1、湖北省公安縣博雅高三數學二輪復習 第30課時應用題的解法（1） 高考趨勢應用題歷來為高考的常考題型之一，多以函數、導數、數列、不等式、三角等為載體，旨在考查學生所學數學知識在實際問題中的應用能力，同時也考查了學生分析、探究、轉化、運算等諸多方面的能力。一 基礎再現1. 某商品進貨單價為40元，若按50元一個銷售，則能賣出50個；若銷售單價每漲1元，則銷售量就減少一個。為了獲得最大利潤，則該商品的最佳售價為 70 元2. 汽車在隧道內行駛時，安全車距正比于車速的平方與車身長（m）的積，且安全車距不得小于半個身長，假設車身長約為4m，車速為60km/h，安全車距為1.44個車身長寫出d與v之間的函

2、數關系式： 3. 本小題滿分14分）某租賃公司擁有汽車100輛. 當每輛車的月租金為3000元時，可全部租出. 當每輛車的月租金每增加50元時，未租出的車將會增加一輛. 租出的車每輛每月需要維護費200元. （）當每輛車的月租金定為3600元時，能租出多少輛車？ （）當每輛車的月租金定為多少元時，租賃公司的月收益最大？最大月收益是多少元？二范例剖析例1運貨卡車以每小時千米的速度勻速行駛130千米假設汽油的價格是每升2元，而汽車每小時耗油升，司機的工資是每小時14元.（1）求這次行車總費用關于的表達式；（2）當為何值時，這次行車的總費用最低，并求出最低費用的值解：此題較為簡單，略。例2. 甲、乙

3、兩地相距S千米，汽車從甲地勻速行駛到乙地，速度不得超過c千米時，已知汽車每小時的運輸成本(以元為單位)由可變部分和固定部分組成：可變部分與速度 v(千米時)的平方成正比，比例系數為b；固定部分為a元. 把全程運輸成本y(元)表示為速度v(千米時)的函數，并指出函數的定義域； 為了使全程運輸成本最小，汽車應以多大速度行駛？ 解：(讀題)由主要關系：運輸總成本每小時運輸成本時間，(建模)有y(abv)(解題)所以全程運輸成本y(元)表示為速度v(千米時)的函數關系式是：yS(bv)，其中函數的定義域是v(0，c .整理函數有yS(bv)S(v)，由函數yx (k0)的單調性而得：當c時，則v時，y

4、取最小值；當c時，則vc時，y取最小值.綜上所述，為使全程成本y最小，當c時，行駛速度應為v；當c時，行駛速度應為vc.點評：1.對于實際應用問題，可以通過建立目標函數，然后運用解(證)不等式的方法求出函數的最大值或最小值，其中要特別注意蘊涵的制約關系，如本題中速度v的范圍，一旦忽視，將出現解答不完整.此種應用問題既屬于函數模型，也可屬于不等式模型.變式：某工廠擬建一座底面為矩形、面積為200平方米且深為1米的無蓋長方體的三級污水池（如圖所示）如果池外圈四壁建造單價為每平方米400元，中間兩條隔墻建造單價為每平方米248元，池底建造單價為每平方米80元。（1）試設計污水池底面的長和寬，使總造價

5、最低，并求出最低造價；（2）由于受地形限制，地面的長、寬都不超過16米，試設計污水池底面的長和寬，使總造價最低，并求出最低造價。解（1）設底面長為x米，則寬為米，總造價為y 元。則 =800=44800 當且僅當，即時取等號.(2)由已知條件所得,而,于是y的最小值不能是44800.為求y在上的最小值,需研究函數的單調性.對任意的,設.=800在上是減函數于是=29000+16000=45000,即的最小值為45000,此時.綜合以上,當底面長為16米,寬為12.5米時,總造價最低為45000元.例3 某國由于可耕地面積少，計劃從今年起的五年填湖圍造一部分生產和生活用地，若填湖費、購置排水設備

6、費等所需經費與當年所填湖造地面積x（畝）的平方成正比，其比例系數為a，設每畝水面的年平均經濟效益為b元，填湖造地后的每畝土地的年平均收益為c元（其中a，b，c均為常數）。（1）若按計劃填湖造地，且使得今年的收益不小于支出，試求所填面積x的最大值。（2）如果填湖造地面積按每年1%的速度減少，為保證水面的畜洪能力和環保要求，填湖造地的總面積不能超過現有水面面積的25%，求今年填湖造地的面積最多只能占現有水面的百分之幾。注：根據下列近似值進行計算：0.9920.98, 0.9920.97, 0.9940.96, 0.9950.95, 0.9960.94, 0.9970.93.解：填湖面積x畝,填湖及

7、排水設備費ax2元，水面經濟收益bx，填湖造地后收益cx（1）收益不小于支出的條件可以表示為所以當此時不能填湖造地；當cb0，即此時所填面積的最大值為畝。（2）設該地現在水面m畝，今年填湖造地x畝。則即因此今年填湖造地面積最多只能占現有水面的三鞏固訓練1. 某化工企業2007年底投入100萬元，購入一套污水處理設備該設備每年的運轉費用是0.5萬元，此外每年都要花費一定的維護費，第一年的維護費為2萬元，由于設備老化，以后每年的維護費都比上一年增加2萬元（1）求該企業使用該設備年的年平均污水處理費用（萬元）；（2）問為使該企業的年平均污水處理費用最低，該企業幾年后需要重新更換新的污水處理設備？解：

8、（1）即（）；-7分（不注明定義域不扣分，或將定義域寫成也行） （2）由均值不等式得：（萬元）-11分 當且僅當，即時取到等號-13分答：該企業10年后需要重新更換新設備-14分2. 甲方是一農場，乙方是一工廠. 由于乙方生產須占用甲方的資源，因此甲方 有權向乙方索賠以彌補經濟損失并獲得一定凈收入，在乙方不賠付甲方的情況下，乙方的年利潤x（元）與年產量t（噸）滿足函數關系x2000若乙方每生產一噸產品必須賠付甲方s元（以下稱s為賠付價格） （1）將乙方的年利潤w（元）表示為年產量t（噸）的函數，并求出乙方獲得最大利潤的年產量； （2）甲方每年受乙方生產影響的經濟損失金額y0.002t2（元），在乙方按照獲得最大利潤的產量進行生產的前提下，甲方要在索賠中獲得最大凈收入，應向乙方要求的賠付價格s是多少？（南京金陵中學-海安高級中學）解：(1)解法一：因為賠付價格為s元噸，所以乙方的實際年利潤為：w2000st（t0）2分因為w2000sts()2，4分所以當t ()2時，w取得最大值 所以乙方取得最大年利潤的年產量t ()2 (噸)6分解法二：因為賠付價格為s元噸，所以乙方的實際年利潤為：w2000st（t0）由ws =，令w0得tt0=()24分當tt0時，w0；當tt0時，w0，所以tt0時，w取得最大值因此乙方取得最大年利潤的年產量t0()2 (噸)6分(2)設甲方凈收入為