1、例談運用構造法證明不等式在我們的學習過程中，常遇到一些不等式的證明，看似簡單，但卻無從下手，很難找到切入點，幾種常用證法一一嘗試，均難以湊效。這時我們不妨變換一下思維角度，從不等式的結構和特點出發，在已學過的知識的基礎上進行廣泛的聯想，構造一個與不等式相關的數學模型，實現問題的轉化，從而使不等式得到證明。下面通過舉例加以說明。一、構造向量證明不等式例1：證明，并指出等號成立的條件。簡析與證明：不等式左邊可看成與 x 和與兩兩乘積的和，從而聯想到數量積的坐標表示，將左邊看成向量a=(,)與b=( x, )的數量積，又a·b |a|·|b| ，所以 當且僅當b=a (>0

2、)時等號成立，故由得：x=,=1，即 x =時，等號成立。 例2：求證：簡析與證明：不等式左邊的特點，使我們容易聯想到空間向量模的坐標表示，將左邊看成a =(1y , x+y3 , 2x+y6)模的平方，又 |a|·|b|a·b ,為使 a·b為常數，根據待定系數法又可構造 b= (1 , 2 ，-1) 于是|a|·|b|=a·b所以即二、構造復數證明不等式例3、求證：簡析與證明：從不等式左邊的結構特點容易聯想到復數的模，將左邊看成復數Z1=x+y i , Z2 = x +（1 y）i ，Z3 = 1 x + y i ，Z4 = 1 x +（1

3、 y）i 模的和，又注意到Z1Z2Z3Z422 i ，于是由 可得此題也可構造向量來證明。三、構造幾何圖形證明不等式例4：已知：a>0、b>0、c>0 ,求證：當且僅當時取等號。簡析與證明：從三個根式的結構特點容易聯想到余弦定理，于是可構造如下圖形：作OAa，OBb，OCc，AOB=BOC=60° 如圖（1）則AOC120°，AB=，BC=,AC= 由幾何知識可知：ABBCAC+圖（1）當且僅當A、B、C三點共線時等號成立，此時有，即ab+bc=ac故當且僅當時取等號。四、構造橢圓證明不等式例5：求證：簡析與證明：的結構特點，使我們聯想到橢圓方程及數形結合

4、思想。圖（2）于是令 ，則其圖象是橢圓的上半部分，設y-2x=m，于是只需證, 因 m為直線y=2xm在y軸上的截距，由圖（2）可知：當直線 y = 2 xm 過點（，0）時，m有最小值為m=；當直線y =2xm與橢圓上半部分相切時，m有最大值。由 得：13x2 + 4mx + m2 4 = 0令= 4（529m2）=0 得：或（舍）即m的最大值為，故，即五、構造方程證明不等式例6：設 a1、a2、an 為任意正數，證明對任意正整數n不等式(a1 + a2 + + an)2 n ( a12 + a22 + + an2 )均成立簡析與證明：原不等式即為 4 (a1 + a2 + + an)24n

5、 ( a12 + a22 + + an2 ) 0由此聯想到根的判別式而構造一元二次方程：( a12 + a22 + + an2 ) x 2 + 2 (a1 + a2 + + an ) x + n=0（）因方程左邊 (a1 x + 1)2 + (a2 x + 1)2 + (an x + 1)2 0當a1、a2、an不全相等時，a1 x+1、a2 x+1、an x+1至少有一個不為0，方程（）左邊恒為正數，方程（）顯然無解。當a1a2an 時，方程（）有唯一解 x故4 ( a1 + a2 + + an )2 4n ( a12 + a22 + + an2 ) 0即(a1 + a2 + +an )2

6、n ( a12 + a22 + + an2 ) 對任意正整數n均成立六、構造數列證明不等式例7：求證：Cn1+Cn2+Cnn > 簡析與證明：不等式左邊即為 2n 1=從而聯想到等比數列的求和公式，于是左邊=1+2+22+ 2 n1=(1+2n-1) + (2+2n-2) + (2n-1+1)·n·=例8：設任意實數a、b均滿足| a | < 1，| b | < 1求證：簡析與證明：不等式中各分式的結構特點與題設聯想到無窮等比數列（| q | < 1）各項和公式S，則：=（1 + a2 + a4 + ）+（1 + b2 + b4 + ）=2+（a2

7、+ b2）+ ( a4 + b4) + 2+2ab+2 a2 b2 + 2a4b4 + = 七、構造函數證明不等式例9：已知| a | < 1，| b | < 1，| c | < 1 ，求證：abbcca1簡析與證明：原不等式即為：（bc）abc1>0將a看作自變量，于是問題轉化為只須證：當1a1時，（bc）abc1恒為正數。因而可構造函數 f ( a ) = ( b + c ) a + bc +1 (1a1)若b + c = 0原不等式顯然成立。若b + c 0，則f ( a ) 是a的一次函數，f ( a ) 在（1,1）上為單調函數而 f ( -1 ) = b c

8、 + bc +1（1b）（1c）0 f ( 1 )bcbc1（1b）（1c）0f ( a ) 0即abbcca1此題還可由題設構造不等式（1a）（1b）（1c）0（1a）（1b）（1c）0兩式相加得：22（abbcca）0即abbcca1八、構造對偶式證明不等式例10：對任意自然數n，求證：(1+1)(1+)(1+) > 簡析與證明：設an = (1+1)(1+)(1+) = ···構造對偶式：bn = ···，cn = ···，即an > bn，an > cn> an bn cnan > ，即：(1+1)(1+)(1+) > 小結：從以上幾例還可以看出：（1）構造法不僅是證明不等式的重要