1、嘉應學院畢業論文（設計）摘 要數形結合是一種重要的教學思想方法。它主要表現在把抽象的數量關系，轉化為適當的幾何圖形，從圖形的直觀特征發現數量之間存在的聯系，以達到化難為易、化繁為簡、化隱為顯的目的，使問題簡捷地得以解決。本文從激發學生的學習興趣、提高學生綜合能力以及培養學生情操等方面分析、探討了“數形結合”在數學教學中的應用。關鍵詞：數、形、初等數學、數學教學AbstractThe combination of digit is an important teaching methods. It is mainly manifested in the abstract, the quantit

2、ative relationship into the appropriate geometric shapes, from the intuitive graphical features found between the number of links in order to achieve a meal of easy, simplified, Implicit significant for the purpose of simple problems to be solved. Therefore, we must attach importance to the combinat

3、ion of digit teaching. This paper stimulate their interest in learning, improve student ability and cultivate sentiments of students so analyzed, the combination of digit in mathematics teaching applications. Keywords : number, shape and Mathematics Teaching Elementary Mathematics目 錄摘要1Abstract2目錄31

4、、引言42、“數”“形”結合推動數學發展43、數形結合在教學中的運用4 3.1、應用“數形結合”，激發學生的學習興趣53.2、應用“數形結合”，提高學生的能力53.2.1、“數形結合”有助于對數學知識的記憶53.2.2、應用“數形結合”，訓練學生數學直覺思維能力63.2.3、應用“數形結合”，培養學生的發散思維能力73.2.4、應用“數形結合”，培養學生的創造性思維能力73.3、應用“數形結合”，培養學生的良好情操83.3.1、樹立現代思維意識83.3.2、樹立辯證唯物主義世界觀84、數形結合在解題中的運用94.1、“數”中思“形”94.2、“形”中覓“數”105、結束語11參考文獻11 淺析

5、“數形結合”在數學教學中的應用1、引言數形結合是數學中常用的、重要的一種數學思想方法。數形結合思想的實質即通過數形之間的相互轉化，把抽象的數量關系，通過理想化抽象的方法，轉化為適當的幾何圖形，從圖形的結構直觀地發現數量之間存在的內在聯系，解決數量關系的數學問題，或者把關于幾何圖形的問題，用數量或方程等表示，從它們的結構研究幾何圖形的性質與特征。在解決代數問題時，想到它的圖形，從而啟發思維，找到解題之路；或者在研究圖形時，利用代數的性質，解決幾何的問題實現抽象概念與具體形象的聯系和轉化，化難為易，化抽象為直觀恩格斯說：“純數學的對象是現實世界的空間形式和數量關系”“數”和“形”是數學中兩個最基本

6、的概念，它們既是對立的，又是統一的，每一個幾何圖形中都蘊含著與它們的形狀、大小、位置密切相關的數量關系；反之，數量關系又常常可以通過幾何圖形做出直觀地反映和描述。“數”與“形”的信息轉換，相互滲透，不僅使解題簡捷明快，還開拓解題思路，為研究和探求數學問題開辟了一條重要的途徑。數形結合是連接“數”與“形”的“橋”，它不僅作為一種解題方法，還是一種重要的數學思想。2、“數”“形”結合推動數學發展(1)“形”的問題可使用“數”來計算，“數”的關系可以用“形”來表現。例如解析幾何中將幾何問題代數化，如關于直線斜率、距離、線段定比分點等等，將“代數”與“幾何”相結合起來。(2)“形”促進了“數”的概念的

7、發展，豐富了計算方法。例如無理數的計算，例如、的發現，由邊長為1的直角三角形得。代數恒等式的證明如圖。3、數形結合在教學中的運用當前，由于高校擴招等多方面因素的影響，造成中等職業教育生源素質下降，部分學生在學習數學時存在著種種心理障礙，表現為：（1）自信心不強。對數學抽象語言和符號一籌莫展，自嘆不是學習數學的“材料”，因而自暴自棄，信心不足，造成數學學習成績下降。（2）興趣不濃。認為數學抽象、枯燥、復雜、運算多、邏輯推理多，缺少趣味，因而缺乏興趣，感覺學習是一種負擔，從而影響了學習的積極性。（3）智力偏低.有少數學生不僅學習基礎差,而且智力偏低,沒有養成良好的思維習慣,學習方法不甚得法,造成反

