1、第十二章全等三角形 測試1全等三角形的概念和性質學習要求1.理解全等三角形及其對應邊、對應角的概念；能準確辨認全等三角形的對應元素.2.掌握全等三角形的性質；會利用全等三角形的性質進行簡單的推理和計算，解決某課堂學習檢測一、填空題 1 .的兩個圖形叫做全等形. 2 .把兩個全等的三角形重合到一起，叫做對應頂點；叫做對應邊；叫做對應角.記 兩個三角形全等時，通常把表示 的字母寫在 上. 3 .全等三角形的對應邊 ,對應角,這是全等三角形的重要性質. 4 .如果AABC A DEF,則AB的對應邊是 , AC的對應邊是 , / C的對應角是 , / DEF 的對應角是 .用1115 .如圖 11

2、所示，AabcAdCB. （1）若/ D=74° / DBC = 38° ,則/ A = / ABC = （2）如果AC=DB,請指出其他的對應邊 ； （3）如果AAOBADOC,請指出所有的對應邊 ,對應角 .6 .如圖 12,已知 ABE0 DCE, AE= 2 cm, BE= 1.5 cm,2A=25° ， B B=48° ；那 么 DE =cm, EC=cm, / C = ； / D = 7 . 一個圖形經過平移、翻折、旋轉后， 變化了，但 都沒有改變，即平移、 翻折、旋轉前后的圖形 二、選擇題8.已知：如圖1 3, A ABDCDB ,若AB

3、H CD,則AB的對應邊是 ()8 . BCA . D B9 .下列命題中，真命題的個數是 全等三角形的周長相等 全等三角形的面積相等 A . 4B. 3C. CD.( ).全等三角形的對應角相等* 面積相等的兩個三角形全等 C. 2D. AD10.如圖1 4, ABCA BAD , A和B、C和D是對應頂點，如果D. 1AB=5, BD = 6, AD=4,那么BC等于（） A. 6B- 5圖1-4圖1-511.如圖1 5, ABC = A AEF,若/ ABC和/ AEF是對應角，則/ EAC等于 （）A . / ACBB . / CAFC . / BAF 12.如圖 1 6, ABCAA

4、DE,若/ B=80° ， / C=30 度數為.（）.A . 40b. 35c. 30三、解答題D. / BAC ,/ DAC = 35 ° ,則/ EAC 的 d. 2513.已知：如圖1 7所示，以B為中心，將RtEBC繞B點逆時針旋轉90°得到 ABD , 若/ E=35° ,求/ ADB的度數.圖118用119綜合、運用、診斷 一、填空題 14 .如圖1 8, ABE和ADC是 ABC分別?占著AB, AC翻折180°形成的若/ 1：/2：/ 3= 28 ： 5 ： 3,則/ a的度數為. 15 .已知：如圖 19, ABC = A

5、DEF , / A=85° ， / B=60° ， AB=8, EH = 2. （1）求/ F的度數與DH的長；（2）求證：AB/DE.拓展、探究、思考16 .如圖1-10, AB±BC, AABEAECD.判斷AE與DE的關系，并證明你的結論.圖 1 10測試2三角形全等的條件（一） 學習要求 1.理解和掌握全等三角形判定方法 1 “邊邊邊”， 2.能把證明一對角或線段相等的問題，轉化為證明它們所在的兩個三角形全等. 課堂學習檢測 一、填空題 1 .判斷 的 叫做證明三角形全等. 2 .全等三角形判定方法 1 “邊邊邊”（即 ）指的是3 .由全等三角形判定方法

