1、第7頁共35頁線、角、相交線、平行線規律1.如果平面上有 n(n > 2個點，其中任何三點都不在同一直線上，那么每兩點畫一條直1線，一共可以畫出 -n(n 1)條.1規律2.平面上的n條直線最多可把平面分成-n(n+1)+1個部分.1Q一 n(n 1)條.2規律4.線段(或延長線)上任一點分線段為兩段，這兩條線段的中點的距離等于線段長的 半.B在線段AC上，M是AB的中點，N是BC的中點.1MN = AC2/ M是AB的中點，N是BC的中點11 AM = BM = AB ,BN = CN = 一 BC-211-BC = - (AB + BC)22規律3.如果一條直線上有n個點，那么在這個

2、圖形中共有線段的條數為例：如圖,求證:證明: MN = MB + BN1-AB +21 MN = AC2練習：1.如圖，點C是線段1AB上的一點，M是線段BC的中點.求證：AM = (AB + BC)22.如圖，點 B在線段 AC上，M是AB的中點,1MN = -BC2求證:N是AC的中點.3.如圖,求證:點B在線段AC上，N是AC的中點,1MN = AB2M是BC的中點.N BMC1規律5.有公共端點的n條射線所構成的交點的個數一共有-n(n 1)個.2規律6.如果平面內有n條直線都經過同一點，則可構成小于平角的角共有2n ( n 1)個.規律7.如果平面內有 n條直線都經過同一點，則可構成

3、n ( n 1)對對頂角.規律8.平面上若有n ( n>3個點，任意三個點不在同一直線上，過任意三點作三角形一共1可作出n(n 1)(n 2)個.6規律9.互為鄰補角的兩個角平分線所成的角的度數為90°.1規律10.平面上有n條直線相交，最多交點的個數為一n(n 1)個.2規律11.互為補角中較小角的余角等于這兩個互為補角的角的差的一半.規律12.當兩直線平行時，同位角的角平分線互相平行，內錯角的角平分線互相平行，同旁 內角的角平分線互相垂直.例：如圖，以下三種情況請同學們自己證明.DDBD規律13.已知AB/ DE,如圖，規律如下:C)ABZABC+BCD+CDE=360CD

4、BEAf)EZBCD= ZABC+ dCDEf)DZBCD=zJCDE- ZABCBDEczBcd= Zabc- Ncdef)NCDE=ZBCD+°BCBZABC= zBcd+zCde規律14.成例：已知，解：/Bf)“8字形的兩個三角形的一對內角平分線相交所成的角等于另兩個內角和的一半BE、DE 分別平分/ ABC 和/ ADC，若/ A = 45°,/ C = 55°,求/ E 的度數.A +/ ABE = / E +/ ADE/ C + / CDE = / E + / CBE +得=/ E + / ADE + / E +/A + / ABE + / C +/

5、 CDE/ CBE/ BE 平分/ ABC、DE 平分/ ADC,/ ABE = / CBE , / CDE = / ADE 2/ E =/ A+/ C1/ E = -(/A +/ C)/ A =45o, / C =55O,/ E =50o三角形部分規律15.在利用三角形三邊關系證明線段不等關系時，如果直接證不出來，可連結兩點或 延長某邊構造三角形，使結論中出現的線段在一個或幾個三角形中，再利用三邊 關系定理及不等式性質證題 .例：如圖，已知 證法（一）：在 AMN在 BDMD、E 為 ABC 內兩點，求證： AB+ AC >BD + DE + CE. 將DE向兩邊延長，分別交 AB、A

6、C于M、N 中， 中，在 CEN中，+得AM + AN > MD + DE + NE MB + MD > BDCN + NE> CEAM + AN+ MB + MD +CN+ NE> MD + DE + NE + BD + CE AB + AC> BD + DE + CE證法（二）延長 BD交AC于F，延長CE交BF于G,在 ABF和 GFC和 GDE中有， AB + AF > BD + DG + GF GF + FC > GE + CE DG + GE > DE+有AB + AF + GF + FC + DG + GE > BD + DG

