1、高考復習序列-高中數學數列一、數列的通項公式與前n項的和的關系（注：該公式對任意數列都適用）（注：該公式對任意數列都適用）（注：該公式對任意數列都適用）sn+1-sn-1=an+1+an（注：該公式對任意數列都適用）二、等差與等比數列的基本知識1、等差數列1 通項公式與公差：定義式：一般式：推廣形式：；前項和與通項的關系：前n項和公式：.前n項和公式的一般式：應用：若已知，即可判斷為某個等差數列的前n項和，并可求出首項及公差的值。與的關系：（注：該公式對任意數列都適用）例：等差數列， （直接利用通項公式作差求解）常用性質：若m+n=p+q ，則有；特別地：若的等差中項，則有2n、m、p成等差數

2、列；等差數列的“間隔相等的連續等長片斷和序列”（如，）仍是等差數列；為公差為d等差數列，為其前n項和，則，也成等差數列,A、 構成的新數列公差為D=m2d，即m2d=(S2m-Sm)- Sm；B、 對于任意已知Sm，Sn，等差數列公差，即也構成一個公差為等差數列。若項數為偶數，設共有項，則偶奇； ；若項數為奇數，設共有項，則奇偶；。 例：已知等差數列，其中解析：法一，用等差數列求和公式求出法二，成等差數列，設公差為D，則：法三,63. 等比數列的通項公式： 一般形式：；推廣形式：，其前n項的和公式為：，或.數列為等比數列 常用性質： 若m+n=p+q ，則有；特別地：若的等比中項，則有n、m、

3、p成等比數列; 等比數列的“間隔相等的連續等長片斷和序列”（如，）仍是等比數列；為等比數列，為其前n項和，則，也成等比數列（僅當當或者且不是偶數時候成立）；設等比數列的前項積為，則，成等比數列為等比數列，則下標成等差數列的對應項成等比數列.既是等差數列又是等比數列是各項不為零的常數列.判斷或證明一個數列是等差數列的方法：定義法：是等差數列中項法：是等差數列一般通項公式法：是等差數列一般前項和公式法：是等差數列判斷或證明一個數列是等差數列的方法：（1）定義法：為等比數列；（2）中項法：為等比數列； （3）通項公式法：為等比數列； （4）前項和法：為等比數列。 為等比數列。數列最值的求解（1），時

4、，有最大值；，時，有最小值；（2）最值的求法：若已知，的最值可求二次函數的最值；可用二次函數最值的求法（）；或者求出中的正、負分界項，即：若已知，則最值時的值（）可如下確定或。例1：等差數列中，則前項的和最大?！窘馕觥浚豪?設等差數列的前項和為，已知 求出公差的范圍，指出中哪一個值最大，并說明理由?！窘馕觥浚?由，可知，n=12是前n項和正負分界項，故所以，最大變式：若等差數列的首項為為31，從第16項開始小于1，則此數列公差d的取值范圍是 解析：，但要注意此時還要一個隱含條件，聯立不等式組求解。3、若數列的前n項和，則，數值最小項是第項?！窘馕觥浚悍ㄒ唬▽捣ǎ焊鶕炔顢盗星皀項和的標準形

5、式，可知該數列為等差數列，令,取得最小值，其中，可見當n=3時取得最小。法二（列舉法）：對于可用列舉法，分別求出n=1、2時的的值，再進行比較發現。4、已知數列，【解析】：法一（均值不等式）：由累加法：，令法二（列舉法）：實在沒招時使用該法。5、已知等差數列的前n項和?！窘馕觥浚?、數列通項公式的求法：類型1：等差數列型思路：把原遞推式轉化為，再使用累加法（逐差相加法）求解。例，已知數列滿足，求數列的通項公式。解：由得則所以數列的通項公式為變式：已知數列滿足，求數列的通項公式。解：兩邊除以，得，則，此時，故數列是以為首項，以為公差的等差數列，由等差數列的通項公式，得，所以數列的通項公式為評注：

