1、排列與組合(一)一、排列：一般地說，從 n個不同元素中，任取m(mn)個元素，按照一定的順序排成一列，這就叫做從幾個不同元素中取m個元素的一個排列。 排列數：_;階乘：_;二、組合：一般地說，從 n個不同元素中，任取m(m n)個元素出來拼成一組，就叫做從n個不同元素中取出m個元素的一個組合。 組合數：_;性質：_;排列題型一、含有特殊元素、特殊位置的題采用特殊優先安排的策略 例1：用0，2，3，4，5這五個數字，組成沒有重復數字的三位數，共有（ ） A24個 B30個 C48個 D60個 若含有兩個或兩個以上的特殊位置或特殊元素，則應使用集合的思想來考慮這里僅舉以下幾例 (1)無關型(兩個特

2、殊位置上分別可取的元素所組成的集合的交是空集) 例2：用0，1，2，3，4，5六個數字可組成多少個被10整除且數字不同的六位數? 解：由題意可知，兩個特殊位置在首位和末位，特殊元素是“0，首位可取元素的集合A1，2，3，4，5，末位可取元素的集合B0，AB如圖1所示 末位上有 種排法，首位上有 種不同排法，其余位置有 種不同排法所以，組成的符合題意的六位數是 120(個) 說明：這個類型的題目，兩個特殊位置上所取的元素是無關的先分別求出兩個特殊位置上的排列數(不需考慮順序)，再求出其余位置上的排列數，最后利用乘法原理，問題即可得到解決 (2)包合型(兩個特殊位置上分別可取的元素所組成集合具有包

3、合關系) 例3：用0，1，2，3，4，5六個數字可組成多少個被5整除且數字不同的六位奇數? 解：由題意可知，首位、末位是兩個特殊位置，“0”是特殊元素，首位可取元素的集合A1，2，3，4，5，末位可取元素的集合B5，BA，用圖2表示。 末位上只能取5，有 種取法，首位上雖然有五個元素可取但元素5已經排在末位了，故只有 種不同取法，其余四個位置上有 種不同排法，所以組成的符合題意的六位數有 96(個) 說明：這個類型的題目，兩個特殊位置上所取的元素組成的集合具有包含關系，先求被包合的集合中的元素在特殊位置上的排列數，再求另一個位置上的排列數，次求其它位置上排列數，最后利用乘法原理，問題就可解決

4、(3)影響型(兩個特殊位置上可取的元素既有相同的，又有不同的這類題型在高考中比較常見) 例4：用1，2，3，4，5這五個數字，可以組成比20000大并且百位數字不是3的沒有重復數字的五位數有多少個? 解：由題意可知，首位和百位是兩個特殊位置，“3”是特殊元素首位上可取元素的集合A2，3，4，5，百位上可取元素的集合B1，2，4，5用圖3表示 從圖中可以看出，影響型可分成無關型和包含型首先考慮首位是3的五位數共有： 個；再考慮首位上不是3的五位數，由于要比20000大，首位上應該是2、4、5中的任一個， 種選擇；其次3應排在千位、十位與個位三個位置中的某一個上， 種選擇，最后還有三個數、三個位置

5、，有 種排法，于是首位上不是3的大于20000的五位數共有個 綜上，知滿足題設條件的五位數共有：+ 78個 練1、用0到9這十個數字可組成多少個沒有重復數字的四位偶數？這一問題的限制條件是：沒有重復數字；數字“0”不能排在千位數上；個位數字只能是0、2、4、6、8、，從限制條件入手，可劃分如下：解法1：當個位數上排“0”時，千位，百位，十位上可以從余下的九個數字中任選3個來排列，故有個當個位上在“2、4、6、8”中任選一個來排，則千位上從余下的八個非零數字中任選一個，百位，十位上再從余下的八個數字中任選兩個來排，按乘法原理有 （個）沒有重復數字的四位偶數有 個解法2：當個位數上排“0”時，同解

