已知的定義域為R，的導函數的圖象如圖所示，則()A在處取得極小值B在處取得極大值C是R上的增函數D是(，1)上的減函數，(1，

2、)上的增函數5.下列結論錯誤的個數是（）命題“若，則”與命題“若則”互為逆否命題；命題，命題則為真； “若則”的逆命題為真命題；若為假命題，則、均為假命題A. 0 B. 1 C2 D36.奇函數在上的解析式是，則在上的函數解析式是（ ）A. B.C D7在一個袋子中裝有分別標注數字1,2,3,4,5的五個小球，這些小球除標注數字外完全相同，現從中隨機取2個小球，則取出的小球標注的數字之和為3或6的概率是()ABCD8.已知函數ytanx在(，)內是減函數，則()A0<1B1<0C1 D19.三棱錐P-ABC的三條側棱PA、PB、PC兩兩互相垂直，且長度分別為3、4、5，則三棱錐P-

3、ABC外接球的體積是 （ ）A B. C. D.10. 已知雙曲線的兩個焦點分別為(，0)，(，0)，P是雙曲線上的一點，則雙曲線方程是()A. B. C. D11.在如圖所示的程序框圖中，當時，函數表示函數的導函數，若輸入函數，則輸出的函數可化為()A.sin()Bsin()C. sin()Dsin()12. 已知函數，若方程有且只有兩個不相等的實數根，則實數的取值范圍是（ ）A.(，1)B.(0,1) C.(，1 D.0，)第卷 (非選擇題 共90分)本卷包括必考題和選考題兩部分第13題第21題為必考題，每個試題考生都必須做答第22題第24題為選考題，考生根據要求做答二、填空題：本大題共4

4、小題，每小題5分，共20分把答案填在題中橫線上13. 如圖所示兩個立體圖形都是由相同的小正方體拼成的圖(1)的正(主)視圖與圖(2)的_視圖相同14.若x，y滿足約束條件目標函數zax2y僅在點(1,0)處取得最小值，則a的取值范圍是.15.已知兩點，點是圓上任意一點，則面積的最小值是.16.在ABC中，a、b、c分別為三個內角A、B、C所對的邊，設向量(bc，ca)，(b，ca)，若向量，則角A的大小為三解答題：共70分解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟17. (本小題滿分12分)已知二次函數的圖像經過坐標原點，其導函數為，數列的前項和為，點均在函數的圖像上 （）求數列的通項公式； （）

5、設是數列的前項和， 求證：18. (本小題滿分12分) 如圖，為圓的直徑，點、在圓上，矩形所在的平面和圓所在的平面互相垂直，且，.（）求證：平面；（）設的中點為，求證：平面；（）設平面將幾何體分成的兩個錐體的體積分別為，求19. (本小題滿分12分) 某高級中學共有學生2000人，各年級男、女生人數如下表：高一高二高三女生373xy男生377370z已知在全校學生中隨機抽取1名，抽到高二年級女生的概率是0.19.（）現用分層抽樣的方法在全校抽取48名學生，問應在高三年級抽取多少人？（）已知求高三年級女生比男生多的概率.20. (本小題滿分12分) 已知函數.（）若在區間1，+）上是增函數，求實

6、數的取值范圍；（）若是的極值點，求在1，上的最大值；（）在（）的條件下，是否存在實數，使得函數的圖象與函數的圖象恰有3個交點，若存在，請求出實數的取值范圍；若不存在，試說明理由.21. (本小題滿分12分) （文）如圖，兩條過原點的直線分別與軸、軸成的角，已知線段的長度為，且點在直線上運動，點在直線上運動 ()若，求動點的軌跡的方程；（）設過定點的直線與()中的軌跡交于不同的兩點、，且為銳角,求直線的斜率的取值范圍請考生在第22、23、24題中任選一題做答，如果多做，則按所做的第一題記分做答時請寫清題號ACPDOEF B22.（本小題滿分10分）選修4-1：幾何證明選講如圖,的直徑的延長線與弦

