1、函數與導數1.已知函數f ( x) =4x3+3tx2-6tx +t -1, XC R ,其中t e R .(I )當t =1時，求曲線y = f ( x)在點(0, f(0)處的切線方程;(II)當tuO時，求f(x)的單調區間；(III)證明：對任意的 飛(0,+乂)，f(x)在區間(0,1)內均存在零點.【解析】(19)本小題主要考查導數的幾何意義、利用導數研究函數的單調性、曲線的切線方程、函數的零點、解不等式等基礎知識，考查運算能力及分類討論的思想方法，滿分14分。(I )解：當t斗 時，f(x) =4x3 +3x2-6x, f(0) f(x) =12 x2 +6x 6f(0) =-6

2、.所以曲線y = f(x)在點(0, f(0)處的切線方程為 漲.(II)解：ff x) = 12x2+6tx _6t2,令f(x)=O ,解得x=_t或乂=丄.2因為tO,以下分兩種情況討論：(1)若t w o,則- -t，當x變化時，L(x), f( x)的變化情況如下表：2X匕乜丿(-廣)f(x)+-+f(x)/、 /rt ft所以，f(X)的單調遞增區間是); f ( X)的單調遞減區間是，_tI2丿匕X(Zt)J0,貝lj_t 1,即Q2時，f (x)在(0,1)內單調遞減，2f(0)- 10, f(l) = -6t2+ 4t+丕-6X4+曾2+ 3：0.所以對任意t己2,畑)，f

3、( x)在區間(0,1)內均存在零點。1- j= _Zt3 +t _ 1 0.t所以f(x)在，1卡存在零點。f “若t(l,2), f X二_Zt3 + (t_ l)w_Jt3+ 10所以f(x)在I內存在零點。所以，對任意t(0,2), f(x)在區間(0,1)內均存在零點。綜上，對任意t(0,址)，f( x)在區間(0,1)內均存在零點。2.已知函數f(x) =2x+1，h(x)=J7.32(I )設函數F(x)= 18f(x)- x2h(x)2,求F(x)的單調區間與極值；33(II )設a e R ,解關于x的方程lg一f(x - 1)-一 =21g h(a一x) 21g h(4 x

4、)；24(III)設nN* ,證明：f(n)h(n) -h(l)+h(2) +111+h( n)丄.6本小題主要考查函數導數的應用、不等式的證明、解方程等基礎知識，考查數形結合、函數 與方程、分類與整合等數學思想方法及推理運算、分析問題、解決問題的能力.解：(I ) F (x) =18 f( x) -x2 h(x)2= -x3+12x歩(x磅,/- F x)3弄一+12(2)當0 1,6卩2時,20；當x2,S 時，F x) 0 ,故當x狗,2)時，F(x)為增函數；當xE2,乜)時，F(x)為減函數.4 a 0 ,方程有兩解x =吐J 5-a ;a二5時，貝ij=0 ,方程有一解x =3；a

5、空或a 5,原方程無解.x =2為F (x)的極大值點，且F (2) = +24 + 9=25 .、 _33(II )方法一:原方程可化為log 4 1 f (x 1)=log 2 h(a - x) log 2 h(4 _x), 2 4即為log 4 ( X_l) Jpg 2 -X log 2 J 4_X二log且丁4 - xx?當1也翌甘，1 x a ,貝|J x丄=a _，即X _4_x 6土J2O_4afxa,ll4時，I V3_ a .a xC 4 ,由x 1=4 -x=36 4( a +4) =20 4a、3.設函數f ( x) =a 2 in x _x 2+ax , a 0(I )

6、求f(x)的單調區間；(II)求所有實數a,使ef ( x) 0,-x 0,a x 0,(X T)(4Fa -x.lx4x a,0=-(XT)2+5.2當4 a 5時，原方程有二解x=吐7 5-a；3當a =5時，原方程有一解x =3；4當a 2 Ht,有ak 龍,又因為ai =1,所以 /+a2+IH+an+77+川 +則 (1)+S h h(2+|+ ()h n ,故原不等式成立.當1 Va 4時，原方程有一解(II)證明：由題意得，f(l)=a Eca巴c由(I)知f(x)在l,e內單調遞增,要使e -1 f (x) e -1,只要Lf (e) a2 _e2 +ae e2解得a =e.4