7、 + GF + GE + CE+ DE AB + AC> BD + DE + CE注意：禾U用三角形三邊關系定理及推論證題時，常通過引輔助線，把求證的量（或與求證有關的量）移到同一個或幾個三角形中去然后再證題.練習：已知：如圖 卩為 ABC內任一點，1求證：一（AB + BC + AC） < PA+ PB + PC V AB + BC + AC2規律16.三角形的一個內角平分線與一個外角平分線相交所成的銳角，等于第三個內角的 一半.例：如圖，已知 BD為 ABC的角平分線，CD為 ABC的外角/ ACE的平分線，它與 BD 的延長線交于D.求證：/ A = 2/ D 證明： BD、

8、CD分別是/ ABC、/ ACE的平分線/ ACE =2/ 1, / ABC =2 / 2/ A = / ACE -/ ABC/ A = 2/ 1-2 / 2又/ D = / 1 -/ 2/ A =2 / D規律17.三角形的兩個內角平分線相交所成的鈍角等于90°加上第三個內角的一半.1例：如圖，BD、CD 分別平分/ ABC、/ ACB , 求證：/ BDC = 90° + / A2證明： BD、CD分別平分/ ABC、/ ACB/ A+ 2/ 1+ 2/ 2 = 180° 2(/ 1 + / 2)= 180°/ A/ BDC =180° (

9、/ 1+/ 2).(/ 1 + / 2) = 180°/ BDC把式代入式得2(180°/ BDC)= 180°/ A 即: 360° 2 / BDC =180°/ A 2/ BDC = 180° +/ A1/ BDC = 90° + / A2規律18.三角形的兩個外角平分線相交所成的銳角等于A90°減去第三個內角的一半1例：如圖，BD、CD 分別平分/ EBC、/ FCB , 求證：/ BDC = 90°- / A2證明： BD、CD分別平分/ EBC、/ FCB/ EBC = 2 / 1、/ FCB

10、= 2 / 2 2 / 1 = / A +/ACB 2/ 2 = /A+/ABC +得2 (/ 1 + / 2) = / A+/ ABC +/ ACB +/ A2 (/ 1 + / 2) = 180° +/ A1(/ 1 + / 2) = 90° +丄/ A2=180° (/ 1 + / 2)1=180° (90° + / A)2BDCBDC1=90° 1 / A2規律19.從三角形的一個頂點作高線和角平分線，它們所夾的角等于三角形另外兩個角差 （的絕對值）的一半.例：已知，如圖，在 ABC中，/ 0/ B, AD丄BC于D, AE平

11、分/ BAC.BDC求證：/ EAD = -( / C / B)證明： AE平分/ BAC1BAE = / CAE = / BAC2BAC =180° (/ B + / C)1EAC = - 180° (/ B+/ C)2/ AD 丄 BC/DAC = 90° / CEAD = / EAC / DAC1EAD = 180° (/ B+/ C)一 (90°/ C)2BC1=90o- - (/ B + / C)-90o +/ C1=-(/ C-/ B)2如果把AD平移可以得到如下兩圖，FD丄BC其它條件不變，結論為/ EFD =-/ B).注意：同

12、學們在學習幾何時，可以把自己證完的題進行適當變換，從而使自己通過解一道題掌握一類題，提高自己舉一反三、靈活應變的能力.規律20.在利用三角形的外角大于任何和它不相鄰的內角證明角的不等關系時，如果直接證 不出來，可連結兩點或延長某邊，構造三角形，使求證的大角在某個三角形外角 的位置上，小角處在內角的位置上，再利用外角定理證題.例：已知 D為 ABC內任一點，求證：/ BDC >/ BAC 證法（一）：延長BD交AC于E,C/ BDC > EDC 的外角，/ BDC >/ DEC同理：/ DEC >/ BAC/ BDC >/ BAC證法（二）：連結AD，并延長交BC于

13、F/ BDF是 ABD的外角，/ BDF >/ BAD同理/ CDF >/ CAD/ BDF +/ CDF >/ BAD +/ CAD即:/ BDC >/ BAC規律21.有角平分線時常在角兩邊截取相等的線段，構造全等三角形.例：已知，如圖， AD為 ABC的中線且/ 1 = / 2,/ 3 = / 4,求證：BE + CF > EF證明：在 DA上截取 DN = DB,連結NE、NF，貝U DN = DC 在 BDE和 NDE中，DN = DBBE + CF > EF/ 1 = / 2ED = ED BDE NDE BE = NE同理可證：CF = NF