6、一有 個；當個位數上排2、4、6、8中之一時，千位，百位，十位上可從余下9個數字中任選3個的排列數中減去千位數是“0”排列數得： 個沒有重復數字的四位偶數有個解法3：千位數上從1、3、5、7、9中任選一個，個位數上從0、2、4、6、8中任選一個，百位，十位上從余下的八個數字中任選兩個作排列有 個 干位上從2、4、6、8中任選一個，個位數上從余下的四個偶數中任意選一個（包括0在內），百位，十位從余下的八個數字中任意選兩個作排列，有個 沒有重復數字的四位偶數有個解法4： 將沒有重復數字的四位數字劃分為兩類：四位奇數和四位偶數練2、某一天的課程表要排入政治、語文、數學、物理、體育、美術共六節課，如果

7、第一節不排體育，最后一節不排數學，那么共有多少種不同的排課程表的方法解法1：6六門課總的排法是 ，其中不符合要求的可分為：體育排在第一書有 種排法，如圖中；數學排在最后一節有 種排法，如圖中；但這兩種排法，都包括體育排在第一書數學排在最后一節，如圖中，這種情況有 種排法，因此符合條件的排法應是： （種）解法2：根據要求，課程表安排可分為4種情況：（1）體育、數學既不排在第一節也不排在最后一節，這種排法有 種；（2）數學排在第一節但體育不排在最后一節，有排法 種；（3）體育排在最后一節但數學不排在第一節，有排法 種；（4）數學排在第一節，體育排在最后一節，有排法這四類排法并列，不重復也不遺漏，故

8、總的排法有： （種）解法3： 根據要求，課表安排還可分下述4種情況：（1）體育，數學既不在最后也不在開頭一節，有 種排法；（2）數學排在第一節，體育不排在最后一節，有4種排法；（3）體育在最后一書，數學木在第一節有4種排法；（4）數學在第一節，體育在最后一節有1種排法上述 21種排法確定以后，僅剩余下四門課程排法是種，故總排法數為（種）二、解相鄰問題采用“捆綁”策略 對于某幾個元素要求相鄰的排列問題，可先將相鄰的元素“捆綁”起來看作一個元素與其他元素排列，然后再在相鄰元素之間排列 例1：A，B，C，D，E五人并排站成一排，如A，B必相鄰，且B在A右邊，那么不同排法有（ ） A24種 B48種

9、C90種 D120種 分析：將特殊元素A，B按B在A的右邊“捆綁”看成一個大元素，與另外三個元素全排列 ，由A，B不能交換，故不再“松綁”，選A 例2：計劃展出10幅不同的畫，其中一幅水彩畫、4幅油畫、5幅國畫，排成一行陳列，要求同一品種的畫必須連在一起，并且水彩畫不放在兩端，那么不同的陳列方式有多少種? ( ) A、B、 C、 D、 分析：先把3種品種的畫各看成整體，而水彩畫不能放在頭尾，故只能放在中間，又油畫與國畫有種放法，再考慮油畫與國畫本身又可以全排列，故排列的方法為 ，故選D. 例3：5名學生和3名老師站成一排照相，3名老師必須站在一起的不同排法共有_種 簡析：將3名老師捆綁起來看作

10、一個元素，與5名學生排列，有種排法；而3名老師之間又有 種排法，故滿足條件的排法共有 4320種 三、解不相鄰問題采用“插孔”策略 對于某幾個元素不相鄰的排列問題，可先將其他元素排列好，然后再將不相鄰的元素在這些排好的元素之間及兩端的空隙中插入 例1：7人站成一行，如果甲、乙兩人不相鄰，則不同的排法種數是 ( ) A1440種 B3600種 C4320種 D4800種 簡析：先讓甲、乙之外的5人排成一行，有 種排法，再讓甲、乙兩人在每兩人之間及兩端的六個間隙中插入，有種方法故共有 3600種排法，選B 例2：要排一個有6個歌唱節目和4個舞蹈節目的演出節目單，任何兩個舞蹈不相鄰，問有多少種不同排

