1、培優點二十幾何概型1 .長度類幾何概型2例1:已知函數f x x x 2 , x5,5 ,在定義域內任取一點x0 ,使f x00的概率是（）A.110B.C.310D.【解析】先解出f xo0時xo的取值范圍：x2 x 2 0從而在數軸上1,2區間長度占5,5區間長度的比例即為事件發生的概率，3P上，故選C.102 .面積類幾何概型（1）圖形類幾何概型例2-1：如圖所示，在矩形 ABCD中，AB 2a, AD a,圖中陰影部分是以 AB為直徑的半圓，現在向矩形ABCD內隨機撒4000粒豆子（豆子的大小忽略不計），根據你所學的概率統計知識，下列四個選項中最有可能落在陰影部分內的豆子數目是（）A.

2、 1000B. 2000C. 3000D. 4000【解析】在矩形ABCD中，AB2a_一，2> 一，一，1 2AD a,面積為2a2,半圓的面積為一a ,2故由幾何概型可知，半圓所占比例為一,隨機撒4000粒豆子, 4落在陰影部分內的豆子數目大約為3000,故選C.（2）線性規劃類幾何概型例2-2：甲乙兩艘輪船都要在某個泊位停靠6小時，假定他們在一晝夜的時間段中隨機地到達，試求這兩艘船中至少有一艘在停泊位時必須等待的概率（）A.B.C.D.716【解析】設甲船到達的時間為 x,乙船到達的時間為 y,則所有基本事件構成的區域滿足0x 24y 240 x 24這兩艘船中至少有一艘在停泊位時

3、必須等待包含的基本事件構成的區域A滿足0 y 24,作出對應的平x y 6面區域如圖所示：甲船刑達時值hS18 187這兩艘船中至少有一艘在停泊位時必須等待的概率為P A 潦 1 石，故選D.S24 24 16（3）利用積分求面積例2-3:如圖，圓O:x2 y22內的正弦曲線y sinx與x軸圍成的區域記為 M （圖中陰影部分），隨機往圓。內投一個點A,則點A落在區域M內的概率是（）4422A. -B. -C. -D.-【答案】B【解析】構成試驗的全部區域為圓內的區域，面積為 3,正弦曲線y sinx與x軸圍成的區域記為 M,根據圖形的對稱性得：面積為S 2 sinxdx 2cos x 0 4

4、,0由幾何概率的計算公式可得，隨機往圓。內投一個點A,則點A落在區域M內的概率P，故選B.3.體積類幾何概型例3: 一個多面體的直觀圖和三視圖所示，M是AB的中點，一只蝴蝶在幾何體 ADF BCE內自由飛翔,由它飛入幾何體FAMCD內的概率為()A.【解析】 所求概率為棱錐F AMCD的體積與棱柱 ADF BCE體積的比值.由三視圖引得ADDFCD a，且 AD ,DF ,CD兩兩垂直,可得 VADF BCESADFDC-AD 2DF DC1 32a，棱錐體積VFAMCD-DFSADMC ,而 SADCM1ADAM CD3 a3241 2VF AMCD1一、，-1 VF AMCD -a .從而

5、 P .故選 D .4VADF BCE2對點增分集訓一、單選題1.如圖，邊長為2的正方形中有一陰影區域， 在正方形中隨機撒一粒豆子， 它落在陰影區域內的概率為 2 .則3陰影區域的面積約為()248A . 3B . 3c , 3d,無法計算【答案】C【解析】設陰影區域的面積為 s, -s 8 .故選C.4 332 .某景區在開放時間內，每個整點時會有一趟觀光車從景區入口發車，某人上午到達景區入口，準備乘坐觀光車,則他等待時間不多于10分鐘的概率為（）1A.101B. 一 6由題意，此人在50分到整點之間的10分鐘內到達，等待時間不多于 10分鐘,'概率P 60 6 ,故選B.3 .一只

6、螞蟻在邊長為 4的正三角形區域內隨機爬行，則它在離三個頂點距離都大于2的區域內的概率為（）D.3B.一4【解析】滿足條件的正三角形如圖所示:其中正三角形ABC的面積1角形立一 4滿足到正三角形 ABC的頂點A , B ,則使取到的點到三個頂點16 4 3C的距離都小于2的平面區域如圖中陰影部分所示,A, B, C的距離都大于2的概率為:24 .在區間0,1上隨機取兩個數x, y,記P為事件"x y "的概率，則P （）32A- 3B.4C- 9D.【解析】如圖所示，0 x 1, 0 y 1表示的平面區域為 ABCD ,222平面區域內滿足x y 的部分為陰影部分的區域 AP

7、Q,其中P -,0 , Q 0-,3331 2 2結合幾何概型計算公式可得滿足題意的概率值為n 2 3 3 2 ,故選d.p -1 195.在區間0,2上隨機取一個數,sin x記A sin x的值介于2sin x的值介于10到3之間,則構成事件A的區域長度為-023C.一 1 ,0到萬之間的概率為（）D.x 2,2-;全部結果的區域30,2長度為2;6 .點P在邊長為1的正方形ABCD內運動，則動點 P到定點A的距離|PA 1的概率為（）C-；【解析】滿足條件的正方形 ABCD ,如圖所示:其中滿足動點P到定點A的距離| PA 1的平面區域如圖中陰影部分所示,-_1則正方形的面積81,陰影部

