1、第2929講概率考點(diǎn)一考點(diǎn)二考點(diǎn)三考點(diǎn)一考點(diǎn)一事件事件1.確定性事件:在一定條件下,事先知道一定會(huì)發(fā)生的事件叫必然事件,一定不會(huì)發(fā)生的事件叫不可能事件,必然事件和不可能事件統(tǒng)稱確定性事件.2.隨機(jī)事件:在一定條件下可能發(fā)生,也可能不會(huì)發(fā)生的事件叫隨機(jī)事件.考點(diǎn)一考點(diǎn)二考點(diǎn)三考點(diǎn)二概率1.概率的意義:一般地,在大量的重復(fù)試驗(yàn)下,事件A的發(fā)生的頻率會(huì)穩(wěn)定在某個(gè)數(shù)字附近,就把這個(gè)數(shù)字叫做事件A的概率,記作P(A).2.等可能情形下概率的計(jì)算.(1)“等可能的意義包含:一次試驗(yàn)的結(jié)果數(shù)有限;各種可能結(jié)果出現(xiàn)的時(shí)機(jī)均等.(2)一次性操作問題的概率的計(jì)算:問題情境是從假設(shè)干個(gè)元素中抽取一個(gè)元素(即一次性操

2、作問題),求其概率時(shí),直接應(yīng)用公式P(A)=(其中m表示事件A發(fā)生可能出現(xiàn)的結(jié)果數(shù),n表示一次操作試驗(yàn)中所有等可能出現(xiàn)的結(jié)果數(shù)).根據(jù)概率的意義,必然事件的概率為1,不可能事件的概率為0,隨機(jī)事件A的概率P(A)在01之間,即0P(A)1.考點(diǎn)一考點(diǎn)二考點(diǎn)三(3)屢次操作問題概率的計(jì)算:當(dāng)問題情境是從假設(shè)干元素中抽取兩個(gè)元素或?qū)δ炒卧囼?yàn)進(jìn)展兩次操作(即二次性操作問題),求其概率時(shí),通過列表法或畫樹狀圖法來探索一次試驗(yàn)所包含的所有可能結(jié)果數(shù)(n)和事件A發(fā)生的可能結(jié)果數(shù)(m),再利用公式來計(jì)算.考點(diǎn)一考點(diǎn)二考點(diǎn)三3.頻率估計(jì)概率頻率估計(jì)概率:在隨機(jī)試驗(yàn)中在隨機(jī)試驗(yàn)中,當(dāng)試驗(yàn)的結(jié)果不是有限個(gè)或者各

3、當(dāng)試驗(yàn)的結(jié)果不是有限個(gè)或者各種結(jié)果發(fā)生的可能性不相等時(shí)種結(jié)果發(fā)生的可能性不相等時(shí),常常用大量的重復(fù)試驗(yàn)常常用大量的重復(fù)試驗(yàn),根據(jù)某個(gè)根據(jù)某個(gè)隨機(jī)事件發(fā)生的頻率所逐漸穩(wěn)定到的常數(shù)隨機(jī)事件發(fā)生的頻率所逐漸穩(wěn)定到的常數(shù)p,來估計(jì)這個(gè)事件發(fā)生來估計(jì)這個(gè)事件發(fā)生的概率的概率,即即P(A)=p.4.幾何概率幾何概率:設(shè)想一次試驗(yàn)中每個(gè)結(jié)果是一個(gè)點(diǎn)設(shè)想一次試驗(yàn)中每個(gè)結(jié)果是一個(gè)點(diǎn),所有結(jié)果的點(diǎn)組所有結(jié)果的點(diǎn)組成一個(gè)圖形區(qū)域成一個(gè)圖形區(qū)域G,而組成事件而組成事件A的結(jié)果是的結(jié)果是G中的局部區(qū)域中的局部區(qū)域g.G,g可可以是一條直線上的線段以是一條直線上的線段,也可以是平面圖形或立體圖形也可以是平面圖形或立體圖形

4、,因此這種因此這種概率可以表示為兩個(gè)線段長度之比或兩個(gè)平面圖形面積的比或兩概率可以表示為兩個(gè)線段長度之比或兩個(gè)平面圖形面積的比或兩個(gè)立體圖形的體積之比個(gè)立體圖形的體積之比.考點(diǎn)一考點(diǎn)二考點(diǎn)三考點(diǎn)三概率的應(yīng)用概率主要用于判斷隨機(jī)事件發(fā)生的時(shí)機(jī)的大小.常常利用概率來判斷游戲是否公平.對(duì)于游戲規(guī)那么是否公平問題,需要通過計(jì)算游戲雙方獲勝的概率,通過比較雙方獲勝概率的大小來進(jìn)展判斷,假設(shè)概率相等,那么游戲公平,假設(shè)概率不相等,那么游戲不公平.考法1考法2考法3考法4考法5事件的判斷事件的判斷常見的事件包括確定性事件(必然事件和不可能事件)及隨機(jī)事件,區(qū)分這些事件就要根據(jù)實(shí)際問題背景,結(jié)合定義來判斷.考

