1、2021/6/161普通物理學普通物理學第一冊第一冊 力學力學2021/6/162第第1章章 質點運動學質點運動學 Kinematics of particles2005年春季學期年春季學期 陳信義編陳信義編 2021/6/163演示實驗演示實驗1單擺單擺 2混沌擺混沌擺1.7 平面極坐標平面極坐標( (補充補充) ) 圓周運動圓周運動1.1 質點的運動函數質點的運動函數1.2 位移和速度位移和速度1.3 加速度加速度1.4 勻加速運動勻加速運動( (自學自學) )1.5 勻加速直線運動勻加速直線運動( (自學自學) )1.6 拋體運動拋體運動( (自學自學) )1.8 相對運動相對運動1.9

2、 科里奧利加速度科里奧利加速度( (補充補充) ) 1.10 相圖相圖( (補充補充) )目目 錄錄2021/6/164m運動學運動學( (kinematics) ) m動力學動力學( (dynamics) )m靜力學靜力學( (statics) )只描述物體的運動，不涉及引起運動和改只描述物體的運動，不涉及引起運動和改變運動的原因。變運動的原因。研究運動與相互作用之間的關系。研究運動與相互作用之間的關系。研究物體在相互作用下的平衡問題。研究物體在相互作用下的平衡問題。牛頓力學只涉及弱引力場中物體的低速運動牛頓力學只涉及弱引力場中物體的低速運動 是整個物理學的基礎是整個物理學的基礎 廣泛應用于

3、工程技術廣泛應用于工程技術2021/6/165矢量矢量（vector）及其運算及其運算：1、加法加法：平行四邊形法則平行四邊形法則交換律交換律ABBA 結合律結合律CBACBA )()(2、數乘數乘：矢量乘標量結果仍為矢量矢量乘標量結果仍為矢量結合律結合律AA)()( 分配律分配律AAABABA )()(矢量矢量：有大小、方向，并有下述運算規則有大小、方向，并有下述運算規則2021/6/166交換律交換律ABBA 分配律分配律CABACBA )(3、標量積標量積：,cos ABBA 4、矢量積矢量積：BA AB zyxzyxBBBAAAzyxBA xyyxzxxzyzzyBABAzBABAyB

4、ABAx )0(sin ABBAAAA 22021/6/167CABACBA )(0 AAABBA 不交換！不交換！BA AB 【思考思考】下列運算下列運算“合法合法”嗎？嗎？DCBAln,1 )()()(BACCABCBA 一個要用到的公式：一個要用到的公式：（驗證上式的分量式成立即可驗證上式的分量式成立即可）2021/6/1681.1 質點的運動函數質點的運動函數參考系參考系坐標系坐標系太陽系太陽系zx y地心系地心系地面系地面系質點模型質點模型 運動具有相對性：運動具有相對性：物體物體運動形式隨不同的參運動形式隨不同的參考系而不同考系而不同 “刻舟求劍刻舟求劍”的啟的啟示示（實際物體實際

5、物體）2021/6/169時間時間t ：用同步鐘指示用同步鐘指示空間：空間：直角坐標系直角坐標系m運動函數：運動函數：描述質點的位置隨時間的變化描述質點的位置隨時間的變化x y z zyx , , ：單位矢量：單位矢量 y(t)x(t)P( t ) z(t)ztzytyxtxtr )()()()( 位置矢量（位矢）：位置矢量（位矢）： r(t) 軌道方程軌道方程x z y0)()()(tzztyytxx 運動函數：運動函數：2021/6/1610m運動函數描述了質點的狀態運動函數描述了質點的狀態狀態：狀態：體系的全部物理量的取值情況體系的全部物理量的取值情況ztzytyxtxtr )()()(

6、)( 由由運動函數（運動函數（軌道方程軌道方程）ttrtvd dd d)()( 可得到粒子的速度可得到粒子的速度 ，動量，動量vmp 22)()(ttrtad dd d ，加速度，加速度等全部物理量的取值。等全部物理量的取值。【思考思考】一定體積氣體分子的狀態如何描述？一定體積氣體分子的狀態如何描述？因此，因此，質點的狀態可用質點的狀態可用軌道來描述。軌道來描述。2021/6/16111.2 位移和速度位移和速度位移位移（displacement）：）：)()(trttrr 路程路程（path）：）：s 平均速度平均速度（av. velocity）：）：trv tsv 平均速率平均速率（av.

