1、2015年普通高等學校招生全國統一考試（四川卷）數學（理科）第卷（共50分）一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的（1）【2015年四川，理1】設集合，集合，則（ ）（A）（B）（C）（D）【答案】A【解析】，故選A（2）【2015年四川，理2】設是虛數單位，則復數（ ）（A）（B） （C） （D）【答案】C【解析】，故選C（3）【2015年四川，理3】執行如圖所示的程序框圖，輸出的值是（ ）（A）（B）（C）（D）【答案】D【解析】易得當時時執行的是否，當時就執行是的步驟，所以，故選D（4）【2015年四川，理4】下列函數中，最小正周期為

2、且圖象關于原點對稱的函數是（ ）（A）（B）（C）（D）【答案】A【解析】顯然對于A，為關于原點對稱，且最小正周期是，符合題意，故選A（5）【2015年四川，理5】過雙曲線的右焦點且與軸垂直的直線，交該雙曲線的兩條漸近線于，兩點，則（ ）（A）（B）（C）6（D）【答案】D【解析】由題意可知雙曲線的漸近線方程為，且右焦點，則直線與兩條漸近線的交點分別為，故選D（6）【2015年四川，理6】用數字0，1，2，3，4，5組成沒有重復數字的五位數，其中比40000大的偶數共有（ ）（A）144個（B）120個（C）96個（D）72個【答案】B【解析】這里大于40000的數可以分兩類：當5在萬位時，個

3、位可以排0、2、4三個數中的一個，十位百位和千位沒有限制有種；當4在萬位時，個位可以排0、2兩個數中的一個，十位百位和千位沒有限制，有種，綜上所述：總共有72+48=120種，故選B（7）【2015年四川，理7】設四邊形 為平行四邊形，若點，滿足，則（ ）（A）20（B）15（C）9（D）6【答案】C【解析】這里可以采用最快速的方法，把平行四邊形矩形化，因此，過建立直角坐標系，可得到，故選C（8）【2015年四川，理8】設，都是不等于1的正數，則“”是“”的（ ）（A）充要條件 （B）充分不必要條件（C）必要不充分條件 （D）既不充分也不必要條件【答案】B【解析】由已知條件可得當時，即“”是“

4、”的充分條件然而取則，滿足，卻不滿足“”是“”的不必要條件綜上“”是“”的充分不必要條件，故選B（9）【2015年四川，理9】如果函數在區間單調遞減，則的最大值為（ ）（A）16 （B）18（C）25（D）【答案】B【解析】，由于單調遞減得：，在上恒成立設，則一次函數在上為非正數只須在兩個端點處和即可即，由得：當且僅當時取到最大值經驗證，滿足條件和，故選B（10）【2015年四川，理10】設直線與拋物線相交于，兩點，與圓相切于點，且為線段的中點若這樣的直線恰有4條，則的取值范圍是（ ）（A）（B）（C）（D）【答案】D【解析】設，則，兩式相減，得：，當直線的斜率不存在時，顯然符合條件的直線有兩

5、條當直線的斜率存在時，可得：，又，由于在拋物線的內部，因此，故選D第II卷（共100分）二、填空題：本大題共5小題，每小題5分（11）【2015年四川，理11】在的展開式中，含的項的系數是【答案】-40【解析】由題意可知的系數為：（12）【2015年四川，理12】的值是【答案】【解析】（13）【2015年四川，理13】某食品的保鮮時間（單位：小時）與儲藏溫度（單位：）滿足函數關系（為自然對數的底數，為常數）若該食品在的保鮮時間是192小時，在的保鮮時間是48小時，則該食品在的保鮮時間是_小時【答案】24【解析】，當時，（14）【2015年四川，理14】如圖，四邊形和均為正方形，它們所在的平面相

6、互垂直，動點在線段上，分別為，中點，設異面直線與所成的角為，則的最大值為【答案】【解析】以為軸，為軸，為軸建立空間直角坐標系，并設正方形邊長為，則，令，從而（15）【2015年四川，理15】已知函數，(其中)對于不相等的實數，設，現有如下命題：(1) 對于任意不相等的實數，都有；(2) 對于任意的及任意不相等的實數，都有；(3) 對于任意的，存在不相等的實數，使得；(4) 對于任意的，存在不相等的實數，使得其中的真命題有_（寫出所有真命題的序號）【答案】(1) (4)【解析】(1)設，,函數是增函數，則=0，所以正確；(2)設，則，不妨我們設，則，矛盾，所以(2)錯(3)，由(1)(2)可得：

