1、2008年高考數學試題分類匯編數列一 選擇題：1.（全國一5）已知等差數列滿足，則它的前10項的和（ C ）A138B135C95D232.（上海卷14） 若數列an是首項為1，公比為a的無窮等比數列，且an各項的和為a，則a的值是（B ）A1 B2 C D3.（北京卷6）已知數列對任意的滿足，且，那么等于（ C ）ABCD4.（四川卷7）已知等比數列中，則其前3項的和的取值范圍是(D )（）（）（）（）5.（天津卷4）若等差數列的前5項和，且，則B（A）12 （B）13 （C）14 （D）156.（江西卷5）在數列中， ，則AA B C D7.（陜西卷4）已知是等差數列，則該數列前10項和等

2、于（ B ）A64B100C110D1208.（福建卷3)設an是公比為正數的等比數列，若n1=7,a5=16,則數列an前7項的和為CA.63B.64C.127D.1289.（廣東卷2）記等差數列的前項和為，若，則（ D ）A16B24C36D4810.（浙江卷6）已知是等比數列，則=C（A）16（） （B）16（） （C）（） （D）（）11.（海南卷4）設等比數列的公比，前n項和為，則（ C ）A. 2B. 4C.D. 二 填空題：1.（四川卷16）設等差數列的前項和為，若，則的最大值為_。安徽卷（14）在數列在中，,其中為常數，則的值是 12.（江蘇卷10）將全體正整數排成一個三角形數

3、陣：12 34 5 67 8 9 10按照以上排列的規律，第n 行（n 3）從左向右的第3 個數為3.（湖北卷14）已知函數,等差數列的公差為.若,則.64.（湖北卷15）觀察下列等式：可以推測，當2（）時，.，05.（重慶卷14)設Sn=是等差數列an的前n項和，a12=-8,S9=-9,則S16=.-72三 解答題：1.（全國一22）（本小題滿分12分）（注意：在試題卷上作答無效）設函數數列滿足，（）證明：函數在區間是增函數；（）證明：；（）設，整數證明：解析：（）證明：，故函數在區間(0,1)上是增函數；（）證明：（用數學歸納法）（i）當n=1時，由函數在區間是增函數，且函數在處連續，則

4、在區間是增函數，即成立；（）假設當時，成立，即那么當時，由在區間是增函數，得.而，則，也就是說當時，也成立；根據（）、（）可得對任意的正整數，恒成立. （）證明：由可得1， 若存在某滿足，則由知：2， 若對任意都有，則，即成立.2.（全國二20）（本小題滿分12分）設數列的前項和為已知，（）設，求數列的通項公式；（）若，求的取值范圍解：（）依題意，即，由此得4分因此，所求通項公式為，6分（）由知，于是，當時，當時，又綜上，所求的的取值范圍是12分3.（四川卷20）（本小題滿分12分）設數列的前項和為，已知（）證明：當時，是等比數列；（）求的通項公式【解】：由題意知，且兩式相減得即（）當時，由知

5、于是又，所以是首項為1，公比為2的等比數列。（）當時，由（）知，即當時，由由得因此得4.（天津卷20）（本小題滿分12分）在數列中，且（）（）設（），證明是等比數列；（）求數列的通項公式；（）若是與的等差中項，求的值，并證明：對任意的，是與的等差中項本小題主要考查等差數列、等比數列的概念、等比數列的通項公式及前項和公式，考查運算能力和推理論證能力及分類討論的思想方法滿分12分（）證明：由題設（），得，即，又，所以是首項為1，公比為的等比數列（）解法：由（），（）將以上各式相加，得（）所以當時，上式對顯然成立（）解：由（），當時，顯然不是與的等差中項，故由可得，由得，整理得，解得或（舍去）于是另

6、一方面，由可得，所以對任意的，是與的等差中項5.（安徽卷21）（本小題滿分13分）設數列滿足為實數（）證明：對任意成立的充分必要條件是；（）設，證明：;（）設，證明：解 (1) 必要性 ： ， 又 ，即充分性 ：設，對用數學歸納法證明 當時，.假設 則，且，由數學歸納法知對所有成立(2) 設 ，當時，結論成立 當 時，,由（1）知，所以 且 (3) 設 ，當時，結論成立 當時，由（2）知6.（山東卷19)。(本小題滿分12分)將數列an中的所有項按每一行比上一行多一項的規則排成如下數表：a1a2 a3a4 a5 a6a7 a8 a9 a10記表中的第一列數a1，a2，a4，a7，構成的數列為b

7、n,b1=a1=1. Sn為數列bn的前n項和，且滿足1=（n2）.()證明數列成等差數列，并求數列bn的通項公式；（）上表中，若從第三行起，每一行中的數按從左到右的順序均構成等比數列，且公比為同一個正數.當時，求上表中第k(k3)行所有項和的和.()證明：由已知，（）解：設上表中從第三行起，每行的公比都為q,且q0. 因為所以表中第1行至第12行共含有數列an的前78項，故 a82在表中第13行第三列，因此又所以 q=2. 記表中第k(k3)行所有項的和為S，則（k3）.7.（江蘇卷19）.（）設是各項均不為零的等差數列（），且公差，若將此數列刪去某一項得到的數列（按原來的順序）是等比數列：

