1、不等式的介紹與拓展不等式是高等數(shù)學(xué)中的一個重要工具。運用它可以對變量之間的大小關(guān)系進行估計，并且一些重要的不等式在現(xiàn)代數(shù)學(xué)的研究中發(fā)揮著重要作用。這里首先介紹幾個常用的不等式，然后再介紹證明不等式的一些方法。一、 幾個重要的不等式1平均值不等式 設(shè)非負，令（當(dāng)r<0且至少有一時，令），稱是r次冪平均值，A是算數(shù)平均值，H是調(diào)和平均值，G是幾何平均值，則有，等式成立的充要條件是；一般的，如果s>0，t<0，則有，等式成立的充要條件是。2赫爾德（Holder）不等式 設(shè)，且，則，等式成立的充要條件是。3柯西-許瓦茲（Cauchy-Schwarz）不等式 設(shè)為實數(shù)，則。4麥克夫斯基

2、(Minkowsk)不等式 設(shè)，則，等式成立的充要條件是。5貝努里（Bernoulli）不等式 設(shè)x>-1，那么當(dāng)0<a<1時，有，當(dāng)a<0或a>1時，有，等式成立的充要條件是x=0。6有關(guān)e的不等式 （1）， （2）， （3） 二、證明不等式的方法1利用求導(dǎo)法證明不等式（1）利用單調(diào)性例. 求證當(dāng)時，。證明：令，則f在上連續(xù)，且，令，則當(dāng)時，因此h在上嚴格遞減，又因為h(0)=0，故對任意，有h(x)<0，由此即知對任意，有，故f在上嚴格遞減，故對任意，有，即，證畢。（2）利用最值例. 設(shè)，且，則，且等式成立當(dāng)且僅當(dāng)a=b。證明：令，則， 由此即知，當(dāng)0&

3、lt;x<1時，當(dāng)x>1時， 因此， 故當(dāng)x>0時，（*），且等式成立當(dāng)且僅當(dāng)x=1。 令，代入(*)式即可得，且等式成立當(dāng)且僅當(dāng)x=1,即a=b。證畢。（3）利用中值定理例. 設(shè)f在0，c上可導(dǎo)，且導(dǎo)函數(shù)單調(diào)下降，又f(0)=0，試證當(dāng)時，有。證明：由中值定理知：，其中； ，其中，由單調(diào)下降知：，再由a>0知，即。證畢。例.若函數(shù)f(x)是0，1上的二階導(dǎo)函數(shù)連續(xù)的函數(shù)，f(0)=f(1)=0，且，證明：。 證明：由題意知f(x)在(0,1)上同號，不妨設(shè)f(x)>0， 又因為f(0)=f(1)=0，由連續(xù)函數(shù)性質(zhì)知， 在上分別用拉格朗日中值定理，使得 ，從而有

4、 ， 證畢。（4）利用凸函數(shù)例. 設(shè)，且，則。證明：由于lnx是上凸函數(shù)，故， 故。證畢。（5）利用Taylor公式（級數(shù)）來證明例. 設(shè)，u(t)是任意的連續(xù)函數(shù)，求證：當(dāng)a>0時，有。證明：因為, 取x=u(t)，則有， 所以。證畢。（6）利用已知的不等式例. 設(shè)f連續(xù)可微，f(1)-f(0)=1，求證。證明：, 由此即得。證畢。2 利用積分證明不等式（1） 利用分部積分和換元積分法估計積分值例. 證明 證明：將原式記為I，則 因為在上，又，所以，但是不恒等于0，故>0，證畢。（2） 構(gòu)造積分進行證明例. 若函數(shù)f(x)是0，1上的二階導(dǎo)函數(shù)連續(xù)的函數(shù)，且，證明：。證明：反證法

5、：若對，則對有 ，矛盾，故假設(shè)不成立。（3）利用積分的單調(diào)性例. 證明不等式。證明：令， 則， 令， 則， 故g在上嚴格上升，因此對任意的， 有，由此即知，對任意的，有， 故f在上嚴格上升，因此對任意的，有，即，因此。 證畢。例. 設(shè)函數(shù)f(x)在0，1上可導(dǎo)，且當(dāng)時，有，證明：證明：方法一、只需證明。 令，則，因為，所以f(x)嚴格單調(diào)上升，且f(x)>f(0)=0，令，則，所以G(t)是嚴格單調(diào)上升的，又G(0)=0，故，所以，F(xiàn)(t)嚴格單調(diào)上升，所以F(1)>F(0)=0，即。 證畢。 方法二、因為，所以f嚴格單調(diào)上升，從而對任意的1>x>0,有f(x)>

6、0,令，由柯西中值定理，有 即。 證畢。3 利用配方法證明不等式要證，若a-b能表示成完全平方，或者a-b能表示成有限個完全平方的和，則例. 求證，等式成立的充要條件是。證明：且等式成立的充要條件是，即。證畢。4 利用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式例. 設(shè)，試證。證明：利用如下命題：設(shè)，且b,d為正數(shù)，則來證明。 當(dāng)n=1時顯然成立。 設(shè)當(dāng)n=k時成立，那么當(dāng)n=k+1時，令，則由歸納假設(shè)知，于是由命題知同樣可證即當(dāng)n=k+1時結(jié)論成立。證畢。5 利用正定或非負二次型證明不等式證明一個正定或非負二次型，使其判別式所滿足的條件為所證明的不等式。例. 求證，等式成立的充要條件是。證明：令，則 由,知。易知等式成立的充要條件是f有實根a，即f(a)=0，亦即。證畢。6雜例例. 證明不等式。證明：顯然當(dāng)時，不等式成立。 令，易知， 令，易知，因此g在上嚴格增加，又因為g(0)=0，故當(dāng)時，g(x)>0，從而當(dāng)時，因此，f在上嚴格增加，而f(0)=0，故當(dāng)時，即有。證畢。例. 當(dāng)時，試證。證明：令， 對任意，由， 解得。 易知，當(dāng)時，；當(dāng)時，由此即知，當(dāng)時，f對固定的y取最大值。 對任意，由， 解得。 易知，當(dāng)時，；當(dāng)時，由此即知，當(dāng)時，f對固定的x取最