8、應遲鈍,遺忘快。此外，教師的教學總是一成不變，一個模式，墨守成規，缺乏針對學生的具體情況、結合實際的變化，使學生不能愉快地接受知識和啟動思維，從而產生了消極的學習態度。許多教師為此進行了有益的探討，筆者在教學中通過探索和相關的實踐，深深地體會到在數學教學中用“數形結合”的思想引導學生思考，用“數形結合”的技巧去訓練學生解題，能夠促進學生學習數學的興趣，提高學生的思維能力。數形結合滲透在中學數學中，數形結合的觀點是通過對數量關系的討論來研究圖形的性質，也可利用圖形的性質來反映數量間的相互關系，因此數形結合使數和形相互啟發、相互補充、相互印證。3.1、應用“數形結合”，激發學生的學習興趣數學的客觀

9、存在的美感，在數與形的結合上表現得十分完美。在數與形的關系中特別引人注目的著名的“黃金分割率”，它被世人稱之為和諧性的最完美的表現。“0.618”被譽為黃金數、神圣的比例、宇宙的美神。在日常生活中，人們習慣用“黃金分割”審美的觀念看世界。在繪畫和建筑藝術中，如達芬奇的最后的晚餐，埃菲爾鐵塔等，都用到了“黃金率”，所以，它們才有經久不衰的魅力。教師在數學教學活動中，要充分運用這些材料，引導學生領略數學的美，使學生對數學產生強烈的情感、濃厚的興趣和探討的欲望。誘發學生對數學美的追求心理，從而消除對學習數學感到單調、負擔和懼怕的心理，產生對數學學習的興趣和積極追求的欲望。愛因斯坦認為：“興趣是最好的

10、老師。”培養學習數學的興趣是克服數學學習困難的內在動力。所以，所學材料或研究對象的生動趣味有助于把學生從“要我學”轉變成“我要學”的良好的學習心理，從而有可能獲得最佳的教學效果。將美感滲透融合于數學教學的過程，這種審美心理活動能啟迪和推動學生數學思維活動，觸發智慧的美感，使學生的聰明才智得以充分發揮。“數形結合”就能起到這方面的作用。3.2、應用“數形結合”，提高學生的能力對大腦的科研成果表明，大腦的兩半球具有不同的功能，左半腦功能偏重于抽象的邏輯思維，講究規范嚴謹，穩定封閉，如數的運算、代數式的運算、邏輯推理、歸納演繹等。右半腦功能則偏聽偏重于形象思維，講究直覺想象，自由發散，如猜想、假設、

11、構思開拓、奇異創造等。左、右半腦的功能各有特征，如果互相補充就會使大腦功能更加健全和發達。“數形結合”就同時運用了左、右半腦的功能，在培養形象思維能力時，也促進了邏輯思維能力的發展。3.2.1、“數形結合”有助于對數學知識的記憶“記憶是智慧的倉庫”。人的知識、經驗的積累、技能的形成、技巧的熟練、思維能力的培養、事業的成就等都離不開良好的記憶能力。中等職業教育中的數學知識是基礎性知識，需要牢固地記憶并掌握這些基礎知識，在此基礎上做到靈活應用，在整個教學過程中，這二者是相輔相成的。記憶正是掌握知識的基本手段，記憶的過程也就是知識積累的過程，同時有助于知識的深化，知識水平的提高更是要以記憶為前提。有

12、的學生面對一些數學問題束手無策，找不到解題的思路與方法，這與腦子里記憶的數學知識太少有關。只有對數學的基礎知識記憶牢固，才能做到溫故而知新，應用時熟能生巧，才能進一步發展數學思維，提高數學能力。教學中運用形象記憶的特點，使抽象的數學盡可能地形象化，對學生輸入的數學信息和映象就更加深刻，在學生的腦海中形成數學的模型，可以形象地幫助學生理解和記憶。數軸是中學數學教材中數形結合的第一個實例，它的建立，不僅使最簡單的形直線上的點與實數間建立一一對應關系，還揭示了數形間的內在聯系，使實數的許多性質，可由數軸上相應點的位置關系得到形象生動的說明，也為學習具有相反意義的量、相反數、絕對值、有理數運算等作好了