7、 speed）：）： r s0r(t+ t)r(t)2021/6/1612zvyvxvztzytyxtxvzyx d dd dd dd dd dd dtrvt 0lim 瞬時速度：瞬時速度： r s0r(t+ t)r(t)trttrttrtd dd d )()(lim0注意：注意： , rs rrrrdd , d d rs 2021/6/1613tstsvtd dd d 0lim瞬時速率：瞬時速率：222zyxvvvvv 切向單位矢量切向單位矢量srtd dd d e e r s0r(t+ t)r(t)te e trvd dd d 瞬時速度和瞬時速率的關系：瞬時速度和瞬時速率的關系：tve e

8、 srtsd dd dd dd d 2021/6/16141.3 加速度加速度tvad dd d zayaxaazyx xr(t+t )r(t) y z 0v (t )v (t+t )vv (t )v (t+t )22trd dd d tvatvatvazzyyxxd dd dd dd dd dd d ,222zyxaaaa 2021/6/1615通過積分求位移和速度：通過積分求位移和速度： ttdtavtvdtvrtr0000)()(【思考思考】把上面兩式寫成分量形式把上面兩式寫成分量形式tvve e 因因，則有，則有tvad dd d 速率變化引起速率變化引起速度方向變化引起速度方向變化引

9、起tvtvttd dd dd dd de ee e 2021/6/1616【例例】2sm20. 4dd tvasm)20. 4(ddttxv 2.80mm)10. 2(2 tx2021/6/1617【例例】按圖中速度按圖中速度時間的關系曲線時間的關系曲線, ,畫出畫出路程時間的關系曲路程時間的關系曲線。線。解：解：2021/6/16181.7 平面極坐標平面極坐標（補充）（補充） 圓周運動圓周運動一、一、平面極坐標平面極坐標O 極軸極軸r),( rPr r 單位矢量單位矢量 ： 單位矢量單位矢量 ：r增加的方向。增加的方向。 增加的方向。增加的方向。 rr 和和 都不是常矢量：都不是常矢量：1

10、、定義定義有心力有心力 問題常問題常在平面極坐標系中處理。在平面極坐標系中處理。rrff )( 雖然雖然長度都為長度都為1，但方向都隨，但方向都隨P點的位置變化而變化。點的位置變化而變化。2021/6/1619xyr= =常數常數 = =常數常數直角坐標和平面極坐標的等坐標線直角坐標和平面極坐標的等坐標線2021/6/1620r 2、 和和 對時間的導數對時間的導數O )( ttr r )( tr rr ttrrd dd dd dd d )(tt )(t rrtt d dd dd dd d)( tr)(t )( ttr )(tt 2021/6/1621 3、平面極坐標中的位矢、平面極坐標中的位

11、矢 速度速度 加速度加速度（1）位矢位矢)( )()(trtrtr rrr trrtrvd) (ddd r rr r r rr r （2）速度速度 vvvr r rvr 徑向速度徑向速度： rv 橫向速度橫向速度：【思考思考】圓周運圓周運動質點的徑向速動質點的徑向速度和橫向速度如度和橫向速度如何表示？何表示？2021/6/1622tvvtvard)(ddd d) d( rr rr rr rtr r rrrrtrd)d(2 rr )2( )(2 rrrrra trtr rd)d(d) d( （3）加速度加速度2021/6/1623 aaar rrrar )(2 徑向加速度徑向加速度： )2( r

12、ra 橫向加速度橫向加速度：【思考思考】圓周運動的質點的徑向加速度和橫圓周運動的質點的徑向加速度和橫向加速度如何表示？向加速度如何表示？2021/6/1624 or Sv rv S二、圓周運動二、圓周運動2021/6/16251、角量和線量角量和線量 角位移：角位移：線位移：線位移：s 角加速度：角加速度：td dd d 線加速度：線加速度：tvad dd d rv S 22td dd d ，若，若 方向不變方向不變 角速度：角速度：, td dd d 線速度：線速度：rtrtsv d dd dd dd d與與 成右手螺旋。成右手螺旋。 v rs,rv ,2021/6/16262、加速度按法向

13、和切向的分解加速度按法向和切向的分解nnttaaae ee e vrone e te e 切向加速度切向加速度, 法向加速度法向加速度nataatana切向切向（橫向）（橫向）法向法向（與徑向相反）（與徑向相反）rn e et e e2021/6/1627法向（向心）加速度：法向（向心）加速度：由速度方向的改變引起的速度的變化率由速度方向的改變引起的速度的變化率沿半徑指向圓心沿半徑指向圓心rrrar )(2 rvvran22 ) (2rr nre 2 nna e 0 r 2021/6/1628 )2( rra 切向加速度：切向加速度： rrtvat d dd d r tratd)(d tvdd

