1、 學學 院院本科畢業論文(設計) 題題 目目 簡諧振動速度測量的誤差分析 院院 系系 物理與電子工程學院 專專 業業 物理學 姓姓 名名 學學 號號 3 學習年限學習年限 指導教師指導教師 2010 年 05 月 27 日 1簡諧振動速度測量的誤差分析 摘 要: 針對簡諧振動實驗數據處理存在的問題進行分析, 提出以 到的平ttt均速度表示時刻的瞬時速度而不是 時刻的瞬時速度, 利用多項式最小二乘法2ttt擬合實驗數據得到與理論計算相吻合的振動曲線.關鍵詞: 簡諧振動; 誤差分析 2Error analysis of simple harmonic vibration velocity meas

2、urement ABSTRACT: As to the experimental data processing for the problem of simple harmonic analysis, using average speed from to to express the tttinstantaneous velocity at rather than is proposed. Polynomial least-2tttsquares fitting of experimental data obtained is consistent with the theoretical

3、 calculation of the vibration curve.KEYWORDS：Simple harmonic vibration, Error analysis 目 錄引引 言言.11 簡諧振動的簡諧振動的V -t關系關系.21.1 理論模型.21.2 實驗方法.22 誤差分析誤差分析.52.1 初始速度設定.52.2 擬合曲線與誤差分析.63 修正方案修正方案.93.1 理論分析.93.2 修正方案.9總總 結結.14參考文獻參考文獻.14 引引 言言振動現象廣泛地存在于自然界中, 一切復雜的振動都可表示為多個簡諧振動的合成, 因此, 熟悉簡諧振動的規律是非常重要的, 從而引起人

4、們的關注13. 簡諧振動的運動規律, 可根據牛頓第二運動定律并用數學方法來導出, 在這里我們通過實驗的方法來驗證理論結果. 在氣墊導軌上研究簡諧振動的關系, 通過對通常采用的方法vt進行分析, 找出誤差的原因, 修正實驗系統誤差, 更好的驗證簡諧振動的關系. 從vt中掌握系統誤差修正的方法與思路. 1 簡諧振動的簡諧振動的關系關系V -t1.1 理論模型理論模型在水平氣墊導軌上研究簡諧振動規律的裝置如圖 1.1 所示. 質量為的滑塊在水m平方向所受彈性力為 (1.1)12()Fkkx 令,其中、分別為左面彈簧12kkk2k m1k2k和右面彈簧的倔強系數, 為彈簧振子總的倔強系數, k而為彈簧

5、振子的振動圓頻率. 應用牛頓第二定律則有 (1.2)2220d xxdt其解為, , 這里 和分別為 時刻的位移與速度, sin()xAtcos()tvAtxtvt為彈簧振子振動的振幅, 為振動初位相. 如果選擇時, , 則, 從而有A0t 0 x 0 (1.3)sinxAt (1.4)cos()tvAt1.2 實驗方法實驗方法實驗分為兩個方面a. 實驗測定系統的圓頻率將光電門置于滑塊的平衡位置, 平板型擋光片的擋光前沿位于光電門處, 用數1G字毫秒計測出周期, 進而由得出圓頻率. 選擇進行測量(共測T2T20.00cmA 量五次), 結果見表 1.1.b. 實驗測定關系vt將光電門置于滑塊的

6、平衡位置, 平板型擋光片的擋光前沿位于光電門處, 用1G數字毫秒計測出周期, 進而由式得出圓頻率. T2T將平板形擋光片換成型擋光片, 光電門分別置于滑塊平衡位置右側距平衡U2G位置約處, 準確數據由固定光電門后用米尺測量確定. 滑塊拉至左側距光12,nx xxm1k圖 1.1 彈簧振子示意圖Ox2k 電門(即平衡位置)(振動振幅)處,然后釋放, 這樣滑塊上的型擋光片將依次通1GAU過光電門和光電門.由數字毫秒計測出型擋光1G2GU片的第一個擋光前沿通過兩光電門的時間間隔, 也就是滑塊通過兩光電門之間的時間間隔 及形擋光片tU第一個擋光前沿和第二個擋光前沿通過光電門的2G時間間隔. 若所用的型