6、1 “邊邊邊”可以得出：當三角形的三邊長度一定時，這個 三角形的 也就確定了.圖22 圖23 4.已知：如圖2-1, RPQ中，RP=RQ, M為PQ的中點.求證：RM平分/ PRQ.分析：要證 RM平分/ PRQ,即/ PRM= 只要證 叁證明：:M為PQ的中點（已知）， 在 和 中， RP RQ(已知),PM , (),色(). / PRM=() . R M 5 .已知：如圖 2 2, AB=DE, AC= DF , BE= CF. 求證：/ A=/ D. 分析：要證/ A=Z D,只要證 9. 證明：= BE = CF (),BC =. 在 ABC和DEF中， AB ,BC ,AC ,9

7、 ( ) . / A=/ D () . 6 .如圖 2 3, CE=DE, EA=EB, CA=DB, 求證： abcA bad. 證明：CE=DE, EA=EB,即=. 在 ABC和BAD中， = (已知)， (已知), (已證), (), abgabad().綜合、運用、診斷一、解答題7 .已知：如圖 2 4, AD = BC. AC=BD.試證明：/ CAD = / DBC . 8 .畫一畫. 已知：如圖25,線段a、b、c. 求作：A ABC,使得 BC=a, AC=b, AB = C.圖25 9 . “三月三，放風箏”.圖 2 6是小明制作的風箏，他根據DE = DF, EH= FH

8、,不用度量，就知道/ DEH = / DFH.請你用所學的知識證明.圖26 拓展、探究、思考 10 .畫一畫，想一想： 利用圓規和直尺可以作一個角等于已知角，你能說明其作法的理論依據嗎?測試3三角形全等的條件 （二） 學習要求 1.理解和掌握全等三角形判定方法 2 “邊角邊”.2.能把證明一對角或線段相等的問題，轉化為證明它們所在的兩個三角形全等 課堂學習檢測 一、填空題 1 .全等三角形判定方法 2 “邊角邊”（即）指的是2 .已知：如圖 31, AB、CD 相交于。點，AO = CO, OD = OB . 求證：/ D=/ B. 分析：要證/ D=Z B,只要證 9 證明：在 AOD與CO

9、B中， AO CO(),(),OD (), AODA () ./ D = / B () . 3.已知：如圖 32, AB/CD, AB=CD.求證： AD H BC . 分析：要證 AD / BC,只要證/ =Z , 又需證 9.證明：AB/ CD (),: 4= 4 <).，.在和中， (), (), (),A 0 A ().,: 4= 4 .(). ./( ) . 綜合、運用、診斷 一、解答題 4 .已知：如圖 33, AB = AC, / BAD=/CAD. 求證：/ B= / C.圖3-3 5 .已知：如圖 3 4, AB = AC, BE=CD. 求證：/ B= / C.圖3-

10、4 求證：BC = DE.圖35 拓展、探究、思考 7.如圖3- 6,將兩個一大、一小的等腰直角三角尺拼接（A、B、D三點共線，AB=CB, EB=DB, / ABC=/ EBD=90° ）,連接 AE、CD,試確定 AE與CD的位置與數量關 系，并證明你的結論. 測試4三角形全等的條件 （三） 學習要求 1 .理解和掌握全等三角形判定方法 3 “角邊角”，判定方法 4 “角角邊”；能 運用它們判定兩個三角形全等. 2 .能把證明一對角或線段相等的問題，轉化為證明它們所在的兩個三角形全等. 課堂學習檢測 一、填空題 1. （1）全等三角形判定方法 3 “角邊角”（即 ）指的是 , （

11、2）全等三角形判定方法 4 “角角邊”（即）指的是 圖4 1 2.已知：如圖 41, PM = PN,2M = /N.求證：AM=BN. 分析：PM=PN,要證 AM=BN,只要證 PA= 只要證 9. 證明：在4 與/中， (), (),(),叁' ().?PA= .(). .PM = PN (),PM=PN ，即 AM=. 3 .已知：如圖 4-2, ACBD.求證：OA=OB, OC=OD. 分析：要證 OA=OB, OC=OD,只要證 9. 證明：: A C / B D, ，/ C=.在與4 中， AOC (),C (), (),.:- .( .OA= OB, OC= OD (