14、 由速度大小的改變引起的速度的變化率由速度大小的改變引起的速度的變化率沿切線指向速度增大的方向沿切線指向速度增大的方向0 r tre tta e vroatana2021/6/1629【思考思考】質點能否按圖示的加速度沿圓周運質點能否按圖示的加速度沿圓周運動？如果能，分別表示什么情形？動？如果能，分別表示什么情形？a4a2a3a10 02021/6/16303、平面曲線運動平面曲線運動（plane curvilinear motion） ：曲率圓曲率圓的曲率半徑的曲率半徑分解成一系列圓周運動分解成一系列圓周運動ntvtvae e 2 e ed dd d te e ne e 2021/6/163

15、1牛頓對絕對空間和時間的定義：牛頓對絕對空間和時間的定義： 絕對空間，就其本性而言，與外界任何事絕對空間，就其本性而言，與外界任何事物無關，而永遠是相似的和不可移動的物無關，而永遠是相似的和不可移動的 Absolut space, in its own nature, without relation to anything external, remains always similar and immovable 一、牛頓的絕對時空觀一、牛頓的絕對時空觀1.8 相對運動相對運動2021/6/1632 絕對、真實與數學的時間本身，由于它的絕對、真實與數學的時間本身，由于它的本性而均勻流逝，與

16、外界任何事物無關本性而均勻流逝，與外界任何事物無關 Absolut, true and mathmatical time of itself and from it own nature, flows equally without relation to anything external 在弱引力、低速（遠低于真空光速）運動情在弱引力、低速（遠低于真空光速）運動情況下，絕對時空觀符合實驗結果。況下，絕對時空觀符合實驗結果。 絕對時空觀：絕對時空觀：對于不同的參考系，長度和對于不同的參考系，長度和時間的測量結果是相同的。時間的測量結果是相同的。2021/6/1633二、二、伽利略變換伽利略變

17、換 Galilean transformationxx );,(tzyxP);,(tzyx yy zz OO SS uutxx tt 設參考系設參考系S 相對相對S作作勻速直線運動勻速直線運動 （平動）（平動）0 ttOO重合時重合時 和和 規定：規定： 時空變換：時空變換：同一時空點的坐標和時間，相對同一時空點的坐標和時間，相對S系和系和S 系的變換關系。系的變換關系。2021/6/1634ttzzyyutxx ,當當uc時，由絕對時空觀得時，由絕對時空觀得伽利略變換：伽利略變換： 對于不同參考系，長度間隔、時間間隔都相對于不同參考系，長度間隔、時間間隔都相同，矢量可按平行四邊形法則疊加。同

18、，矢量可按平行四邊形法則疊加。xx );,(tzyxP);,(tzyx yy zz OO SS uutxx tt 1、伽利略變換伽利略變換2021/6/1635 伽利略變換只適用于低速情況。高速情況伽利略變換只適用于低速情況。高速情況（u c）必須用必須用洛侖茲洛侖茲（Lorentz）變換變換：m時間的測量依賴于參考系時間的測量依賴于參考系m長度的測量也依賴于參考系長度的測量也依賴于參考系 不同參考系中的矢量不能再按平行四邊形不同參考系中的矢量不能再按平行四邊形法則疊加！法則疊加！【思考思考】高速情況下，同一參考系中的兩個矢高速情況下，同一參考系中的兩個矢量還能按平行四邊形法則疊加嗎？量還能按

19、平行四邊形法則疊加嗎？ttzzyyutxx ,伽利略變換是線性的伽利略變換是線性的時空的性質時空的性質2021/6/16362、速度的變換速度的變換OOrrvv uuSSoorrxx ptttrtrvd dd dd dd d 絕對速度等于相對速度和牽連速度的矢量和。絕對速度等于相對速度和牽連速度的矢量和。uvv uv tOOtrd dd dd dd d 2021/6/1637【例例】河水向東流速為河水向東流速為10km/h,船相對河水向船相對河水向北偏西北偏西30o航行，航速為航行，航速為20km/h。此時向西刮。此時向西刮風，風速為風，風速為10km/h。求在船上觀察煙囪冒出。求在船上觀察煙

20、囪冒出的煙的飄向的煙的飄向（即風相對船的速度方向）。（即風相對船的速度方向）。東東西西北北南南v船水船水3030 2020v風船風船v水地水地1010v風地風地1010v船地船地3030 煙的飄向：煙的飄向：向向南偏西南偏西30ov風船風船= v風地風地v船地船地v風地風地= v風船風船+ v船地船地v船地船地= v船水船水+ v水地水地2021/6/1638tvad dd d 3、加速度的變換加速度的變換 在相對作勻速直線運動的參考系中，同一質在相對作勻速直線運動的參考系中，同一質點的加速度相同。點的加速度相同。aa 0aa tutvd dd dd dd d 0aaa 絕對加速度絕對加速度相