14、在 EFN 中，EN + FN > EF BE + CF > EF規律22.有以線段中點為端點的線段時，常加倍延長此線段構造全等三角形 例：已知，如圖， AD為 ABC的中線，且/ 1 = / 2,/ 3 = / 4,求證: 證明：延長 ED至U M，使DM = DE，連結 CM、FM BDE 和 CDM 中，ED = MD BDE CDM CM = BE又/ 1 = / 2, / 3 = / 4/ 1 + / 2 +/ 3 + / 4 = 180°3 +/ 2 = 90°即/ EDF 和 MDF 中AFBI*cMEDF = 90°FDM = / ED

15、F = 90°ED = MD/ FDM = / EDFDF = DF EDF MDF EF = MF在 CMF 中，CF + CM > MFBE + CF > EF（此題也可加倍 FD，證法同上）規律23.在二角形中有中線時，常加倍延長中線構造全等二角形 例：已知，如圖， AD為 ABC的中線，求證： AB+ AC>2AD證明：延長 AD至E,使DE = AD，連結BE/ AD為 ABC的中線CE BD = CD在 ACD和 EBD中BD = CD/ 1 = / 2AD = ED ACD EBD/ ABE 中有 AB + BE>AE AB + AC> 2

16、AD規律24.截長補短作輔助線的方法截長法：在較長的線段上截取一條線段等于較短線段； 補短法：延長較短線段和較長線段相等.這兩種方法統稱截長補短法.當已知或求證中涉及到線段 a、b、c、d有下列情況之一時用此種方法: a> b a ±3 = c a ±3 = c±l例：已知，如圖，在 ABC中，AB >AC, / 1 = / 2, P為AD上任一點，求證：AB AC> PB PCAN = AC，連結 PN證明：截長法：在AB上截取在 APN和APC中，AN = AC第6/ 1 = / 2AP = AP APN APC PC = PN / BPN

17、中有 PB PCV BNM PB PCV AB AC補短法： 延長AC至M，使AM = AB,連結PM在ABP和AMP中AB = AM/ 1 = / 2AP = AP ABPN AMP PB = PM又：在 PCM 中有 CM > PM PC AB AC> PB PC練習：1.已知，在 ABC中，/ B = 60o,AD、CE是 ABC的角平分線，并且它們交于點求證：AC = AE+ CD2.已知，如圖， AB / CD / 1 = / 2，/ 3 = / 4. 求證：BC = AB+ CD規律25.證明兩條線段相等的步驟： 觀察要證線段在哪兩個可能全等的三角形中，然后證這兩個三角

18、形全等。 若圖中沒有全等三角形，可以把求證線段用和它相等的線段代換，再證它們所 在的三角形全等. 如果沒有相等的線段代換，可設法作輔助線構造全等三角形.求證：DF = EF例:如圖，已知，BE、CD相交于F，/ B = / C,/ 1 = / 2,證明：/ ADF = / B+/ 3/ AEF = / C+/ 4/ ADF = / AEF 在 ADF和 AEF中/ ADF = / AEFAF = AF ADF AEF DF = EF規律26.在一個圖形中，有多個垂直關系時，常用同角（等角）的余角相等來證明兩個角相 等.例：已知，如圖 Rt ABC中，AB = AC，/ BAC = 90

19、6;,過A作任一條直線 AN,作BD丄AN 于 D, CE丄 AN 于 E,求證：DE = BD CE 證明：/ BAC = 90°, BD 丄 AN1 + / 2 = 90°/ 1 + / 3 = 90°/ BD 丄 ANCE 丄 AN/ BDA =/ AEC = 90°C在 ABD和 CAE中,/ BDA = / AECAB = AC :. ABD CAE BD = AE 且 AD = CE AE AD = BD CE DE = BD CE規律27.三角形一邊的兩端點到這邊的中線所在的直線的距離相等.例：AD為 ABC的中線，且 CF丄AD于F, B