11、法? 分析：先將6個歌唱節目排成一排有 種排法，6個歌唱節目排好后包括兩端共有7個“間隔”可以插入4個舞蹈節目有種，故共 6！604800種利用“插孔”法，也可以減少元素，從而簡化問題 例3：一排6張椅子上坐3人，每2人之間至少有一張空椅子，求共有多少種不同的坐法? 解：將問題轉化成把3個人坐5張椅子，然后插一把空椅子問題 3個人若坐5張椅子，每2人之間一張空椅子坐法是固定的有 種不同的坐法，然后，將余下的那張椅子插入3個坐位的4個空隙，有4種插法所以共有424種不同的坐法 組合題型例1、從7名男生5名女生中，選出5人，分別求符合下列條件的選法種數有多少種？（1）A、B必須當選； （2）A、B

12、都不當選；（3）A、B不全當選；（4）至少有2名女生當選；（5）選出5名同學，讓他們分別擔任體育委員、文娛委員等5種不同工作，但體育委員由男生擔任，文娛委員由女生擔任 分析：（1）除A、B選出外，從其它10個人中再選3人，共有的選法種數為 （種）（2）去掉A、B，從其它10人中任選5人，共有的選法種數為： （種）（3）按A、B的選取情況進行分類：A、B全不選的方法數為 ，A、B選1人的方法數為 ，共有選法 （種）本小題的另一解法：從12人中選5人的選法中去掉A、B全選的情況，所有選法只有（種）（4）方法一：按女同學的選取情況分類：選2名女同學、3名男同學；選3名女同學2名男同學；選4名女同學1

13、名男同學；選5名女同學所有選法數為： （種）方法二：從反面考慮，用間接方法，去掉女同學不選或選1人的情況，所有方法總數為 （種）（5）選出一個男生擔任體育班委，再選出1名女生擔任文娛班委，剩下的10人中任取3人擔任其它3個班委用分步計數原理可得到所有方法總數為： （種）例2、空間10個點，其中有5點在同一個平面內，其余無三點共線，四點共面，問以這些點為頂點，共可構成多少個四面體？解：方法一：可以按共面的點取0個、1個、2個、3個進行分類，得到所有的取法總數為： 個 方法二：從10個點中任取4個點的方法數中去掉4個點全部取自共面的5個點的情況，得到所有構成四面體的方法數為： （個）例3、從1到9

14、的九個數字中取三個偶數四個奇數，試問：（1）能組成多少個沒有重復數字的七位數？（2）上述七位數中三個偶數排在一起的有幾個？（3）在（1）中的七位數中，偶數排在一起、奇數也排在一起的有幾個？（4）在（1）中任意兩偶數都不相鄰的七位數有幾個？分析：（l）分步完成：第一步在4個偶數中取3個，可有種情況；第二步在5個奇數中取4個，可有種情況；第三步3個偶數，4個奇數進行排列，可有 種情況，所以符合題意的七位數有個（2）上述七位數中，三個偶數排在一起的有 個（3）上述七位數中，3個偶數排在一起，4個奇數也排在一起的有 個（4）上述七位數中，偶數都不相鄰，可先把4個奇數排好，再將3個偶數分別插入5個空檔，

15、共有 個作業16人站一排，甲不站在排頭，乙不站在排尾，共有_504_種不同的排法25名男生和4名女生排成一隊，其中女生必須排在一起，一共有_17280_種不同的排法37名同學排成一排，其中甲、乙兩人必須排在一起的不同的排法有（C ） A720種B360種 C1440種D120種45名男生、2名女生站成一排照像： （1）兩名女生要在兩端，有多少種不同的站法？ （2）兩名女生都不站在兩端，有多少不同的站法？ （3）兩名女生要相鄰，有多少種不同的站法？ （4）兩名女生不相鄰，有多少種不同的站法？ （5）女生甲要在女生乙的右方，有多少種不同的站法？ （6）女生甲不在左端，女生乙不在右端，有多少種不同的站法？（1）兩端的兩個位置，女生任意排，中間的五個位置男生