1、幾何圖形的設計與構造涉及比例與整數分解，需要添加輔助線、尋找規律或利用對稱性解的較為復雜的直線形和圓的周長與面積計算問題 1今有9盆花要在平地上擺成9行，其中每盆花都有3行通過，而且每行都通過3盆花請你給出一種設計方案，畫圖時用點表示花，用直線表示行.【分析與解】 如下圖所示，我們給出四種不同的排法 2已知如圖12-1，一個六邊形的6個內角都是120°，其連續四邊的長依次是1、9、9、5厘米求這個六邊形的周長 【分析與解】 如下圖所示，將六邊形的六條邊分別延長，相交至三點，并將其標上字母， 因為BAF=120°，而么IAF=180°-BAF=60°又EF

2、A=120°，而IFA=180°-EFA：60°，則IAF為等邊三角形 同理BCG、EHD、IGH均為等邊三角形 在IAF中，有IA=IF=AF=9(厘米)， 在BGC中，有BG=GC=BC=1(厘米)，有IA+AB+BG=IG=9+9+1=19，即為大正三角形的邊長，所以有IG=IH=GH=19(厘米) 則EH=IH-IF-FE=19-9-5=5(厘米)，在EDH中，DH=EH=5(厘米)，所以CD=GH-GC-DH=19-1-5=13(厘米)于是，原圖中六邊形的周長為1+9+9+5+5+13=42(厘米)3圖12-2中共有16條線段，每兩條相鄰的線段都是互相垂

3、直的為了計算出這個圖形的周長，最少要量出多少條線段的長度?【分析與解】 如下圖所示，我們想像某只昆蟲繞圖形爬行一周，回到原出發點，那么往右的路程等于往左的路程，往上的路程等于往下的路程于是只用量出往右的路程，往下的路程，再將它們的和乘以2即為所求的周長所以，最少的量出下列6段即可 4將圖12-3中的三角形紙片沿虛線折疊得到圖12-4，其中的粗實線圖形面積與原三角形面積之比為2：3已知圖12-4中3個畫陰影的三角形面積之和為1，那么重疊部分的面積為多少? 【分析與解】設重疊部分的面積為x，則原三角形面積為1+2x，粗實線的面棚為1+x.因此(1+2x)：(1+x)=3：2，解得x=1，即重疊部分

4、面積為1 5如圖12-5，涂陰影部分的小正六角星形面積是16平方厘米問：大正六角星形的面積是多少平方厘米?【分析與解】 如下圖所示，在正六邊形ABCDEF中,與面積相等，12個組成小正六角星形，那么由6個及12個組成的正六邊形的面積為16÷12×(12+6)=24(平方厘米)而通過下圖，我們知道，正六邊形ABCDEF可以分成6個小正三角形，并且它們面積相等，且與六個角的面積相等，所以大正六角星形的積為24÷6×12=48(平方厘米) 6如圖12-6所示，在三角形ABC中，DC=3BD，DE=EA若三角形ABC的面積是1則陰影部分的面積是多少? 【分析與解

5、】 ABC、ADC同高，所以底的比等于面積比，那么有而E為AD中點，所以連接FD，DFE、FAE面積相等，設則的面積也為x，而，解得.所以，陰影部分面積為7如圖12-7，P是三角形ABC內一點，DE平行于AB，FG平行于BC，HI平行于CA，四邊形AIPD的面積是12，四邊形PGCH的面積是15，四邊形BEPF的面積是20那么三角形ABC的面積是多少?【分析與解】 有平行四邊形AIPD與平行四邊形PGCH的面積比為IP與PH的比，即為12：15=4：5 同理有FP:PG=20:15=4:3， DP:PE=12:20=3:5如圖12-7(a)，連接PC、HD，有PHC的面積為DPH與PHC同底P

6、H，同高，所以面積相等，即，而DPH與EPH的高相等，所以底的比即為面積的比，有，所以如圖12-7(b)所示，連接FH、BP，如圖12-7(c)所示，連接FD、AP， 有 8如圖12-8，長方形的面積是小于100的整數，它的內部有三個邊長是整數的正方形，號正方形的邊長是長方形長的，號正方形的邊長是長方形寬的那么，圖中陰影部分的面積是多少?【分析與解】 有號正方形的邊長為長方形長的，則圖中未標號的正方形的邊長為長方形長的. 而號正方形的邊長為寬的，所以未標號的正方形的邊長為長方形寬的. 所以在長方形中有：長=寬，則長：寬=12：8，不妨設長的為12k，寬為8k，則號正方形的邊長為5k，又是整數，