20、E丄AD的延長線于 E求證：BE = CF證明：（略）C規律28.條件不足時延長已知邊構造三角形.例：已知 AC = BD，AD丄AC于A，BCBD于B 求證：AD = BC證明：分別延長 DA、CB交于點E/ AD 丄 ACBC 丄 BD/ CAE = / DBE = 90°在 DBE和 CAE中/ DBE = / CAEBD = AC / E = / E ED = EC, EB = EA ED EA = EC EBEC AD = BC規律29.連接四邊形的對角線，把四邊形問題轉化成三角形來解決問題 例：已知，如圖， AB/ CD, AD / BC求證：AB = CD證明：連結AC

21、 （或BD）/ AB / CD , AD / BC/ 1 = / 2在 ABC和 CDA中,ACAC = CA/ 3 = / 4C AB = CD練習：已知，如圖， AB = DC , AD = BC, DE = BF , 求證：BE = DF規律30.有和角平分線垂直的線段時, 例：已知，如圖，在 RtAABC中,于E求證：證明：通常把這條線段延長。可歸結為AB = AC , / BAC = 90°,/ 1 =角分垂等腰歸”.,CE 丄 BD的延長線BD = 2CE分別延長BA、CE交于/ BE 丄 CF/ BEF = / BEC = 90° 在 BEF和 BEC中/ 1

22、 = / 2BE = BE/ BEF = / BEC BEFN BEC1 CE = FE = CF2/ BAC = 90° , be 丄 CF/ BAC = / CAF = 90°/ 1 + / BDA = 90°/ 1 + / BFC = 90°/ BDA = / BFC在 ABD和 ACF中/ BAC = / CAF/ BDA = / BFCF第12頁共35頁AB = AC ABD ACF BD = CF BD = 2CE練習：已知，如圖，/ ACB = 3 / B，/ 1 = / 2,CD丄AD于D,求證：AB AC = 2CD規律31.當證題有困

23、難時，可結合已知條件，把圖形中的某兩點連接起來構造全等三角形 例：已知，如圖， AC、BD相交于 0,且AB = DC, AC = BD ,求證：/ A = / D證明：（連結BC,過程略）規律32.當證題缺少線段相等的條件時，可取某條線段中點，為證題提供條件 例：已知，如圖，AB = DC，/ A = / D求證：/ ABC = / DCBAD證明：分別取AD、BC中點N、M,連結NB、NM、NC （過程略）規律33.有角平分線時，常過角平分線上的點向角兩邊做垂線，利用角平分線上的點到角兩 邊距離相等證題.例：已知，如圖，/1 = / 2 , P為BN上一點，且 PD丄BC于D, AB+ B

24、C = 2BD,求證：/ BAP + / BCP = 180°證明：過P作PE丄BA于E/ PD 丄 BC,/ 1 = / 2 PE = PD在 RtA BPE 和 Rt BPD 中NBP = BPPE = PD RtA BPE也 RtA BPD BE = BD / AB + BC = 2BD , BC = CD + BD , AB = BE AE AE = CD/ PE丄 BE, PD 丄 BC/ PEB = / PDC = 90°在 PEA和 PDC中PE = PD/ PEB = / PDCAE =CD PEAN PDC/ PCB = / EAP/ BAP + / EA

25、P = 180°/ BAP + / BCP = 180°練習：1.已知，如圖，PA、PC分別是 ABC外角/ MAC與/ NCA的平分線，它們交于 P,PD丄BM于M , PF丄BN于F，求證：BP為/ MBN的平分線2.已知，如圖，在 ABC 中，/ ABC =100°,/ ACB = 20°, CE 是/ ACB 的平分線, D是AC上一點，若/ CBD = 20°，求/ CED的度數。第16頁共35頁規律34.有等腰三角形時常用的輔助線作頂角的平分線，底邊中線，底邊高線 例：已知，如圖， AB = AC，BD丄AC于D,求證：/ BAC