13、準備。 如初一講絕對值這一概念時，絕大多數同學都能熟練地背出它的代數定義，而對它的幾何意義漠然視之，甚至時隔不久不知它還有幾何意義的竟大有人在！在這之后學習含有絕對值意義的新概念時，往往感到很困難，究其原因，其實他們根本就沒弄懂什么是絕對值。到底什么是絕對值？絕對值就是距離。|x|就是|x-0|，就是數軸上表示的點到（表示數0的點）原點的距離。那么解|x-3|=2這一方程，其實就是要在軸上找出所有到的距離是的點，這根本無須計算。而|x-3|+|x+2|=7的求解步驟也簡化為在數軸上找出到和兩點距離的和為的點，一目了然是和。3.2.2、應用“數形結合”，訓練學生數學直覺思維能力在數學里，存在著大

14、量的直覺思維。這就是人們在求解數學問題時，運用已有的知識，從整體上對數學對象及其結構迅速識別、判斷，進而作出大膽的猜想，合理的假設，并作出試探性的結論。它具有頓悟、飛躍的特征。中學教材中不論用代數方法研究幾何問題，還是用幾何圖形研究數或式，都貫穿著數形結合方法分析問題和解決問題的思想，要強化數形兩意識的滲透和能力的培養。于觀察圖形，以揭示圖形中蘊含的數量關系觀察是人們認識客觀事物的開始，直觀是圖形的基本特征，觀察圖形的形狀、大小和相互位置關系，并在此基礎上揭示圖形中蘊含的數量關系，是認識、掌握數形結合的重要進程。用數形結合的方法解題，能最直接揭示問題的本質，直觀地看到問題的結果，只需稍加計算或

15、推導，就能得到確切的答案。例1.已知全集，A、B為全集I的子集，且，求集合A. 思路分析：通讀全題，題目涉及了十個元素及A、B、I五個集合.若不借助圖形，容易出現錯誤，故借助韋氏圖求解集合A解：如圖1所示，5AB，故在日常的教學中，教師要注意用數形結合的方法訓練直覺思維，讓學生養成整體觀察、檢索信息、把握問題實質的好習慣。3.2.3、應用“數形結合”，培養學生的發散思維能力發散思維是從同一來源的材料或同一個問題，探求不同思路和方法的思維過程，其思維方向是從不同角度、不同方面看待同一個問題。在教學中常借助“一題多解”或“一題多變”的形式，突出已知與未知之間的矛盾聯系，來引發學生提出新的思想、新的

16、方法、新的問題，達到知識融會貫通，發展思維的廣闊性和靈活性，激勵學生的好奇心和求知欲，提高解決問題的應變能力。例2：判定下列圖中，哪個是表示函數圖像？ 分析 由=可知函數是偶函數，其圖象應關于y軸對稱，因而否定（B）、（C），又，的圖象應當是上凸的，（在第1象限，函數y單調增，但變化趨勢比較平緩），因而（A）應是函數圖象教師在教學中要注意學生思維的橫向推廣和縱向深入，使二者有機結合以利于保證思維的流暢性，做到反應靈敏，思路暢通，聯想豐富，在短時間內匯集、檢索與所研究問題有關的概念與性質，隨機應變，巧妙運用有關公式與定理，綜合運用各模塊知識。3.2.4、應用“數形結合”，培養學生的創造性思維能力