7、擋光片的擋光寬度為, 用表示滑塊通過光電tUdevdt門處時的速度. 當光電門分別置于處時, 得到一組及對應2G2G12,nx xx12,nt tt的, 由此得出速度與時間 之間的關系. 12,eeenvvvevt表 1.1 的計算程序:%計算 N 個測量值的算術平均值、殘差、實驗標準偏差和平均值的實驗標準誤差程序。clearhn=1055.68,1055.69,1055.92,1055.72,1055.77; %填入 N 個測量值，每個數據之間用逗號分開。nn=size(hn);N=nn(2);hp=0;for n=1:N; hp=hp+hn(n)/N;endfor n=1:N; vhn(n

8、)=abs(hn(n)-hp);endfor n=1:N; vhn2(n)=(hn(n)-hp)2;endsigma2=0;for n=1:N; sigma2=sigma2+vhn2(n)/(N-1);1G圖 2 測量時間與位移關系示意圖.2GnxA endsigman=sqrt(sigma2);s= sigman/sqrt(N);hp,vhn,sigman, s %hp 代表算術平均值,vhn 代表殘差,sigman 實驗標準誤差, s 平均值的實驗標準誤差。%end結果：1055.760.05表.1 簡諧振動角頻率 T msT ms1s1055.681055.691055.92 1055.

9、760.05 5.95130.00031055.721055.77 2 誤差分析誤差分析2.1 初始速度設定初始速度設定由實驗得出速度與時間 之間的關系. 并以速度理論計算值與實evtcostvAt驗測量值進行比較, 并計算二者間的相對誤差, 結果見表 2.1.%100%tetvvv理論計算得到滑塊通過原點處的光電門時的速度為:,cos20.00 5.9513119.03 cm setvvAt所以實驗時應該保持每次測量時通過光電門的時間為:. -31 119.038.401 10ts 表.1 實驗數據與誤差結果 x cmt mst ms1evcm s1tvcm s100%tetvvv 0.10

10、 0.00 8.401 119.027 119.027 0.05.88 49.75 8.89 112.49 113.85 1.29.90 86.20 9.97 100.30 103.70 2.414.00 129.95 12.28 81.43 85.17 4.418.25 190.84 23.82 41.98 50.16 16.3從表中的結果看, 實驗值與理論值的誤差最大為 16.3%, 這遠遠超出了儀器evtv誤差的范圍. 是無法接受的結果, 如果承認這個結果, 那說明理論是有偏差的, 這顯然是不對的, 問題應該出在實驗上.為了更清楚的顯示理論結果與實驗結果存在的差異, 我們使用 Matla

11、b 對實驗數據進行擬合,實驗數據計算位移、速度與時間的關系的擬合多項式程序:clearA=20.00; %輸入振幅w=5.9513; %輸入圓頻率 t=0,49.75,86.20,129.95,190.84*10(-3); %輸入時間dt=8.401,8.89,9.97,12.28,23.82*10(-3); %輸入時間間隔ve=1./dt; %計算實驗測定的速度xe=0.1,5.88,9.90,14.00,18.25 %實驗測定的位移vt=A*w*cos(w*t); %計算理論公式計算的速度xt=A*sin(w*t); %計算理論公式計算的位移dv=abs(vt-ve)./vt)*100;

12、%計算速度的相對誤差dx=abs(xt-xe)./xt)*100; %計算位移的相對誤差pv=polyfit(t,ve,3); %生成擬合多項式(向量形式),階次為 3pvt=poly2str(pv,t); %生成擬合多項式(字符形式)px=polyfit(t,xe,3); %生成擬合多項式(向量形式),階次為 3pxt=poly2str(px,t); %生成擬合多項式(字符形式)pvt,pxt,ve,vt,xe,xt,dv,dx %依次輸出擬合多項式，實驗測定的速度，理論計算的速度，相對誤差%end2.2 擬合曲線與誤差分析擬合曲線與誤差分析由實驗數據計算位移與時間的關系所得擬合多項式為:.