26、= 2 / DBC證明：（方法一）作/ BAC的平分線 AE,交BC于E,則/ 1 = / 2 = - / BAC2又 AB = AC AE 丄 BC/ 2 +/ ACB = 90° BD 丄 AC / DBC + / ACB = 90°/ 2 = / DBC/ BAC = 2/ DBC（方法二）過 A作AE丄BC于E （過程略） （方法三）取 BC中點E,連結AE （過程略）有底邊中點時，常作底邊中線例：已知，如圖， ABC中，AB = AC, D為BC中點，DE丄AB于E, DF丄AC于F , 求證：DE = DF 證明：連結AD.D為BC中點， BD = CD又 AB

27、 =AC AD 平分/ BAC/ DE 丄 AB, DF 丄 AC DE = DF將腰延長一倍，構造直角三角形解題例：已知，如圖， ABC中，AB = AC,在BA延長線和 AC上各取一點 E、F，使AE =AF，求證：EF丄BC證明：延長 BE至U N,使AN = AB,連結CN,則AB = AN = AC/ B = / ACB, / ACN = / ANC/ B +/ ACB + / ACN + / ANC = 180° 2 / BCA + 2 / ACN = 180°/ BCA + / ACN = 90° 即/ BCN = 90° NC 丄 BC/

28、 AE = AF/ AEF = / AFE又/ BAC = / AEF +/ AFE/ BAC = / ACN +/ ANC / BAC =2/ AEF = 2 / ANC/ AEF = / ANC EF / NC EF 丄 BC常過一腰上的某一已知點做另一腰的平行線=CE,連例：已知，如圖，在 ABC中，AB = AC，D在AB 上, E在AC延長線上，且 BD結DE交BC于F求證：DF = EF證明：（證法一）過 D 作 DN / AE,交 BC 于 N，則/ DNB = / ACB, / NDE/ AB = AC,/ B =/ DNBM/ B = / ACB BD = DN又 BD =

29、CE DN = EC在 DNF和 ECF中/ 1 = / 2/ NDF =/ EDN = EC DNF ECF DF = EF（證法二）過 E作EM / AB交BC延長線于 M,則/ EMB =/ B （過程略）常過一腰上的某一已知點做底的平行線例：已知，如圖， ABC中，AB =AC, E在AC 上, D在BA延長線上，且 AD = AE，連 結DEMEND求證：DE丄BC證明：（證法一）過點E作EF / BC交AB于F ,貝U/ AFE =/B/ AEF = / C / AB = AC/ AFE =/ AEF / AD = AE / AED = / ADE又/ AFE + / AEF +

30、/ AED + / ADE = 180° 2 / AEF + 2/AED = 90°即/ FED = 90° DE 丄 FE又 EF / BC DE 丄 BC（證法二）過點 D作DN / BC交CA的延長線于N,（過程略）（證法三）過點 A作AM / BC交DE于M ,（過程略）常將等腰三角形轉化成特殊的等腰三角形-等邊三角形例：已知，如圖， ABC 中，AB = AC, / BAC = 80° ,P 為形內一點，若/ PBC = 10° / PCB = 30° 求/ PAB 的度數.解法一：以AB為一邊作等邊三角形，連結 CE貝BA

31、E = / ABE = 60°AE = AB = BE / AB = AC AE = AC / ABC =/ACB / AEC = / ACE/ EAC = / BAC / BAEOOO=80 60 = 201=10E/ ACE = -(180O/ EAC)= 80O21/ ACB= -(180°/ BAC)= 50O2/ BCE = / ACE / ACB_ _ O ucO _ _ O=80 50 = 30 ./ PCB = 30o / PCB = / BCE./ ABC = / ACB = 50O, / ABE = 60° / EBC = / ABE / AB

32、C = 60O 50O./ PBC = 10O/ PBC = / EBC 在PBC和 EBC中/ PBC = / EBCBC = BC/ PCB = / BCEPBC EBC BP = BE AB = BE AB = BP/ BAP = / BPA/ ABP = / ABC / PBC = 50O 10O = 40。1/ PAB = - (180O/ ABP)= 70o解法二：以AC為一邊作等邊三角形，證法同一。解法三：以BC為一邊作等邊三角形 BCE，連結EB = EC = BC，/ BEC = / EBC = 60O/ EB = ECE E在BC的中垂線上同理A在BC的中垂線上 EA所在的