6、本題前的系數不一致，不能直接使用前述方法，解題的關鍵是把遞推關系式轉化為，說明數列是等差數列，再直接利用等差數列的通項公式求出，進而求出數列的通項公式。類型2：等比數列型把原遞推式轉化為，再使用累乘法（逐商相乘法）求解。例（2004年全國I第15題，原題是填空題）已知數列滿足，求的通項公式。解：因為所以用式式得則；故所以由，則，又知，則，代入得。所以，的通項公式為評注：本題解題的關鍵是把遞推關系式轉化為，進而求出，從而可得當的表達式，最后再求出數列的通項公式。類型4：待定系數法處理 或型數列把原遞推式轉化為轉化思路：例，數列解：令，所以即是公比為2的等比數列，=（），或令，是公比為2的等比數列

7、，所以，變式1：已知數列滿足，求數列的通項公式。思路：等式兩邊同時除于；原遞推式變成令，評注：本題解題的關鍵是把遞推關系式轉化為，最后再求出數列的通項公式。變式2：已知數列滿足，求數列的通項公式。思路：將原遞推式兩邊倒數后換元，再轉化為變式3：已知數列滿足，求數列的通項公式。思路：將原遞推式兩邊求對數后換元，再轉化為變式4：已知數列滿足，求數列的通項公式。思路：換元，則，再代入原遞推式，再轉化為類型5 已知遞推式求這種類型一般利用導出，消去，得到與的遞推式，再利用前面的方法求解出（知識遷移：）例，已知數列前n項和，求：（1），（2）通項。解：（1）（2）由上式：，令，即有，而，所以，2，公差為

8、2,的等差數列，類型6：求用作商法：數列求和的常用方法然數和公式： ； ；一、利用等差等比數列的求和公式求和 1、等差數列求和公式：2、等比數列求和公式：例1已知，求的前n項和.解：由，由等比數列求和公式得1（利用等比數列求和公式）例2設Sn1+2+3+n，nN*,求的最大值.解：由等差數列求和公式得，當，即n8時，二、錯位相減法求和這種方法是在推導等比數列的前n項和公式時所用的方法，這種方法主要用于求數列an·bn的前n項和，其中 an 、 bn 分別是等差數列和等比數列.例3 求和：解：由題可知，的通項是等差數列2n1的通項與等比數列的通項之積設.得（錯位相減）再利用等比數列的求

9、和公式得：例4求數列前n項的和.解：由題可知，的通項是等差數列2n的通項與等比數列的通項之積設 -三、反序相加法求和這是推導等差數列的前n項和公式時所用的方法，就是將一個數列倒過來排列（反序），再把它與原數列相加，就可以得到n個.例5 求的值解：設.將式右邊反序得.又因為，+得89 S44.5題1 已知函數（1）證明：；（2）求的值.解：（1）先利用指數的相關性質對函數化簡，后證明左邊=右邊（2）利用第（1）小題已經證明的結論可知，兩式相加得： 所以.四、分組法求和有一類數列，既不是等差數列，也不是等比數列，若將這類數列適當拆開，可分為幾個等差、等比或常見的數列，然后分別求和，再將其合并即可.

10、例5求數列的前n項和：，解：設將其每一項拆開再重新組合得當a1時，時，五、裂項法求和這是分解與組合思想在數列求和中的具體應用. 裂項法的實質是將數列中的每項（通項）分解，然后重新組合，使之能消去一些項，最終達到求和的目的. 通項分解（裂項）如：（1）（2）（3）（4）例6求數列的前n項和.解：設則例7在數列an中，又，求數列bn的前n項的和.解：數列bn的前n項和六、分段求和法（合并法求和）針對一些特殊的數列，將某些項合并在一起就具有某種特殊的性質，因此，在求數列的和時，可將這些項放在一起先求和，然后再求Sn.例8求cos1°+ cos2°+ cos3°+···+ cos178°+ cos179°的值.解：設Sn cos1°+ cos2°+ cos3°+···+ cos178°+ cos179°Sn（cos1°+ cos179°）+（ cos