7、的延長線相交于點,為上一點,AEAC ,交于點,且, （I）求的長度. （II）若圓F且與圓內切，直線PT與圓F切于點T，求線段PT的長度23.(本小題滿分10分)選修4-4：坐標系與參數方程已知直線的參數方程為（為參數），若以直角坐標系的點為極點，方向為極軸，選擇相同的長度單位建立極坐標系，得曲線的極坐標方程為（）求直線的傾斜角；（）若直線與曲線交于兩點，求24.(本小題滿分10分)選修4-5：不等式選講已知函數 （）解關于的不等式； （）若函數的圖象恒在函數圖象的上方，求的取值范圍。參考答案一、選擇題：1.（理）答案：D.【解析】，則（文）答案：C.【解析】，則2. 答案：B.【解析】由數

8、量積的坐標表示知·cos40°sin80°sin40°cos80°sin120°= sin60°.3.（理）答案：A.【解析】顯然，因為，則有，故選A（文）答案：A【解析】，故選A4. 答案：C.【解析】由圖象易知0在R上恒成立，所以在R上是增函數故選C5.答案：B.【解析】根據四種命題的構成規律，選項A中的結論是正確的；選項B中的命題是真命題，命題是假命題，故為真命題，選項B中的結論正確；當時，故選項C中的結論不正確；選項D中的結論正確6.（理）答案：D.【解析】如圖，曲邊形的面積為本題如果是以為積分變量，則曲邊形的面積是

9、（文）答案：B.【解析】當時，由于函數是奇函數，故。7. （理）答案：【解析】本題主要考查獨立重復試驗事件概率的求法及數學期望的求法拋擲次，正好出現2枚正面向上，3枚反面向上的概率為，服從二項分布模型，即：則有（文）答案：D【解析】本題主要考查古典概型.隨機從袋子中取2個小球的基本事件為(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,4)，(3,5)，(4,5)共有10種，其中數字之和為3或6的有(1,2)，(1,5)，(2,4)，數字之和為3或6的概率是P.8.（理）答案：C【解析】本題主要考查復合函數的單調性由sin(2x)>0，得sin(2

10、x)<0，2k<2x<22k，kZ；又f(x)lgsin(2x)的增區間即sin(2x)在定義域內的增區間，即sin(2x)在定義域內的減區間，故2k<2x<2k，kZ.化簡得k<x<k，kZ，當k0時，<x<，故選C（文）答案：【解析】本題主要考查正切函數的單調性由ytanx在(，)內遞減知<0，且周期，|1，則1<09.（理）答案：D.【解析】本題主要考查錐體和球體的體積計算、外接球問題正四棱錐底面的四個頂點在球的同一個大圓上，點在球面上，PO底面ABCD，PO=R，所以，R=2，球的體積是（文）答案：C.【解析】本題可以把

11、三棱錐看成是長方體的一個角，長方體的外接球就是三棱錐的外接球，轉化為求長方體的外接球的直徑，即長方體的體對角線，則長方體的外接球的半徑為，故球的體積為10.答案：B.【解析】，即又，(2a)22×2(2)2，解得，又，雙曲線方程為.故選B11. 答案：C【解析】由于sincos，sincos，sincos，sincos，sincos，周期為4.所以sincossin()12.答案：A【解析】函數的圖象如圖所示，當a1時，函數y=f（x）的圖象與函數y=x+a的圖象有兩個交點，即方程f（x）=x+a有且只有兩個不相等的實數根。二、填空題：13.答案：俯【解析】對于圖中的兩個立體圖形，圖

12、(1)的正(主)視圖與圖(2)的俯視圖相同14.（理）答案：4<a<2.作出可行域如圖所示，直線ax2yz僅在點(1,0)處取得最小值，由圖象可知1<<2，即4<a<2.（文）答案：（，1）(1,)【解析】畫出不等式組表示的可行域，表示可行域內的點到點（1,0）的直線的斜率，易得（，1）(1,)15.答案：【解析】由已知易得直線AB的方程為：，圓為，圓心（1,0）到直線AB的距離為，則點C到直線AB的最近距離為，所以面積的最小值為.16.（理） 答案：【解析】由兩邊平方得:即解得: ，而可以變形為，即 ，所以（文）答案：【解析】(bc，ca)，(b，ca)，

13、若向量(bc，ca)·(b，ca)b(bc)c2a20，即b2c2a2bc，又cosA，0A，A.三解答題：17. （理）【解析】（）設二次函數，則，由于，所以，所以2分又點均在函數的圖像上，所以當時，4分當時，也適合所以6分（）由（）得8分故10分隨著的增大，逐漸增大直至趨近，故對所有都成立，只要即可，即只要故使得對所有都成立的最小正整數12分（文）【解析】（）設二次函數，則，由于，所以，所以2分又點均在函數的圖像上，所以當時，4分當時，也適合所以6分（）證明:由（）得8分故10分即：，所以12分18.（理） 【解析】（）以A點為原點，射線AB、AD、AP分別為、軸的非負半軸建立空