7、.-設f(x)=,其中a為正實數.l+ax24(I)當a=_時，求f(x)的極值點；3(II)若f(x)為R上的單調函數，求a的取值范圍.【解析】(18)(本小題滿分13分)本題考查導數的運算，極值點的判斷，導數符號與函數單調變 化之間的關系，求解二次不等式，考查運算能力，綜合運用知識分析和解決問題的能力.2x 1 + ax_ ax解：對f(x)求導得f(x) =e；43當a二一，若f(x)=o,則4x2-8x仔，解得xi = ,X2=*.322綜合，可知X4力丄)221-3-_(丄)2 2_323-100)2f(x)+00+f(x)極大值、極小值7_r,31所以，X1 是極小值點，X2=是極

8、大值點.2 2(n)若f ( X)為R上的單調函數，則f ( X)在R上不變號，結合與條件a0,知ax2-2ax F二0在R上恒成立，因此=4a2一4a= 4a(a一1)9,由此并結合a O ,知0 a 1.5.已知a , b為常數，且a$0 ,函數f ( x ) =-ax+b+axlnx , f ( e ) =2 ( e=2 . 71828是自然對數 的底數)。(I)求實數b的值；(n)求函數f(x )的單調區間；(m )當a = l時，是否同時存在實數m和M ( mf(x)0得xl,由f(x)0得0 xl;(2)當a 0得(XxF,由f(x) VO得xl.綜上，當a 0時，函數f (x)的

9、單調遞增區間為托),單調遞減區間為(0,1);m和最大的實數當a 0時，函數f(x)的單調遞增區間為(0,1),單調遞減區間為(1,護。(ID )當a=l時，f (x)= -X+2改In x, f( x) =ln x.由(U)可得，當x在區間(憶)內變化時，f x), f(x)的變化情況如下表:eX1巳141)e1(l,e)ef*( x)-0+f(x)22-e單調遞減極小值1單調遞增2又2-2 2,所以函數f*( x) = (!, e)的值域為1, 2o/1. m = 1,-1據經可得，若則對每-個I m.直線冃烏曲線y= f (X)( X匡4)都有IM=2e公共點。1 _并且對每一個t乏(_

10、8,+s),直線y = t與曲線y=f(x)(x e - ,e)都沒有公共點。e綜上，當a = l時，存在最小的實數m=l,最大的實數M=2 ,使得對每一個tem, M ,直線y=t1與曲線y ( x)( x 6 ,e)都有公共點。e6.設函數f ()x = x3 +2ax2+bx + a , gx(尸x2_32 ,其中反R, a、b為常數，已知曲線y = f(x)與y = g (x)在點(2,0)處有相同的切線L(I)求a、b的值，并寫出切線1的方程；(H)若方程f()x +g ()x=mx有三個互不相同的實根0、x、x ,其中xi v X2 ,且對任意的xc11, X2】，fk() +g()x Vm( xl)恒成立，求實數m的取值范圍。【解析】20.本題主要考查函數、導數、不等式等基礎知識，同時考查綜合運用數學知識進行推理論證的能力，以及函數與方程和特殊與一般的思想，(滿分13分)解：(I) f ( x) = 3x? *4ax+b, g(X)7x一3.由于曲線y = f(x)與y=g(x)在點(2, 0)處有相同的切線，故有f(2) =g(2) =0,f(2) =g(2) =1.由此得0,艮卩m_丄4又對任意的x己xi , X2 , f (x)+ g( x) m( x一1)成立,特別地，取x = xi時，f ( X廣g( xi ) mxi m成立，得m 0, xi X2= 2