17、目前，推行素質教育已成為教育發展的主流。對學生進行綜合素質和能力的培養，是建立新世紀創造性人才隊伍的需要。，是思維的最高境界。只有具有創造性思維能力的人，才能在各自的領域中有所創造發明，才能推動科學技術、人類社會的向前發展。在數學教學中，教師可通過編選一些探索性的題目，讓學生去研究，去探討，去發現。讓他們不是從頭腦中已有的思維形式和思維方法中去找答案，而是從問題的本身進行具體的分析，進行一系列探索性思維活動，將已有的思維方式大跨度地遷移，從可供選擇的途徑中篩選出解決問題的方法。 在中學數學中，數形結合的思想和方法體現最充分的是解析幾何，此外，函數與圖象之間，復數與幾何之間的相互轉化也充分體現了

18、數形結合的思想和方法通過聯想找到數與形之間的對應關系是實現轉化的先決條件，而強化這種轉化的訓練則是提高思維的靈活性和創造性的重要手段。例3： 解不等式 解：設即對應的曲線是以為頂點，開口向右的拋物線的上半支而函數y=x+1的圖象是一直線 （如圖） 解方程可求出拋物線上半支與直線交點的橫坐標為2，取拋物線位于直線上方的部分，故得原不等式的解集是.借助于函數的圖象或方程的曲線，引入解不等式（或方程）的圖象法，可以有效地審清題意，簡化求解過程，并檢驗所得的結果。3.3、應用“數形結合”，培養學生的良好情操3.3.1、樹立現代思維意識在數學教育中，通過數與形的有機結合，把形象思維與抽象思維有機地結合起

19、來，盡可能地先形象后抽象，不但能促進這兩種思維能力同步發展，還為學生初步形成辯證思維能力創造了條件。在數學教學活動中，通過數與形的結合，能夠有的放矢地幫助學生多角度、多層次地思考問題，可以養成多向性思維的好習慣。 在數學教學活動中，教師引導學生變靜態思維方式為動態思維方式，也就是以運動、變化、聯系的觀點考慮問題，把數與形分別視為運動事物在某一瞬間的取值或某一瞬間的相對位置。運用動態思維方式處理教材、研究問題，能揭示前后知識的聯系與變化，培養學生的辯證思維能力，更好地把握事物的本質。3.3.2、樹立辯證唯物主義世界觀客觀世界是一個普遍聯系的整體，每一事物都不是孤立的存在，它和其他事物以各種方式相

20、互依賴著，相互制約著，相互作用著。我們從數學的發展即可揭示出：事物無不處于普遍聯系之中。例如，解析幾何是由代數和幾何，數和形兩方面的聯系、變化、發展而來的。幾何圖形的研究，要借助于代數對方程的研究（如上文提到的借助于代數式子變換來的黃金率可用于黃金分割作圖）。而對幾何的研究同時亦豐富了代數的內容（如代數中函數圖象就是借助于形的直觀性來研究的）。代數和幾何，數和形是對立的，但又是相互聯系的，可以互相轉化的。當引入坐標后，它們就統一于解析幾何中。這樣，數學教師就能用鮮活的事例，引導學生用普遍聯系的觀點、物質統一性的觀點、對立統一的觀點來全面的認識客觀事物的運動、變化、規律，從而對人生觀、世界觀正處

21、于定型期的中職學生以良好的促進作用，幫助他們初步形成辯證唯物主義世界觀。4、數形結合在解題中的運用 所謂數形結合，就是根據數與形之間的對應關系，通過數與形的相互轉化來解決數學問題的思想，實現數形結合，常與以下內容有關：（1）實數與數軸上的點的對應關系；（2）函數與圖象的對應關系；（3）曲線與方程的對應關系；（4）以幾何元素和幾何條件為背景建立起來的概念，如復數、三角函數等；（5）所給的等式或代數式的結構含有明顯的幾何意義。作為解題方法，“數形結合”實際上包含兩方面：一面是“形”的問題,引入直角坐標系，尋找其數量關系式,用“代數”來解決；另一面對代數問題,分析其幾何意義,借助“形”的直觀來解答。4.1、“數”中思“形”例1. 如果實數滿足方程，求的最大值。解：不妨設點在圓上，圓心為,半徑等于（如圖）則是點與原點連線的斜率。當與相切，且切點落在第一象限時，有最大值，即有最大值。因為=，=，所以=， 所以=。例2.方程，的解分別是，求 解：求上方程的解比較困難，方程的解，可理解為函