5、法1考法2考法3考法4考法5例1袋子中裝有4個(gè)黑球和2個(gè)白球,這些球的形狀、大小、質(zhì)地等完全一樣,在看不到球的條件下,隨機(jī)地從袋子中摸出3個(gè)球.以下事件是必然事件的是()答案:A解析:因?yàn)榘浊蛑挥?個(gè),所以,摸出的3個(gè)球中,黑球至少有1個(gè),選A.方法點(diǎn)撥解題的關(guān)鍵是正確理解必然事件、不可能事件、隨機(jī)事件的概念,根據(jù)概念區(qū)分和判斷.考法1考法2考法3考法4考法5概率的計(jì)算概率的計(jì)算對(duì)于隨機(jī)事件對(duì)于隨機(jī)事件,雖然它的發(fā)生與否事先不確定雖然它的發(fā)生與否事先不確定,但它的發(fā)生的可但它的發(fā)生的可能性能性(即時(shí)機(jī)即時(shí)機(jī))卻有一定的規(guī)律卻有一定的規(guī)律.一般地一般地,表示一個(gè)隨機(jī)事件發(fā)生可能表示一個(gè)隨機(jī)事件發(fā)

6、生可能性性(時(shí)機(jī)時(shí)機(jī))大小的數(shù)大小的數(shù),叫做這個(gè)隨機(jī)事件的概率叫做這個(gè)隨機(jī)事件的概率,記作記作P(A).例例2在一個(gè)不透明的布袋中裝有在一個(gè)不透明的布袋中裝有3個(gè)白球和個(gè)白球和5個(gè)紅球個(gè)紅球,它們除了顏它們除了顏色不同外色不同外,其余均一樣其余均一樣.從中隨機(jī)摸出一個(gè)球從中隨機(jī)摸出一個(gè)球,摸到紅球的概率是摸到紅球的概率是()答案D解析根據(jù)題意可得,一個(gè)不透明的袋中裝有除顏色外其余均一樣的3個(gè)白球和5個(gè)紅球,共8個(gè)球,從中隨機(jī)摸出一個(gè),那么摸到紅球的概率P(紅球)=.應(yīng)選D.考法1考法2考法3考法4考法5方法點(diǎn)撥1.在計(jì)算概率時(shí),要正確列舉一次試驗(yàn)的所有可能結(jié)果(m)和事件A發(fā)生的可能結(jié)果(n)

7、,才能正確計(jì)算事件A的概率.2.概率是反映事件發(fā)生時(shí)機(jī)的大小的概念,只是表示發(fā)生的時(shí)機(jī)的大小,時(shí)機(jī)大也不一定發(fā)生,時(shí)機(jī)小也不一定不發(fā)生.考法1考法2考法3考法4考法5用頻率估計(jì)概率用頻率估計(jì)概率頻率是一個(gè)試驗(yàn)值或試驗(yàn)時(shí)的統(tǒng)計(jì)值頻率是一個(gè)試驗(yàn)值或試驗(yàn)時(shí)的統(tǒng)計(jì)值,具有隨機(jī)性具有隨機(jī)性,可能取多個(gè)可能取多個(gè)數(shù)值數(shù)值,因此它只能近似地反映事件發(fā)生的可能性的大小因此它只能近似地反映事件發(fā)生的可能性的大小;概率是個(gè)概率是個(gè)理論值理論值,是由事件的本質(zhì)所決定的是由事件的本質(zhì)所決定的,只能取唯一值只能取唯一值,它能準(zhǔn)確地反映它能準(zhǔn)確地反映事件發(fā)生可能性的大小事件發(fā)生可能性的大小.但當(dāng)試驗(yàn)的次數(shù)充分大時(shí)但當(dāng)試驗(yàn)

8、的次數(shù)充分大時(shí),事件發(fā)生的頻事件發(fā)生的頻率會(huì)穩(wěn)定在某個(gè)數(shù)值率會(huì)穩(wěn)定在某個(gè)數(shù)值(p)附近附近,把這個(gè)頻率的穩(wěn)定值把這個(gè)頻率的穩(wěn)定值p記作該事件發(fā)記作該事件發(fā)生的概率生的概率,即即P(A)=p.只有在大量的重復(fù)試驗(yàn)中只有在大量的重復(fù)試驗(yàn)中,某事件發(fā)生的頻率逐漸穩(wěn)定在某個(gè)數(shù)某事件發(fā)生的頻率逐漸穩(wěn)定在某個(gè)數(shù)字附近字附近,才把這個(gè)數(shù)字作為該事件的概率的近似值才把這個(gè)數(shù)字作為該事件的概率的近似值,而有限次的試而有限次的試驗(yàn)頻率與概率可能有較大的差距驗(yàn)頻率與概率可能有較大的差距.考法1考法2考法3考法4考法5例3在一個(gè)不透明的口袋中裝有4個(gè)紅球和假設(shè)干個(gè)白球,它們除顏色外其他完全一樣.從口袋中任意摸出1個(gè)球