33、直線是BC的中垂線 EA丄 BC1/ AEB = - / BEC = 30° = / PCB2由解法一知：/ ABC = 50°/ ABE = / EBC-/ ABC = 10° =/ PBC/ ABE = / PBC,BE = BC,/AEB = / PCB:. ABE PBC AB = BP/ BAP = / BPA/ ABP = / ABC-/ PBC = 50°- 10° = 40°1 1/ PAB = - (180°-/ ABP) = -(180° 40°)= 70°規律35.有二倍角

34、時常用的輔助線構造等腰三角形使二倍角是等腰三角形的頂角的外角例：已知，如圖，在 ABC 中，/ 1 = / 2,/ ABC = 2/ C,求證：AB + BD = AC證明：延長AB 至U E, 使 BE = 1則/BED = / BDE/ABD =/ E+/ BDE/ABC =2 / E/ABC =2/ C/E = / C在AED 和 ACD 中/ E=/ C/ 1=/ 2AD :=ADAED ACD AC = AE/ AlE = AB + BE AC = AB+ BE即AB + BD = ACBD,連結DE平分二倍角例：已知，如圖，在 求證： 證明：ABC 中，BD 丄 AC 于 D, /

35、 BAC = 2/ DBC/ ACB的平分線 AE交BC于E,則/ BAE = / CAE =/ ABC = 作/ BAC/ BD 丄 AC/ CBD +/ C = 90°/ CAE + / C= 90°/ AEC= 180°-/ CAE-/ C= 90° AE 丄 BC/ ABC + / BAE = 90°/ CAE + / C= 90°/ BAE = / CAE/ ABC = / ACB/ DBC加倍小角例：已知，如圖，在 求證：/ ABC = 證明：作/ FBDABC 中，BD 丄 AC 于 D, / BAC = 2/ DBC

36、/ ACB=/ DBC,BF交AC于F (過程略)第規律36.有垂直平分線時常把垂直平分線上的點與線段兩端點連結起來.例：已知，如圖， ABC中，AB = AC，/ BAC = 120°, EF為AB的垂直平分線，EF交BC 于F，交AB于E1求證：BF =FC2證明：連結 AF，貝y AF = BF/ B =/ FABAB = ACB =/ CBAC = 120° /B =/C/ BAC = 3 (180°-/ BAC) = 30°FAB = 30°FAC = / BAC-/ FAB = 120° 30° =90°

37、;又/ C = 30°1- AF = -FC21- BF = FC2AD與BC的垂直平分線 DE交于點D,練習：已知，如圖，在 ABC中，/ CAB的平分線DM丄AB于M , DN丄AC延長線于 N 求證：BM = CNN規律37.有垂直時常構造垂直平分線 .例：已知，如圖，在 ABC中，/ B =2/ C, AD丄BC于D 求證：CD = AB+ BD證明：（一）在 CD上截取 DE = DB，連結 AE，貝U AB = AE/ B =/AEB/ B = 2 / C / AEB = 2 / C又/ AEB = / C +/ EAC/ C = / EAC AE = CE又 CD =

38、DE + CE. CD = BD + AB（二）延長 CB至U F，使DF = DC ,連結AF貝U AF =AC （過程略） 規律38.有中點時常構造垂直平分線 .例：已知，如圖，在 ABC 中，BC = 2AB, / ABC = 2/ C,BD = CD求證： ABC為直角三角形證明：過 D作DE丄BC,交AC于E,連結BE，貝U BE = CE,C = / EBC/ ABC = 2/ CABE = / EBC/ BC = 2AB, BD = CD BD = ABAB = BD/ ABE = / EBC在 ABE和 DBE中BE = BE ABEN DBEBAE = / BDE/ BDE

39、= 90°/ BAE = 90°即 ABC為直角三角形規律39.當涉及到線段平方的關系式時常構造直角三角形，利用勾股定理證題 例：已知，如圖，在 ABC中，/ A = 90°, DE為BC的垂直平分線求證：BE2 AE2 = AC2證明：連結 CE,貝y BE = CE/ A = 90° AE2 + AC2 = EC2 AE2 + AC2= be2 BE2 AE2 = AC2P為BC上一點C練習：已知，如圖，在 ABC中，/ BAC = 90°, AB = AC,求證：P B2 + PC2= 2PA2規律40.條件中出現特殊角時常作高把特殊角放