12、) .圖4-2 二、選擇題 4 .能確定 ABC = IDEF的條件是 ()A . AB= DE, BC= EF, / A= / E B. AB=DE, BC = EF,2C=/ EC. /A=/E, ab=ef, /b=/d D. /A=/D, AB = DE,2B=/E 5.如圖4 3,已知 ABC的六個元素，則下面甲、乙、丙三個三角形中，和 ABC全等的圖形是 （）圖4-3A .甲和乙B.乙和丙C.只有乙D.只有丙 6. AD是ABC的角平分線，作 DE±AB于E, DF±AC于F,下列結論錯誤的是（）A. DE=DFB. AE= AFC. BD = CDD. / A

13、DE = / ADF 三、解答題 7.閱讀下題及一位同學的解答過程：如圖4-4, AB和CD相交于點O,且OA= OB, Z A=/ C.那么 AOD與COB全等嗎？若全等，試寫出證明過程；若不全等，請說明理 由. 答： aoda cob. 證明：在 AOD和COB中，圖4-4 A C（已知），OA OB（已知），AOD COB（對頂角相等），AAODA COB （ASA） . 問：這位同學的回答及證明過程正確嗎？為什么?綜合、應用、診斷8 .已知：如圖 45, AB±AE, AD±AC,/E=/B, DE=CB.求證：AD=AC.圖4-5 9 .已知：如圖 46,在 MP

14、N中，H是高MQ和NR的交點，且 MQ=NQ. 求證：HN = PM. 10 .已知：AM是A ABC的一條中線，BE，AM的延長線于 E, CFAM于F, BC=10, BE =4.求8”、CF的長.拓展、探究、思考 11 .填空題 （1）已知：如圖 4- 7, AB=AC, BDAC 于 D, CEAB 于 E.欲證明 BD = CE,需 證明A,理由為. （2）已知：如圖4-8, AE = DF , Z A=Z D,欲證A ACE且A DBF ,需要添加條件 , «證明全等白理由是 ;或添加條件,證明全等的理由是 ;也可以 添加條件,證明全等的理由是.圖4 - 7 圖4 8 1

15、2 .如圖49,已知AABCAA'BC', AD、A'D'分別是A ABC和A A'B'C'的角平分線. (1)請證明 AD = A'D'；（2）把上述結論用文字敘述出來； （3）你還能得出其他類似的結論嗎?圖49 13 .如圖410,在 ABC中，/ ACB=90° , AC= BC,直線l經過頂點 C,過A B兩點 分別作l的垂線AE、BF, E、F為垂足.(1)當直線l不與底邊AB相交時，求證：EF=AE+BF.B圖 4- 10（2）如圖411,將直線l繞點C順時針旋轉，使l與底邊AB交于點D,請你探究直

16、線l在如下位置時，EF、AE、BF之間的關系. AD>BD； AD=BD； ADBD.圖 4-11測試5直角三角形全等的條件 學習要求 掌握判定直角三角形全等的一種特殊方法一 “斜邊、直角邊"（即“HL”），能熟練 地用判定一般三角形全等的方法及判定直角三角形全等的特殊方法判定兩個直角三角形全 等. 課堂學習檢測 一、填空題 1 .判定兩直角三角形全等的“ HL”這種特殊方法指的是 . 2 .直角三角形全等的判定方法有 （用簡寫）.* *3 .如圖51, E、B、F、C在同一條直線上，若/ D =2A=90° , EB = FC, AB=DF.則AABC,全等的根據是

17、 圖5- 1 4.判斷滿足下列條件的兩個直角三角形是否全等，不全等的畫“X”，全等的注明理由: （1） 一個銳角和這個角的對邊對應相等；（） （2）一個銳角和這個角的鄰邊對應相等；（） （3）一個銳角和斜邊對應相等；（）（4）兩直角邊對應相等；（）（5）一條直角邊和斜邊對應相等.（）、選擇題5.下列說法正確的是（）* A . 一直角邊對應相等的兩個直角三角形全等 B.斜邊相等的兩個直角三角形全等C.斜邊相等的兩個等腰直角三角形全等D. 一邊長相等的兩等腰直角三角形全等6 .如圖52, AB= A C, A ID ± B C于D, E、F為A D上的點，則圖中共有（）對全等三角形.B.

