1、多面體外接球半徑常見的5種求 法（柯建華）多面體外接球半徑常見的5種求法如果一個多面體的各個頂點都在同一個球面上，那么稱這個多面體是球的內 接多面體，這個球稱為多面體的外接球.有關多面體外接球的問題，是立體幾何的一 個重點，也是高考考查的一個熱點.研究多面體的外接球問題，既要運用多面體的知 識，又要運用球的知識，并且還要特別注意多面體的有關幾何元素與球的半徑之間 的關系，而多面體外接球半徑的求法在解題中往往會起到至關重要的作用知識回顧：1、球心到截面的距離d與球半徑R及截面的半徑有以下關系2、球面被經過球心的平面截得的圓叫 .被不經過球心的平面截得 的圓叫3、球的表面積表面積 S= ;球的體積

2、V=4、球心一定在過多邊形（頂點均在球面上）外接圓圓心且垂直此多邊形所在 平面的垂線上方法一：公式法例1 一個六棱柱的底面是正六邊形， 其側棱垂直于底面，已知該六棱柱的頂點都在同一個球面上，且該六棱柱的體積為 9,底面周長為3,則這個球的體積8為 .設正六棱柱的底面邊長為x ,高為h ,則有986x 3,.3 2.6 x h,41 x 2, h 、3.，正六棱柱的底面圓的半徑r尖球心到底面的距離d條二外接球的半徑r L 1. V球43小結：本題是運用公式R2 r2 d2求球的半徑的，該公式是求球的半徑的常用公 式.（R-球的半徑；d-球心到球截面圓的距離，注意球截面圓通常是頂點在球上多邊 形的

3、外接圓；r-頂點在球上多邊形的外接圓的半徑）方法二：多面體幾何性質法例2已知各頂點都在同一個球面上的正四棱柱的高為4,體積為16,則這個球的表面積是（）A. 16 B. 20 C. 24 D. 32解：設正四棱柱的底面邊長為X,外接球的半徑為R,則有4x2 16,解得x 2. 2R J2 22 42 276,R而.這個球的表面積是4 R2 24 .選C.小結：本題是運用“正四棱柱體（包括正方體、長方體）對角線的長等于其外 接球的直徑”這一性質來求解的.方法三：補形法例3：若三棱錐的三個側面兩兩垂直，且側棱長均為 套，則其外接球的表面積 是一解：據題意可知，該三棱錐的三條側棱兩兩垂直，.把這個三

4、棱錐可以補成一 個棱長為 心的正方體，于是正方體的外接球就是三棱錐的外接球.222設其外接球的半徑為R,則有2RV333V3 9. R2 -.4故其外接球的表面積S 4 R2 9 .小結：一般地，若一個三棱錐的三條側棱兩兩垂直，且其長度分別為a、b、c,則就可以將這個三棱錐補成一個長方體，于是長方體的體對角線的長就是該三棱錐 的外接球的直徑.設其外接球的半徑為R,則有2R Ja2 b2 c2.AAPA PR PC兩兩垂直采用補形法方法四：尋求軸截面圓半徑法例4正四棱錐S ABCD的底面邊長和各側棱長都為72 ,點 S、A B、C、D 都在同一球面上，則此球的體積為解 設正四棱錐的底面中心為Oi

5、 ,外接球的球心為O,如圖3所示.由球的截面的性質，可得 OOi平面ABCD.又SOi平面ABCD，.二球心O必在SO所在的直線上. . ASC的外接圓就是外接球的一個軸截面圓，外接圓的半徑就是外接球的半徑.在 ASC中，由 SA SC 在，AC 2,得 SA2 SC2 AC2.ASC是以AC為斜邊的Rt.卷1是外接圓的半徑，也是外接球的半徑.故V球43小結：根據題意，我們可以選擇最佳角度找出含有正棱錐特征元素的外接球的一個軸截面圓，于是該圓的半徑就是所求的外接球的半徑.本題提供的這種思路是探求正棱錐外接球半徑的通解通法，該方法的實質就是通過尋找外接球的一個軸截面圓，從而把立體幾何問題轉化為平

6、面幾何問題來研究 .這種等價轉化的數學思想方法 值得我們學習.方法五：確定球心位置法例5 在矩形ABCD中，AB 4,BC 3 ,沿AC將矩形ABCD折成一個直二面角B AC D ,則四面體ABCD的外接球的體積為A.125B.1259C.1256D.1253解：設矩形對角線的交點為O,則由矩形對角線互相平分，可知OA OB OC OD .點O到四面體的四個頂點A、B、C、D的距離相等，即點。為四面體的外接球的球心，如圖2所示.外接球的半徑R OA 5 .故V球4 R3 125 .選C.236小結：若四面體或三棱錐的一條棱所對的兩個頂角都是直角，則利用直角三角 形知識可知：四面體外接球的球心就是這條棱的中心，球的半徑等于此棱長度的一 半。【練習鞏固】練習1 （陜西,2010）如圖，在三棱錐P-ABC 中，FA1 平血= =2802 , 求其外接球的體積。p練習2 （全國卷，2010）已知三棱錐的各條 棱長均為1，求其外接球的表面積Q練習3 （河北,2012）如圖，在四面體ABCD 中，四二DC二廂，AD=BCe&BD=AC二了, 求其外接球的表面積0【參考答案】練習1【補形法】練習2【補形法】AOOE3A冗R差.已知三棱柱48。ZAfiC=30Q知球。的表面租租為且150 萬艮100打辦、50打若三棱則或力的體積為、2&q