40、在直角三角形中 例：已知，如圖，在 ABC 中，/ B = 45°,/ C = 30°, AB = J2，求 AC 的長.解：過A作AD丄BC于D/ B + / BAD = 90°,/ B = 45°, / B = / BAD = 45°, AD = BD AB2 = AD2 + BD2, AB =血 AD = 1/ C = 30°, AD丄 BC AC = 2AD = 2四邊形部分規律41.平行四邊形的兩鄰邊之和等于平行四邊形周長的一半.例：已知, ABCD的周長為60cm，對角線 AC、BD相交于點 0， AOB的周長比 BOC的

41、 周長多8cm，求這個四邊形各邊長.解：四邊形 ABCD為平行四邊形 AB = CD, AD = CB , AO = CO/ AB + CD + DA + CB = 60AO + AB + OB (OB + BC + OC) = 8 AB + BC = 30, AB BC =8 AB = CD = 19 , BC = AD = 11 答：這個四邊形各邊長分別為19cm、11cm、19cm、11cm.規律42.平行四邊形被對角線分成四個小三角形，相鄰兩個三角形周長之差等于鄰邊之差.(例題如上)規律43.有平行線時常作平行線構造平行四邊形例：已知，如圖，RtA ABC，/ ACB = 90

42、6;, CD丄AB于D, AE平分/ CAB交CD于F，過F 作FH / AB交BC于H 求證：CE = BH 證明：過F作FP / BC交AB于P,則四邊形FPBH為平行四邊形/ B =/ FPA, BH = FP/ ACB = 90°, CD 丄 AB/ 5 +/ CAB = 45°,/ B +/ CAB = 90°/ 5 = / B/ 5 = / FPA又/ 1 =/ 2, AF = AF CAF PAF CF = FP/ 4 = / 1 + / 5,/ 3 = / 2+/ B/ 3 = / 4 CF = CE CE = BH練習：已知，如圖， AB / E

43、F / GH , BE = GCC求證：AB = EF + GH規律44.有以平行四邊形一邊中點為端點的線段時常延長此線段 例：已知，如圖，在 ABCD中，AB = 2BC , M為AB中點求證：CM丄DM證明：延長DM、CB交于N四邊形ABCD為平行四邊形=/ N AD = BC, AD / BC/ A = / NBA/ ADN又 AM = BM AMD N BMN AD = BNMN BN = BC/ AB = 2BC, BM = BC =/ 1 = / 2,AM = BMBN/ 3 = / N第23頁共35頁/ 1 + / 2+/ 3+/ N = 180°,/ 1 + / 3

44、= 90° CM 丄 DM規律45.平行四邊形對角線的交點到一組對邊距離相等如圖：OE = OF規律46.平行四邊形一邊（或這邊所在的直線）上的任意一點與對邊的兩個端點的連線所構成的三角形的面積等于平行四邊形面積的一半1如圖： a BEC = SDABCD2規律47.平行四邊形內任意一點與四個頂點的連線所構成的四個三角形中，不相鄰的兩個三 角形的面積之和等于平行四邊形面積的一半1如圖： 0 AOB + DOC = BOC + AOD =匕 ABCD2AO2 + OC2 = BO2 + DO2規律48.任意一點與同一平面內的矩形各點的連線中，不相鄰的兩條線段的平方和相等 如圖：規律如圖

45、:49.平行四邊形四個內角平分線所圍成的四邊形 為矩形.四邊形GHMN是矩形D（規律45規律49請同學們自己證明）規律50.有垂直時可作垂線構造矩形或平行線.例：已知，如圖， E為矩形ABCD的邊AD上一點，且 BE = ED, P為對角線BD上一點,PF丄BE于F, PG丄AD于G求證：PF+PG = AB證明：證法一：過 P作PH丄AB于H , AH = GP PH / AD/ ADB =/ HPB則四邊形AHPG為矩形/ BE = DE/ EBD = / ADB/ HPB =/ EBD又/ PFB = / BHP = 90° PFB BHPD HB = FP AH + HB =