9、,通過屢次摸球試驗(yàn)后發(fā)現(xiàn),摸到紅球的頻率穩(wěn)定在25%附近,那么口袋中白球可能有()答案D解析設(shè)白球有x個(gè),摸到紅球的頻率穩(wěn)定在25%左右,方法點(diǎn)撥由摸到紅球的頻率穩(wěn)定在25%附近可知從口袋中任意摸出1個(gè)球,得到紅球的概率為進(jìn)而利用概率的意義求出白球個(gè)數(shù)即可.考法1考法2考法3考法4考法5幾何概率幾何概率問題背景或設(shè)計(jì)方案時(shí)問題背景或設(shè)計(jì)方案時(shí),要注意圖形或材質(zhì)的均勻性要注意圖形或材質(zhì)的均勻性,試驗(yàn)次數(shù)試驗(yàn)次數(shù)要大要大,以保證試驗(yàn)的以保證試驗(yàn)的“等可能性和等可能性和“真實(shí)性真實(shí)性.考法1考法2考法3考法4考法5例4(2021湖北隨州)正方形ABCD的邊長為2,以各邊為直徑在正方形內(nèi)畫半圓,得到如

10、下圖陰影局部,假設(shè)隨機(jī)向正方形ABCD內(nèi)投一粒米,那么米粒落在陰影局部的概率為()考法1考法2考法3考法4考法5答案:A解析:如圖,連接PA,PB,作OPAB;考法1考法2考法3考法4考法5概率的應(yīng)用概率的應(yīng)用通過計(jì)算隨機(jī)事件的概率通過計(jì)算隨機(jī)事件的概率,來解決比方游戲公平性、幾何圖形面來解決比方游戲公平性、幾何圖形面積的估算、種子的發(fā)芽率等實(shí)際問題積的估算、種子的發(fā)芽率等實(shí)際問題.例例5小明和小剛做紙牌游戲小明和小剛做紙牌游戲,如圖如圖,兩組一樣的紙牌兩組一樣的紙牌,每組兩張每組兩張,牌牌面數(shù)字分別是面數(shù)字分別是2和和3,將兩組牌反面朝上將兩組牌反面朝上,洗勻后從每組牌中各抽取洗勻后從每組牌

11、中各抽取一張一張,稱為一次游戲稱為一次游戲.當(dāng)兩張牌的牌面數(shù)字之積為奇數(shù)時(shí)當(dāng)兩張牌的牌面數(shù)字之積為奇數(shù)時(shí),小明得小明得2分分,否那么小剛得否那么小剛得1分分,這個(gè)游戲?qū)﹄p方公平嗎這個(gè)游戲?qū)﹄p方公平嗎?請(qǐng)說明理由請(qǐng)說明理由.考法1考法2考法3考法4考法5解:不公平.理由如下,根據(jù)題意,畫出樹狀圖如圖:一共有4種等可能情況,積是偶數(shù)的有3種情況,積是奇數(shù)的有1種情況,這個(gè)游戲?qū)﹄p方不公平.方法點(diǎn)撥判斷游戲公平性就要計(jì)算每個(gè)人的概率,概率相等就公平,否那么就不公平.1.(2021甘肅天水甘肅天水)以下說法正確的選項(xiàng)是以下說法正確的選項(xiàng)是()B.隨機(jī)事件發(fā)生的概率為隨機(jī)事件發(fā)生的概率為 D.投擲一枚質(zhì)

12、地均勻的硬幣投擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣1 000次次,正面朝上的次數(shù)一定是正面朝上的次數(shù)一定是500次次2.(2021甘肅蘭州甘肅蘭州)一個(gè)不透明的盒子里有一個(gè)不透明的盒子里有n個(gè)除顏色外其他完全一個(gè)除顏色外其他完全一樣的小球樣的小球,其中有其中有9個(gè)黃球個(gè)黃球,每次摸球前先將盒子里的球搖勻每次摸球前先將盒子里的球搖勻,任意摸任意摸出一個(gè)球記下顏色后再放回盒子出一個(gè)球記下顏色后再放回盒子,通過大量重復(fù)摸球?qū)嶒?yàn)后發(fā)現(xiàn)通過大量重復(fù)摸球?qū)嶒?yàn)后發(fā)現(xiàn),摸到黃球的頻率穩(wěn)定在摸到黃球的頻率穩(wěn)定在30%,那么估計(jì)盒子中小球的個(gè)數(shù)那么估計(jì)盒子中小球的個(gè)數(shù)n為為()A.20B.24AD解析根據(jù)題意,得=30%,解得n