8、分的面積即 -4故動點P到定點A的距離| PAS*K1的概率P S正7.如圖所示，在橢圓1內任取一個點P ,則P恰好取自橢圓的兩個端點連線與橢圓圍成陰影部分的概率為()B.1先求橢圓面積的一 42,x由一4St圓201 x-dx2-4 x2dx2o2而d4 x2 dx表示0dx，概率2_2St 圓1 2 -2 .4 x dx42oD.2圍成的面積，即圓4面積的8.如圖，若在矩形OABC中隨機撒一粒豆子，則豆子落在圖中陰影部分的概率為()2A. 1 一【解析】S巨形sindxcosxC.cos cos0 2 ,Sw2,.豆子落在圖中陰影部分的概率為9.把不超過實數x的最大整數記為,則函數f x

9、x稱作取整函數,又叫高斯函數，在1,4上任取x ,反的概率為（）1,2B.C.D.時，則1,滿足x2,3 時,2,反2J62x3,4 時,3,厚76,272 ,貝U聲2不滿足x4時，x反2無，則反 2,不滿足x 岳.綜上，滿足x3 12亞7的x 1,3 則xJ2x的概率為=,4 13故選D.10.關于圓周率，數學發展史上出現過許多有創意的求法，如著名的普豐實驗和查理斯實驗.受其啟發,我們也可以通過設計下面的實驗來估計的值：先請120名同學每人隨機寫下一個 x, y都小于1的正實數對x,y ,再統計其中 能與1構成鈍角三角形三邊的數對x, y的個數m ,最后根據統計個數 m估計x; y的值.如果

10、統計結果是 m 34,那么可以估計的值為（）22A.747B .1551 C.1653 D .17【解析】由題意,0120對都小于1的正實數 x,y ,滿足 0兩個數能與1構成鈍角三角形的三邊的數對滿足x* 2y2.統計兩數能與構成鈍角三角形三邊的數對x, y的個數為m34,w 341貝 U 120 4 2竺，故選B.1511.為了節省材料,某市下水道井蓋的形狀如圖1所示，其外圍是由以正三角形的頂點為圓心，正三角形的邊長為半徑的三段圓弧組成的曲邊三角形,這個曲邊三角形稱作菜洛三角形現有一顆質量均勻的彈珠落在如圖2所示的萊洛三角形內，則彈珠恰好落在三角形ABC內的概率為（）A. 一232,3D.

11、 1彈珠落在萊洛三角形內的每一個位置是等可能的,由幾何概型的概率計算公式可知所求概率:12o1 22 sin60o 222,3Q2 32（Su梯cr為萊洛三角形的面積），故選a .12.下圖來自古希臘數學家希波克拉底所研究的幾何圖形.此圖由三個半圓構成，三個半圓的直徑分別為直角三角形ABC的斜邊BC ,直角邊AB, AC . ABC的三邊所圍成的區域記為 I,黑色部分記為II,其sin60o余部分記為III .在整個圖形中隨機取一點，此點取自I, II, III的概率分別記為Pi, P2, 0,則（）A. P1P2B. P1P3BCa,從而可以求得ABC的面積為bc 2黑色部分的面積為S22b

12、c2bc其余部分的面積為S31 bc2根據面積型幾何概型的概率公式,可以得到則有C.b21 bc2P2P3D.PiP2P31 bc21 bc2，有SS2,P2 ,故選A.二、填空題13.在區間0,2內任取一個實數a ,則使函數f x log 2a 1 x在0, 上為減函數的概率是 -1【答案】-4【解析】二.函數f x log 2a 1 x在0, 上為減函數，CC .1一 11d 0 2a 1 1- a 1,因此所求概率為21 .2 一22 0 4.22. 一 14.記集合 A x, y x y 16 ,集合B x, y x y 4 0, x,y A表木的平面區域分別為2.若在區域1內任取一點

13、p x, y ,則點P落在區域2中的概率為4 .一22一一 【解析】回出A x,y x y 16表本的區域 i,即圖中以原點為圓心，半徑為 2的圓;集合B x,y x y 4 0, x,y A表示的區域 2,即圖中的陰影部分.31由題意可得 S i 16 , S 16- 4 4 128 ,2 42根據幾何概型概率公式可得所求概率為15.如圖，曲線ysin-2x 3把邊長為4的正方形OABC分成黑色部分和白色部分.在正方形內隨機取一點,則此點取自黑色部分的概率是 -1【答案】1 4【解析】由題意可知，陰影部分的面積4S140sin 3 dx24/cos x 0 4 2正方形的面積：S2 4 4

14、16 ,由幾何概型計算公式可知此點取自黑色部分的概率：P S1 -.S216416.父親節小明給爸爸從網上購買了一雙運動鞋，就在父親節的當天，快遞公司給小明打電話話說鞋子已經到達快遞公司了，馬上可以送到小明家，到達時間為晚上6點到7點之間，小明的爸爸晚上5點下班之后需要坐公共汽車回家，到家的時間在晚上5點半到6點半之間.求小明的爸爸到家之后就能收到鞋子的華巢”中）為概率（快遞員把鞋子送到小明家的時候，會把鞋子放在小明家門口的-1【答案】-8【解析】設爸爸到家時間為x,快遞員到達時間為 y,以橫坐標表示爸爸到家時間，以縱坐標表示快遞送達時間，建立平面直角坐標系, ot6 W* /5 30 &3。到素時