14、間直角坐標系，則A（0，0，0），B（1，0，0），D（0，a，0），P（0，0，1），設Q（1，x，0） ， 2分若，即， 4分當，方程有兩個不等根；當，方程有兩個相等根；當0，即a2時，方程無實根； 6分因此，當a2時，在BC邊上有兩點Q，使得PQQD，當a=2時，在BC邊上恰有一點Q，使得PQQD，當a2時，在BC邊上不存在點Q，使得PQQD； 7分（）當BC邊上有且僅有一點Q，使得PQQD時，a=2，x=1，Q（1，1，0），D（0，2，0），此時，易得QD平面PAQ， 平面PAQ平面PDQ，過A在平面PAQ內作AFPQ，垂足為F，連結FD，則AF平面PDQ，ADF即為AD與平面PDQ

15、所成的角，10分在RtPAQ中，在，AD與平面PDQ所成角正弦為。 12分（文）【解析】（）證明： 平面平面,平面平面=，平面，平面， ,2分又為圓的直徑，平面。 4分（）設的中點為，則，又，則，為平行四邊形， 6分，又平面，平面，平面。 8分()過點作于，平面平面，平面， 10分平面，12分19.（理）【解析】（I）隨意抽取4件產品進行檢查是隨機事件，而第一天有9件正品，第一天通過檢查的概率為2分第二天通過檢查的概率為 4分因為第一天、第二天檢查是否通過是相互獨立的，所以兩天全部通過檢查的概率為6分 （II）記所得獎金為元，則的取值為-300，300，900 7分10分（元） 12分（文）【

16、解析】（）- -2分高三年級人數為 -3分現用分層抽樣的方法在全校抽取48名學生，應在高三年級抽取的人數為(人). -6分（）設“高三年級女生比男生多”為事件，高三年級女生、男生數記為.由（）知且則基本事件空間包含的基本事件有共11個, -9分事件包含的基本事件有共5個 即高三年級女生比男生多的概率為. 12分20. 【解析】（）,在1，+）上是增函數,在1，+）上恒有0， 2分即在1，+）上恒成立.則必有1且.4分（）依題意， =0，即+,. 5分 令，得，.則當x變化時，,的變化情況如下表：x1(1,3)3(3,4)4-0+-6-18-12在1，4上的最大值是.8分 （）函數g(x)=bx

17、的圖象與函數f(x)的圖象恰有3個交點，即方程恰有3個不等實根，是其中一個根10分方程有兩個非零不等實根，存在符合條件的實數，的范圍為>-7且-3. 12分21.（理）【解析】（）由已知得直線，：，：，在直線上運動，直線上運動，,， 2分由得，即，由所以動點的軌跡的方程為1 4分（）解法一：當直線lx軸時，得A(1，)、B(1，)，SAOB·|AB|·|OF1|×3×1，不符合題意5分當直線l與x軸不垂直時，設直線l的方程為yk(x1)，k0，由消去y，得(34k2)x28k2x4k2120.顯然0成立，設A(x1，y1)、B(x2，y2)，則x1

18、x2，x1·x2.又|AB| ，即|AB| ·.8分又圓O的半徑r，所以SAOB·|AB|·r··.化簡得17k4k2180，即(k21)(17k218)0，解得k1，k(舍)，10分所以r，故圓O的方程為x2y2.12分解法二：設直線l的方程為xty1，由消去x，得(43t2)y26ty90.因為0恒成立，設A(x1，y1)、B(x2，y2)，則y1y2，y1·y2，所以|y1y2|.8分所以SAOB·|F1O|·|y1y2|.化簡得18t4t2170，即(18t217)(t21)0，解得t1，t(舍)10分又圓O的半徑為r，所以r，故圓O的方程為x2y212分（文）【解析】（）由已知得直線，：，：，在直線上運動，直線上運動，,， 2分由得，即， 所以動點的軌跡的方程為 4分（）直線方程為，將其代入，化簡得， 設、， 且， 6分為銳角， 即， 8分將代入上式，化簡得， 10分由且，得12分22.【解析】（I）連結,由同弧對應的圓周角與圓心角之間的關