13、=30,所以這個(gè)不透明的盒子里大約有30個(gè)除顏色外其他完全一樣的小球.應(yīng)選D.3.(2021甘肅白銀甘肅白銀)在一次數(shù)學(xué)興趣小組活動(dòng)中在一次數(shù)學(xué)興趣小組活動(dòng)中,李燕和劉凱兩位同李燕和劉凱兩位同學(xué)設(shè)計(jì)了如下圖的兩個(gè)轉(zhuǎn)盤做游戲?qū)W設(shè)計(jì)了如下圖的兩個(gè)轉(zhuǎn)盤做游戲(每個(gè)轉(zhuǎn)盤被分成面積相等的幾每個(gè)轉(zhuǎn)盤被分成面積相等的幾個(gè)扇形個(gè)扇形,并在每個(gè)扇形區(qū)域內(nèi)標(biāo)上數(shù)字并在每個(gè)扇形區(qū)域內(nèi)標(biāo)上數(shù)字).游戲規(guī)那么如下游戲規(guī)那么如下:兩人分別兩人分別同時(shí)轉(zhuǎn)動(dòng)甲、乙轉(zhuǎn)盤同時(shí)轉(zhuǎn)動(dòng)甲、乙轉(zhuǎn)盤,轉(zhuǎn)盤停頓后轉(zhuǎn)盤停頓后,假設(shè)指針?biāo)竻^(qū)域內(nèi)兩數(shù)之和假設(shè)指針?biāo)竻^(qū)域內(nèi)兩數(shù)之和小于小于12,那么李燕獲勝那么李燕獲勝;假設(shè)指針?biāo)竻^(qū)域兩數(shù)之和等

14、于假設(shè)指針?biāo)竻^(qū)域兩數(shù)之和等于12,那么為那么為平局平局;假設(shè)指針?biāo)竻^(qū)域兩數(shù)之和大于假設(shè)指針?biāo)竻^(qū)域兩數(shù)之和大于12,那么劉凱獲勝那么劉凱獲勝(假設(shè)指針假設(shè)指針停在等分線上停在等分線上,重轉(zhuǎn)一次重轉(zhuǎn)一次,直到指針指向某一區(qū)域?yàn)橹怪钡街羔樦赶蚰骋粎^(qū)域?yàn)橹?.(1)請(qǐng)用列表或畫樹狀圖的方法表示出上述游戲中兩數(shù)之和的所有可能的結(jié)果;(2)分別求出李燕和劉凱獲勝的概率.解:(1)畫樹狀圖如下:或列表如下:可見,兩數(shù)之和共有12種等可能的情況.(2)由(1)可知,兩數(shù)之和共有12種等可能的情況,其中和小于12的 4.(2021甘肅甘肅)如圖如圖,在正方形方格中在正方形方格中,陰影局部是涂黑陰影局部是涂

15、黑3個(gè)小正方形個(gè)小正方形所形成的圖案所形成的圖案.(1)如果將一粒米隨機(jī)地拋在這個(gè)正方形方格上如果將一粒米隨機(jī)地拋在這個(gè)正方形方格上,那么米粒落在陰那么米粒落在陰影局部的概率是多少影局部的概率是多少?(2)現(xiàn)將方格內(nèi)空白的小正方形現(xiàn)將方格內(nèi)空白的小正方形(A,B,C,D,E,F)中任取中任取2個(gè)涂黑個(gè)涂黑,得到得到新圖案新圖案,請(qǐng)用列表或畫樹狀圖的方法求新圖案是軸對(duì)稱圖形的概率請(qǐng)用列表或畫樹狀圖的方法求新圖案是軸對(duì)稱圖形的概率.解:(1)正方形網(wǎng)格被等分成9等份,其中陰影局部占其中的3份,(2)列表如下:由表可知,共有30種等可能結(jié)果,其中是軸對(duì)稱圖形的有10種, 5.(2021甘肅蘭州甘肅蘭州)在一個(gè)不透明的布袋里裝有在一個(gè)不透明的布袋里裝有4個(gè)標(biāo)有個(gè)標(biāo)有1,2,3,4的小的小球球,它們的形狀、大小完全一樣它們的形狀、大小完全一樣,李強(qiáng)從布袋中隨機(jī)取出一個(gè)小球李強(qiáng)從布袋中隨機(jī)取出一個(gè)小球,記下數(shù)字為記下數(shù)字為x,王芳在剩下的王芳在剩下的3個(gè)小球中隨機(jī)取出一個(gè)小球個(gè)小球中隨機(jī)取出一個(gè)小球,記下數(shù)記下數(shù)字為字為y,這