8、當n =4時，求的數值；求的所有可能值；（）求證：對于一個給定的正整數n(n4)，存在一個各項及公差都不為零的等差數列，其中任意三項（按原來順序）都不能組成等比數列【解析】本小題主要考查等差數列與等比數列的綜合運用（）當n4 時，中不可能刪去首項或末項，否則等差數列中連續三項成等比數列，則推出d0若刪去，則有即化簡得0，因為0，所以=4 ；若刪去，則有，即，故得=1綜上=1或4當n5 時，中同樣不可能刪去首項或末項若刪去，則有，即故得=6 ；若刪去，則，即化簡得30，因為d0，所以也不能刪去；若刪去，則有，即故得= 2 當n6 時，不存在這樣的等差數列事實上，在數列，中，由于不能刪去首項或末項

9、，若刪去，則必有，這與d0 矛盾；同樣若刪去也有，這與d0 矛盾；若刪去，中任意一個，則必有，這與d0 矛盾綜上所述，n4，5（）略8.（江西卷19）（本小題滿分12分）數列為等差數列，為正整數，其前項和為，數列為等比數列，且，數列是公比為64的等比數列，.（1）求；（2）求證.解：（1）設的公差為，的公比為，則為正整數，依題意有由知為正有理數，故為的因子之一，解得故（2）9.（湖北卷21）.(本小題滿分14分)已知數列和滿足：,其中為實數，為正整數.（）對任意實數，證明數列不是等比數列；（）試判斷數列是否為等比數列，并證明你的結論；（）設,為數列的前項和.是否存在實數，使得對任意正整數，都有

10、?若存在，求的取值范圍；若不存在，說明理由.本小題主要考查等比數列的定義、數列求和、不等式等基礎知識和分類討論的思想，考查綜合分析問題的能力和推理認證能力，（滿分14分）（）證明：假設存在一個實數，使an是等比數列，則有a22=a1a3,即矛盾.所以an不是等比數列.()解：因為bn+1=(-1)n+1an+1-3(n-1)+21=(-1)n+1(an-2n+14)=(-1)n·（an-3n+21）=-bn又b1x-(+18),所以當18，bn=0(nN+),此時bn不是等比數列：當18時，b1=(+18) 0,由上可知bn0，(nN+).故當-18時，數列bn是以（18）為首項，為

11、公比的等比數列.()由（）知，當=-18,bn=0,Sn=0,不滿足題目要求.-18，故知bn= -（+18）·（）n-1，于是可得Sn=-要使a<Sn<b對任意正整數n成立，即a<-(+18)·1（）nb(nN+) 當n為正奇數時，1<f(n)f(n)的最大值為f(1)=,f(n)的最小值為f(2)=,于是，由式得a<-(+18),<當a<b3a時，由b-18=-3a-18，不存在實數滿足題目要求；當b>3a存在實數，使得對任意正整數n,都有a<Sn<b,且的取值范圍是（b-18,-3a-18）.10.（湖南卷1

12、8）.（本小題滿分12分） 數列 ()求并求數列的通項公式； ()設證明：當 解: ()因為所以一般地，當時，即所以數列是首項為1、公差為1的等差數列，因此當時，所以數列是首項為2、公比為2的等比數列，因此故數列的通項公式為()由()知，-得， 所以 要證明當時，成立，只需證明當時，成立. 證法一 (1)當n = 6時，成立. (2)假設當時不等式成立，即 則當n=k+1時， 由(1)、(2)所述，當n6時，.即當n6時， 證法二 令，則 所以當時，.因此當時，于是當時，綜上所述，當時，11.（陜西卷22）（本小題滿分14分）已知數列的首項，（）求的通項公式；（）證明：對任意的，；（）證明：解

13、法一：（），又，是以為首項，為公比的等比數列，（）由（）知，原不等式成立（）由（）知，對任意的，有取，則原不等式成立解法二：（）同解法一（）設，則，當時，；當時，當時，取得最大值原不等式成立（）同解法一12.（重慶卷22）（本小題滿分12分，（）小問5分，（）小問7分.）設各項均為正數的數列an滿足.（）若，求a3，a4，并猜想a2cos的值（不需證明）；（）記對n2恒成立，求a2的值及數列bn的通項公式. 解：()因 由此有，故猜想的通項為 （）令 由題設知x1=1且 因式對n=2成立，有 下用反證法證明： 由得 因此數列是首項為，公比為的等比數列.故 又由知 因此是是首項為，公比為-2的等

14、比數列,所以 由-得 對n求和得 由題設知 即不等式22k+1對kN*恒成立.但這是不可能的，矛盾.因此x2,結合式知x2=,因此a2=2*2=將x2=代入式得Sn=2(nN*),所以bn=2Sn=22(nN*)13.（廣東卷21）（本小題滿分12分）設為實數，是方程的兩個實根，數列滿足，（）（1）證明：，；（2）求數列的通項公式；（3）若，求的前項和【解析】（1）由求根公式，不妨設，得，（2）設，則，由得，消去，得，是方程的根，由題意可知，當時，此時方程組的解記為即、分別是公比為、的等比數列，由等比數列性質可得,兩式相減，得，即，當時，即方程有重根，即，得，不妨設，由可知，即，等式兩邊同時除以，得，即數列是以1為公差的等差數列，,綜上所述，（3）把，代入，得，解得14.（浙江卷22）（本題14分）已知數列，記求證：當時，（）；（）；（）。本題主要考查數列的遞推關系，數學歸納法、不等式證明等基礎知識和基本技能，同時考查邏輯推理能力滿分14分（）證明：用數學歸納法證明當時，因為是方程的正根，所以假設當時，因為，所以即當時，也成立根據和，可知對任何都成立（）證明：由，（），得因為，所以由及得， 所以（）證明：由，得所以，于是，故當時，又因為， 所以15.（遼寧卷21）（本小題滿分12分）在數列，中，a1=2，b1=4，且成等差數列，成等