7、所以k為整數，有長方形的面積為96,不大于100所以k只能為1，即長方形的長為12，寬為8 于是，圖中號正方形的邊長為5，號正方形的邊長為1，則未標號的正方形的邊長為7，所以剩余的陰影部分的面積為： 9如圖12-9，三個一樣大小的正方形放在一個長方形的盒內，A和B是兩個正方形重疊部分，C，D，E是空出的部分，這些部分都是長方形，它們的面積比是A：B：C：D：E=1：2：3：4：5那么這個長方形的長與寬之比是多少?【分析與解】 以下用表示E部分橫向的長度，豎表示E部分豎向的長度，其他下標意義類似有：=5：4，：=l：2而+=+，所以有：=5：4：1：2而+=+對應為5+1=6，那么對應為3而A面

8、積：B面積：C面積=1：2：3，所以=有+豎對應為6，所以=對應為3那么長方形的豎邊為6+對應為9，長方形橫邊為+6+對應為5+6+4=15所以長方形的長與寬的比為15：9=5：3 10如圖12-10，紅、黃、綠三塊大小一樣的正方形紙片，放在一個正方形盒內，它們之間互相疊合已知露在外面的部分中，紅色的面積是20，黃色的面積是14，綠色的面積是lO那么，正方形盒子的底面積是多少?【分析與解】 如下圖所示，我們將黃色的正方形紙片向左推向紙盒的過緣，有露在外面的部分，黃色減少的面積等于綠色增加的面積，也就是說黃色、綠色部分露在外面部分的面積和不變 并且有變化后，黃色露出面積+紅色部分面積，綠色露出面

9、積+紅色部分面積，都是小正方形紙片邊長乘以大正方形盒子邊長的積 所以，黃色露出面積+紅色部分面積=綠色露出面積+紅色部分面積，于是黃色露出面積=綠色露出面積，而它們的和為14+10=24，即黃色露出面積=綠色露出面積=12 有黃：空白=紅：綠，12：空白=20：12，解得空白=7.2，所以整個正方形紙盒的底面積為12+7.2+20+12=51.2 11如圖12-11，在長260厘米，寬150厘米的臺球桌上，有6個球袋A，B，C，D，E，F，其中AB=EF=130厘米現在從4處沿45°方向打出一球，碰到桌邊后又沿45°方向彈出，當再碰到桌邊時，仍沿45°方向彈出，如

10、此繼續下去假如球可以一直運動，直至落入某個球袋中為止，那么它將落人哪個袋中? 【分析與解】 將每個點的位置用一組數來表示，前一個數是這個點到FA的距離，后一個數是點到FD的距離，于是A的位置為(0，150)，球經過的路線為： (0,150)(150,0) (260,110) (220，150) (70，0) (0，70) (80，150) (230,0) (260，30) (140，150) (0，10) (10，0) (160，150) (260，50) (210,0) (60，150) (0，90) (90，0) (240，150) (260，130) (130，0) 因此，該球最后落入E

11、袋 12長方形ABCD是一個彈子盤，四角有洞彈子從A出發，路線與邊成45度角，撞到邊界即反彈，并一直按此規律運動，直到落人一個洞內為止如圖12-12當AB=4，AD=3時，彈子最后落入B洞問：若AB=1995，AD=1994時，彈子最后落入哪個洞?在落入洞之前，撞擊BC邊多少次?【分析與解】撞擊AD邊的點，每次由A向D移動2；撞擊BC邊的點，每次由C向B移動2 因為第一次撞擊BC邊的點距C點1，第一次撞擊AB邊的點距A點為2，1994÷2=997 所以最后落人D洞，在此之前撞擊BC邊997次1310個一樣大的圓擺成如圖12-13所示的形狀過圖中所示兩個圓心A，B作直線，那么直線右上方

12、圓內圖形面積總和與直線左下圓內圖形面積總和的比是多少?【分析與解】直線AB的右上方的有2個完整的圓，2個半圓，1個1個而1個1個正好組成一個完整的圓，即共有4個完整的圓 那么直線AB的左下方有10-4=6個完整的圓，每個圓的面積相等，所以直線右上方圓內圖形面積總和與直線左下圓內圖形面積總和的比是4：6=2：3 14在圖12-14中，一個圓的圓心是0，半徑r=9厘米，1=2=15°.那么陰影部分的面積是多少平方厘米?(取3.14)【分析與解】有AO=OB，所以AOB 為等腰三角形，AO=OC，所以AOC為等腰三角形.ABO=1=15°，AOB=180°-1-ABO=150°.ACO=2=15°,AOC=180°-2-A