7、，化簡得到，也即，令，即對于任意的函數在定義域范圍內存在有兩個不相等的實數根，則，顯然當時，恒成立，即單調遞增，最多與x軸有一個交點，不滿足題意，所以錯誤(4)同理可得，設，即對于任意的函數在定義域范圍內存在有兩個不相等的實數根，從而不是恒為單調函數，恒成立，單調遞增，又時，時，所以為先減后增的函數，滿足要求，所以正確三、解答題：本大題共6題，共75分（16）【2015年四川，理16】（本小題滿分12分）設數列的前項和，且，成等差數列（）求數列的通項公式；（）記數列的前項和，求得使成立的的最小值解：（）當時有，則，數列是以為首項，2為公比的等比數列又由題意得，（）由題意得，則，又，即成立時，的

8、最小值為（17）【2015年四川，理17】（本小題滿分12分）某市，兩所中學的學生組隊參加辯論賽，中學推薦3名男生，2名女生，中學推薦了3名男生，4名女生，兩校推薦的學生一起參加集訓，由于集訓后隊員的水平相當，從參加集訓的男生中隨機抽取3人，女生中隨機抽取3人組成代表隊（）求中學至少有1名學生入選代表隊的概率；（）某場比賽前，從代表隊的6名隊員中隨機抽取4人參賽，設X表示參賽的男生人數，求X得分布列和數學期望解：（）設事件表示“中學至少有1名學生入選代表隊”，可以采用反面求解：（）由題意，知，；因此的分布列為：期望為：（18）【2015年四川，理18】（本小題滿分12分）一個正方體的平面展開圖

9、及該正方體的直觀圖的示意圖如圖所示，在正方體中，設的中點為，的中點為（）請將字母標記在正方體相應的頂點處（不需說明理由）；（）證明：直線平面；（）求二面角的余弦值解：（）如下圖所示：（）如答圖所示，連接，相交于點，連接、分別為線段、的中點，且四邊形為平行四邊形，又平面，平面（）連接，過點作于點，過點作于點，連接，由三垂線定理可得，為二面角的平面角，設正方體棱長為，則，所以，所以，所以，即二面角的余弦值為（19）【2015年四川，理19】（本小題滿分12分）如圖，為平面四邊形的四個內角（）證明：；（）若，求解：（）證明：（），同理可得，連接，設，在和中分別利用余弦定理及可得：，即，解得，從而得，

10、同理可得，（20）【2015年四川，理20】（本小題滿分13分）如圖，橢圓的離心率是，過點的動直線與橢圓相交于兩點當直線平行于軸時，直線被橢圓截得的線段長為（）球橢圓的方程；（）在平面直角坐標系中，是否存在與點不同的定點，使得恒成立？若存在，求出點的坐標；若不存在，請說明理由解：（）由題知橢圓過點因此可得：，解得：，橢圓E的方程為：（）假設存在滿足題意的定點當直線平行于軸時，則，兩點關于軸對稱，點在軸上不妨設，當直線垂直于軸時，解得或（舍去，否則點就是點），點的坐標為下面我們證明對于一般的直線，也滿足題意，由角平分線定理可知，軸為的角平分線所以設，則，聯立：，消去可得，由韋達定理可得，兩式相加得，即，從而，假設成立，即存在與點不同的定點，使得恒成立（21）【2015年四川，理21】（本題滿分14分）已知函數，其中（）設是的導函數，討論的單調性；（）證明：存在，使得在區間內恒成立，且在區間內有唯一解解：（），求導可得，即，對于多項式，（1）當，即時，恒成立此時，恒成立，所以恒單調遞增（2）當時，一元二次方程有兩個實數根，設為那么求根可得：，令，即，解得：，所以在，時單調遞增令，即，解得：，所以在，時單調遞減綜上所述：當時，在上單調遞增當時，在上單調遞增，上單調遞減（），由（）可知在內單調遞增又時，當時，顯然而在是單調遞增的，因此在內必