13、 (2.1)32=547.1023 -22.2448119.28680.094809xttt速度與時間的關系, 即: . (2.2)32=316.19421931.207646.88499119.1185vttt通過擬合方程(2.1)、(2.2)作圖 2.1 和圖 2.2. 圖 2.1 計算程序 :clearA=20;w=5.9513;t=0:1*10(-3):200*10(-3);xn=-358.7916*t.3-83.9452*t.2+124.718*t-0.0004482;xt=A.*sin(w.*t);te=0,49.75,86.20,129.95,190.84*10(-3); %輸入

14、時間xe=0.10,5.88,9.90,14.00,18.25 %實驗測定的位移 圖 2.1. 實線, 點線及星號分別表示, 位移與時間關系的理論計算曲線、實驗數據擬合曲線和實驗點.圖 2.2. 實線, 點線及星號分別表示, 速度與時間關系的理論計算曲線、實驗數據擬合曲線和實驗點.plot(t,xn, :k,t,xt,-k,te,xe,*k,LineWidth, 2)xlabel (fontsize14rmt/s, Color,k)ylabel (fontsize14rmx/cm, Color,k)legend(實驗擬合曲線, 理論計算曲線, 實驗數據點)grid onaxis(0 0.2 0

15、 20)%end圖 2.2 計算程序 :clearA=20;w=5.9513;t=0:1*10(-3):200*10(-3);vn=316.1942*t.3-1931.2076*t.2-46.88499*t+119.1185;vt=A*w.*cos(w.*t);te=0,49.75,86.20,129.95,190.84*10(-3); %輸入時間dt=8.401,8.89,9.97,12.28,23.82*10(-3); %輸入時間間隔ve=1./dt; %計算實驗測定的速度plot(t,vn, :k,t,vt,-k,te,ve,*k,LineWidth, 2)xlabel (fontsiz

16、e14rmt/s, Color,k)ylabel (fontsize14rmv/(cm.s-1), Color,k)legend(實驗擬合曲線, 理論計算曲線, 實驗數據點)grid on從實驗數據擬合的位移曲線看, 與理論計算得到的曲線幾乎完全重合. 但是由實驗數據擬合所得的速度曲線與理論計算得到的曲線卻存在較大的誤差. 由此判斷誤差 的來源不應該是測量引入的誤差, 應該是數據處理方法帶來的誤差.如果將(2.1)求導, 我們得到. (2.3)2=-3 547.10232 22.2448119.2868dvtt 由其是由(2.3)式得到曲線與實際測量所得到的曲線如圖 2.3, 兩者相符程度也大

17、大好于(2.2)與實驗擬合曲線. 這將從另一方面說明了誤差的來源應該是數據處理方法不當所致.圖 2.3 計算程序 :clearA=20;w=5.9513;t=0:1*10(-3):200*10(-3);vn=316.1942*t.3-1931.2076*t.2-46.88499*t+119.1185;vt=A*w.*cos(w.*t);vd=-3*547.1023*t.2-2*22.2448*t+119.2868;plot(t,vn,:k,t,vt,-k,t,vd,-k,LineWidth, 2)xlabel (fontsize14rmt/s, Color,k)ylabel (fontsize

18、14rmv/(cm.s-1), Color,k)legend( 實驗擬合曲線,理論計算曲線, 時間與位移關系求導曲線)grid on圖 2.3.點線、實線及虛線分別表示:實驗擬合的速度與時間關系曲線、理論計算曲線和時間與位移關系擬合式求導得到的速度與時間的關系曲線. 3 修正方案修正方案3.1 理論分析理論分析以上我們是把認為是 時刻的瞬時速度與進行比較的, 而實際上是evttvevdt滑塊在時間內的平均速度, 所以用與用算出的 時刻的瞬時ttt vevcosvAtt速度比較顯然存在問題. 那么應該用什么時刻的與進行比較呢? 應該是用在時tvevt間內瞬時速度等于平均速度的那個時刻的與進行比較

19、, 即應該用ttvev( )v tv 與進行比較. 接下來的問題是如何求得, 對于簡諧振動有()tttt evt, (3.1)( )costv tAt (3.2)()( )sin()sinsin2cos()()22x ttx tAttAtttvAtttttt令上面兩式相等得.sin2coscos()22ttAtAtt 由此得;. (3.3)sin2arccos cos()22ttttt 如果認為, 則由(3.3)式得0t (3.4)tt 從而有 (3.5)( )costv tAt 這種近似實際上是把簡諧振動在時間內的運動看作是在作勻速運動. 前面的t與的比較就是在假定這樣的條件下進行的, 而實