21、對加速度相對加速度牽連加速度牽連加速度如果參考系相對作勻速直線運動如果參考系相對作勻速直線運動, ,則則若若S 系系相對相對S系轉動，速度和加速度如何變換？系轉動，速度和加速度如何變換？2021/6/16391.9 科里奧利加速度科里奧利加速度( (補充補充) )Coriolis acceleration設盤設盤S 相對相對S 系（慣性系）均速轉動。系（慣性系）均速轉動。 求在求在S系和系和S系中，同一質點系中，同一質點P的速度、加的速度、加速度的變換關系。速度的變換關系。O rS 系系S 系系v（常矢量）（常矢量）P2021/6/1640G（任意矢量）（任意矢量）ztGytGxtGtGzyx

22、*dddddddd ) (ddddzGyGxGttGzyx z x y S系（固定）系（固定）S 系（轉動）系（轉動）tGddtGdd*tG ddtG dd*和和之間的關系？之間的關系？求求ytxdd xtydd 2021/6/1641GtGtG* dddd一個數學定理：一個數學定理：z ztGytGxtGtGzyx*dddddddd ) (ddddzGyGxGttGzyx 固定系固定系轉動系轉動系 轉動角速度轉動角速度其中其中2021/6/1642zGyGxGGzyx 證明：證明：ztGxGytGyGxtGzyyxxdddddd ztGtyGytGtxGxtGtGzyyxxddddddddd

23、ddd ytxdd xtydd, xGyGztGytGxtGyxzyxdddddd xGyGtGyxdd* 2021/6/1643zyxGGGzyxG00 GtGtG* ddddxGyGtGtGyxdddd* xGyGyx 即得即得2021/6/1644rvv 絕對絕對速度速度相對速度相對速度牽連速度牽連速度1、速度的變換、速度的變換O rS 系系S 系系（常矢量）（常矢量）vv=?=?( (相對相對S系系) () (相對相對S 系系) () (S 系轉動引起）系轉動引起）rGrtrtr dddd,*2021/6/1645O rS 系系S 系系（常矢量）（常矢量）varaa2 v 2絕對加速度

24、絕對加速度科里奧利加速度科里奧利加速度a=?=?2、加速度的變換、加速度的變換設相對圓盤，設相對圓盤，質點速度為質點速度為 ，加速度為加速度為 ：v a 向心加速度向心加速度相對加速度相對加速度2021/6/1646vtvtv* ddddvGvtrtv* dddd vrvt* )(dd vva )(rvva vra 22vra 2)()()()(BACCABCBA 証：証：2021/6/1647vac 2科里奧利加速度科里奧利加速度考慮到方向，有考慮到方向，有oABB A t 時刻時刻 v Ct+ + t時刻時刻ca弧弧AA 弧弧BC 沿沿比沿比沿速度大速度大221tac BABB弧弧vac

25、22tv ttv 對科里奧利加速度的一個定性解釋：對科里奧利加速度的一個定性解釋：設質點沿徑設質點沿徑向勻速運動向勻速運動2021/6/1648【例例】在極坐標系中，證明上述結論。在極坐標系中，證明上述結論。 rr rv tvadd rrr r r rrr2 科里奧利加速度：科里奧利加速度：由盤的轉動由盤的轉動 和質點相對和質點相對盤的運動盤的運動 共同引起！共同引起！ v 0, r rvrr 22rr r 22vr r 2021/6/1649速度和加速度速度和加速度的性質的性質總結總結 相對性：相對性：必須指明參考系必須指明參考系 矢量性：矢量性：有大小和方向，可進行合成與分解，有大小和方向

26、，可進行合成與分解， 合成與分解遵守平行四邊形法則。合成與分解遵守平行四邊形法則。 瞬時性：瞬時性：大小和方向可以隨時間改變大小和方向可以隨時間改變當當u c時有伽利略速度變換和加速度變換。時有伽利略速度變換和加速度變換。2021/6/16501.10 相圖相圖( (補充補充) )以擺的相圖為例簡單介紹。以擺的相圖為例簡單介紹。【演示實驗演示實驗】單擺單擺 混沌擺混沌擺 相圖比運動函數提供更多的相圖比運動函數提供更多的信息，可包括完整的運動學內信息，可包括完整的運動學內容。容。相圖也可用來描述運動狀態。相圖也可用來描述運動狀態。 0剛性剛性輕桿輕桿 位移與速度，或角位移與角速度的關系圖稱位移與速度，或角位移與角速度的關系圖稱為為相圖相圖 2021/6/1651t cos0 1、小幅擺動、小幅擺動 0剛性剛性輕桿輕桿相圖：相圖：12022202 （橢圓）