1、余弦定理的八種證實方法研究背景：2021年高考數學卷陜西卷考出了說明并證實余弦定理這個考 題,使平時不注重翻閱課本的同學大局部吃了虧,雖然這是書本上的知 識,且課本上只給出了一種證實方法, 但仍讓同學們很難想到會考這個 證實題,因此我們利用這次研究性學習活動,以論文的方式來介紹一下多種余弦定理的證實方法,來增強我們對課本知識的理解.目的意義：用多種方法證實余弦定理,擴展思維,了解更多的過程.內容摘要：余弦定理是揭示三角形邊角關系的重要定理,直接運用它可解決一類三角形兩邊及夾角求第三邊或者是三個邊求角的問題,假設對余弦定理加以變形便可適當移于其它知識.成果展示：一余弦定理的內容對于任意三角形,任

2、何一邊的平方等于其他兩邊平方的和減去這兩邊與它們夾角的余弦的兩倍積,假設三邊為 a, b, c三角為A, B, C , 那么滿足性質a2= b2+ c2- 2 b c cosAb2= a2+ c2- 2 a c cosBc2= a2+ b2- 2 a b cosC二證實方法方法一：平面幾何法.如圖,有 a+b=c c c=(a+b) (a+b)c2=a -a+2a -b+b -b c2=a2+b2+2|a|b|cos(-油)又丁 Cos(兀-0 尸Cos8c2=a2+b2-2|a|b|cos 0再拆開,得 cA2=a2+b2-2*a*b*cosC方法二：勾股法在任意叢BC中做 AD ±

3、; BC./C所對的邊為c, /B所對的邊為b, /A所對的邊為a那么有 BD=cosB*c , AD=sinB*c , DC=BC-BD=a-cosB*c根據勾股定理可得：AC2=AD2+DC2b2=(sinB*c)2 +(a-cosB*c)2b2=(sinB*c)2 +a2-2ac*cosB+(cosB)2 *c2b2=(sinB2+cosB2)*c2-2ac*cosB+a2b2=c2+a2-2ac*cosB方法三：解析法在三角形ABC建立直角坐標系,使 A點為原點,B點落在x軸正半軸上,設三角形三邊abc那么有三點坐標為 A (0, 0) B (c, 0) C (bcosA, bsinA

4、)= BC=a那么由距離公式刖cA) 2- CfeinA) 化簡得川能代工-七4/ FiIbcBsA .'.a1c1 +L1 -2bcc:osA方法四：面積法5城爐 (1 照(cowN/AC), SA?EC= (1/2)ac CcasZCBA),bc(cos / BAC)+ac(cos /CBA)=2(S AACQ+S APBC尸c2,同理,ac(cos / CBA)+ab(cos / ACB)=a2,ab(cos / ACB)+bc(cos / BAC)=b2.聯立三個方程,bc(cos / BAC)+ac(cos / CBA)=c2 (1)ac(cos / CBA)+ab(cos

5、/ACB)=a2 (2)ab(cos/ACB)+bc(cos / BAC尸b2 (3)易得余弦定理方法五：正弦法,/sinA sinB = sinC.一 工b 二. - -b.sin2A srfA=b3i®B=c3iifC=ab5ii)A3inB»w1B sid* C sinAslei£*t 加-,_ ab/-a+f-c1 sin.1 A*tsinz B_sinT C= ab sinAsinBA+ fin1 B-iirf CtinAiinBab.y +t:I -c"1 =absirLAsinBsinAsinB ( sin:1 A+si E-sxn,C )

6、 (1)1YW5又'Au/的 Lfqs覆 23i-E?os2B sin1B=1-cq?2B22.'.sinA+ELnS=l- (cs!A+cos2B) =lcos (A+S) cos (A-B)ABC 中 cos ( A+B ) =cos ( 180 -C) =-co2C ,iMWvW 'VWWW/,sinA+cosz3=l_cosCc s (A-P) (2)帶人(1)得abalbT*cT -SinAsillB 1-t-cosCcos (A-B) -sinCab=sinAsiiB ccsTC+cosCcos ( A-B)ab=5inAsinBc&sCcosC+c

7、c3 (A-B)ah=sinAsinBcosC_gos (A用)+cos (A_B) VvvWvV=2atcosCc1 -s1 +S1 _2abcasC同理可證b1=aT+c,-2accosBa'=c'+b,-2bccosA方法六；攝影定理法I'acosC+ccosB (1)b=acosC+ccosA(2)c=b c o s? A+ ac o sB(3)XA/VKAAZ；.(1) xa+ (2) Xb- (3> Xc 得c1 =aT+bI- 2 abcosC同理可證b' =a" +cz- 2 accosBV = c"+b'-2b

8、cc0*A方法七：復額法、如下列圖,在其平面內作Aabc,那么BC % (以熙+】覬區),CA= 5C*=bcos (-A) +i sin (-a),這里 C,是可亍四邊形 ACBC1 的頂點,根據復數加法的幾何意義可知,班二茹十粉二粉+ C20所以 c二a (cosB+i sinB) +bcos ( A) +i sm ( A)=(acosB+bcosA) + (asinfi -bsinA) i° <*)根據復數相等的定義.有 asinB -bEinA=O j YYYVYWW VWrfWtfWsin A sin B對*式兩邊取模J得cT= (aco+bcosA) 1 + (as

9、inB - IjainA)工= a3+bT -HSabccs(3+A)=a -HziT 2 abc gC其他各式同理可證“方法八：物理法設三角形ABC是邊長分別為a、b、c的通電導線框,其電流長度 為I.現將它置于磁感應強度為 B的勻強磁場中且線框平面與磁場方向 垂直,那么三角形ABC的三邊所受的安培力如圖1所示,其大小分別為Fa=BIaFb=BIb (1)Fc=BIc很顯然,這三個力是相互平衡的共點力,它們的作用線相交與三角形ABC的外心O,現以O點為原點,分別建立如圖2甲、丙所示的直 角坐標系,對Fa、Fb、Fc進行正交分解,根據甲圖,有F aco5S-Fb co3B二F c同理,根據乙圖、丙圖分別有Fbco3C+FccosB=Fa(3)FaeinC_FcsinA=OF ac sC+-F cco sA=Fb(4)將Cl式分另肝5 幻.I、式并整理,得用2丙Bia cpsB+BIb , cosBIcB