20、際上滑塊的運動是變加速運動, tvev從而帶來較大的誤差.3.2 修正方案如果認為比較小, 即, , 則由(3.3)式得t0t sin221tt (3.6)2ttt 因而有 (3.7)( )cos()2ttv tAt 取此近似其實質是把滑塊在時間內的運動看作是勻變速運動, 對于均變速運動, t時刻的平均速度等于時刻的即時速度. 由于在時間內, 振動滑塊ttt 2ttt移動的距離很小, 在此范圍內, 彈性力的變化可以忽略, 因此在這一小段時間內近似作為勻變速運動是合理的. 雖然用公式(3.3)計算所得的值要略大于公式(3.6), 但對位移與時間的關系曲線的修正基本上可忽略不計. 因此為簡單我們用

21、時刻的2ttt 與進行比較, 結果見表 3.1. 0.0375 0.3557 1.5925 0.7829 0.9729tvev表 3.1 采用勻變速近似后的誤差 t mst ms2mstt1evcm s1tvcm s100%tetvvv 0.00 8.401 4.201 119.0334 118.9888 0.03749.75 8.89 54.20 112.4859 112.8875 0.3686.20 9.97 91.19 100.3009 101.9241 1.6129.95 12.28 136.09 81.4332 82.0758 0.79190.84 23.82 202.75 41.9

22、815 42.3940 0.98從表中結果看出, 采用上述近似后, 與的相對誤差已明顯減小, 即已經能較好evtv的驗證簡諧振動的關系. 由表 3.1 數據中實驗測得的速度對應時間為, vtev2tt可以得到新的速度與時間的擬合方程.(3.8)式擬合程序:clearA=20.00; %輸入振幅w=5.9513; %輸入圓頻率t=4.2005,54.20,91.19,136.09,202.75*10(-3); %輸入時間dt=8.401,8.89,9.97,12.28,23.82*10(-3); %輸入時間間隔ve=1./dt; %計算實驗測定的速度vt=A*w*cos(w*t); %計算理論公

23、式計算的速度dv=abs(vt-ve)./vt)*100; %計算速度的相對誤差 pv=polyfit(t,ve,3); %生成擬合多項式(向量形式),階次為 3pvt=poly2str(pv,t); %生成擬合多項式(字符形式)pvt,dv新的速度與時間的擬合方程: (3.8)32=1973.14712185.88218.7755119.2265vttt由式(1.4)和(3.8)繪制速度與時間的關系曲線如圖 3.1.圖 3.1 程序:clearA=20;w=5.9513;t=0:1*10(-3):250*10(-3);vn=1973.1645*t.3-2185.5947*t.2-18.774

24、8*t+119.2265;vt=A*w.*cos(w.*t);te=0,49.75,86.20,129.95,190.84*10(-3); %輸入時間dt=8.401,8.89,9.97,12.28,23.82*10(-3); %輸入時間間隔td=te+dt/2;ve=1./dt; %計算實驗測定的速度plot(t,vn, :k,t,vt,-k,td,ve,*k,LineWidth, 2)xlabel (fontsize14rmt/s, Color,k)ylabel (fontsize14rmv/(cm.s-1), Color,k)legend(實驗擬合曲線, 理論計算曲線, 實驗數據點)gr

25、id onset(gca,ygrid,on,GridLineStyle,-)set(gca,xgrid,on,GridLineStyle,-)axis(0 0.2 40 120)圖 3.1 與圖 2.2 比較吻合程度已經大大提高. 但理論值均大于實測值, 這說明仍然存在系統誤差, 其誤差來源主要是由于未考慮阻尼的影響, 空氣阻力的存在將使. 如etvv果考慮空氣阻尼, 則方程(1.3)、(1.4)應改寫為如下形式: (3.9) sin,txAet (3.10) cossin.ttvA etA et 使用擬合方程(3.8)和考慮阻尼因素后的方程 (3.10)重新繪制速度與時間的關系曲線圖 3.2, 其中阻尼系數取(由實驗測定), 從圖上觀察發現此時實線10.0170.001s與點線已基本重合.圖 3.2 計算程序:clearA=20;w=5.9513;d=0.017;t=0:1*10(-3):250*10(-3);vn=1973.1645*t.3-2185.5947*t.2-18.7748*t+119.2265;vt=A*w.*exp(-d*t).*cos(w.*t)-A*d.*exp(-d*t).*sin(w.*t);te=0,49.75,86.20,1