46、 PG+PF即 AB = PG+PF證法二：延長 GP交BC于N，則四邊形 ABNG為矩形，（證明略） 規律51.直角三角形常用輔助線方法：作斜邊上的高例：已知，如圖，若從矩形ABCD的頂點C作對角線BD 求證：AC = CE證明：過A作AF丄BD，垂足為F，貝U AF / EG/ FAE = / AEG四邊形ABCD為矩形/ BAD = 90° OA = OD/ BDA =/ CAD/ AF 丄 BD/ ABD + / ADB = / ABD + / BAF =/ BAF = / ADB = / CAD AE為/ BAD的平分線的垂線與/ BAD的平分線交于點/BAE = / DA

47、E/BAE-/ BAF即/FAE = / CAE/CAE =/AEG AC = EC=/ DAE-/ DAC作斜邊中線，當有下列情況時常作斜邊中線： 有斜邊中點時例：已知，如圖， AD、BE是 ABC的高，F是DE的 是AB的中點求證：GF丄DE證明：連結GE、GD/ AD、BE是 ABC的高，G是AB的中點1- GE = - AB, GD2 GE = GD F是DE的中點 GF 丄 DE 有和斜邊倍分關系的線段時1-AB2C例：已知，如圖，在 ABC中,D是BC延長線上一點，且DA 丄 BA 于 A, AC =中占I 八、51BD2求證：/ ACB = 2 / B證明：取BD中點E,連結AE

48、，貝U AE = BE = - BD2第25頁共35頁/ 1 = / B1/ AC = -BD2 AC = AE/ ACB =/ 2/ 2 = / 1 + / B / 2 = 2/ B/ ACB = 2/ B規律52.正方形一條對角線上一點到另一條對角線上的兩端距離相等.例：已知，如圖，過正方形 ABCD對角線BD上一點P,作PE丄BC于E,作PF丄CD于求證：AP = EF證明：連結AC、PC四邊形ABCD為正方形 BD 垂直平分 AC, / BCD = 90° AP = CP/ PE丄 BC, PF 丄CD，/ BCD = 90°四邊形PECF為矩形 PC = EF A

49、P = EF規律53.有正方形一邊中點時常取另一邊中點.例：已知，如圖，正方形 ABCD中，M為AB的中點,MN 丄 MD ,BN平分/ CBE并交MN于N求證：MD = MN1證明：取 AD的中點P,連結PM,貝U DP = PA =AD2四邊形ABCD為正方形 AD = AB, / A =/ABC = 90°/ 1 + / AMD = 90°，又 DM 丄 MN/ 2 +/ AMD = 90°/ 1 = / 2 M為AB中點1 AM = MB = - AB2 DP = MB AP = AM/ APM = / AMP = 45°/ DPM =135&#

50、176;/ BN 平分/ CBE/ CBN = 45°/ MBN = / MBC + / CBN = 90° + 45°= 135° 即/ DPM = / MBN DPM N MBN DM = MN注意：把M改為AB上任一點，其它條件不變，結論仍然成立。 練習：已知，Q為正方形ABCD的CD邊的中點，求證：/ BAP = 2 / QADP 為 CQ 上一點，且 AP = PC + BCC規律54.利用正方形進行旋轉變換可以把圖形的某部分繞相等鄰邊的旋轉變換就是當圖形具有鄰邊相等這一特征時， 公共端點旋轉到另一位置的引輔助線方法旋轉變換主要用途是把分散元素通過旋轉集中起來，從而為證題創造必要的條件 旋轉變換經常用于等腰三角形、等邊三角形及正方形中.例：已知，如圖，在 ABC中，AB = AC，/ BAC = 90°, D為BC邊上任一點求證：2AD2 = BD2 + CD2證明：把 ABD繞點A逆時針旋轉90°得 ACE BD = CE / B = / ACE/ BAC = 90°E/ DAE = 90° DE2 = AD2 + AE2 = 2AD2/ B+/ ACB = 90°/ DC