18、 4D. 6 圖52 三、解答題 7 .已知：如圖 53, AB±BD, CD±BD, AD = BC. 求證：（1）AB=DC： （2）AD / BC.圖5-3 8.已知：如圖 5-4, AC= BD 求證：AD = BC；AD±AC, BC±BD. 綜合、運用、診斷 9 .已知：如圖 5-5, AE±AB, BC±AB, AE=AB, ED=AC. 求證：ED±AC. 10 .已知：如圖 5 6, DE±AC, BF±AC, AD = BC, DE=BF. ,求證：AB/ DC.圖56 11 .用三角

19、板可按下面方法畫角平分線：在已知/ AOB的兩邊上，分別取 OM = ON (如圖 5-7),再分別過點M、N作OA、OB的垂線，交點為 P,畫射線OP,則OP平分/AOB,請你說出其中的道理.圖5-7 拓展、探究、思考12 .下列說法中，正確的畫“，”；錯誤的畫“X”，并作圖舉出反例. （1） 一條直角邊和斜邊上的高對應相等的兩個直角三角形全等.（） （2）有兩邊和其中一邊上的高對應相等的兩個三角形全等.（） （3）有兩邊和第三邊上的高對應相等的兩個三角形全等.（）13. （1）已知：如圖 58,線段 AC、BD交于 O,AOB為鈍角，AB= CD , BFAC于F, DE±AC

20、于 E, AE=CF.求證：BO = DO .圖58 （1）中的結論是否仍然成（2）若/ AOB為銳角，其他條件不變，請畫出圖形并判斷 *立？若成立，請加以證明；若不成立，請說明理由.測試6三角形全等的條件 （四） 學習要求 能熟練運用三角形全等的判定方法進行推理并解決某些問題. *課堂學習檢測 一、填空題 1 .兩個三角形全等的判定依據除定義外，還有 ;2 .如圖6- 1 ,要判定AABCAADE,除去公共角/ A外，在下列橫線上寫 出還需要的兩 個條件，并在括號內寫出由這些條件直接判定兩個三角形全等的依據. (1)/ B=/ D, AB= AD (); (2), (); (3), ();

21、(4), (); (5), (); （6）3.如圖6- 2,已知AB±CFDE圖6-1 ±CF,垂足分別為 B, E, AB=DE.請添加一個適當條件，使AABCADEF,并說明理由 添加條件：理由圖6-2 4 .在 A ABC 和 A DEF 中，若/ B= / E=90° ， A A=34° ， D D = 56° ， AC=DF,貝 AABC和A DEF是否全等？答： ,理由是二、選擇題 5 .下列命題中正確的有（）個三個內角對應相等的兩個三角形全等； 三條邊對應相等的兩個三角形全等； 有兩角和一邊分別相等的兩個三角形全等; D. 4()

22、對全等三角形. *D. 5等底等高的兩個三角形全等.A . 1B. 2C.36 .如圖 6- 3, AB=CD, AD=CB, AC、BD 交于 O,圖中有 a . 2b.3c. 4圖6-3 D = 60° ,則/ B的度7 .如圖 64,若 AB=CD, DE = AF, CF = BE,2AFB=80A . 90° 二/ AC. 180° 22A圖6 6 圖6- 59.下列各組條件中，可保證 ABC與 A'B'C全等的是 (* A .A=/A',2B = /B', /C=/C' B. AB=A'B', A

23、C=A'C', / B = / B')C. AB=C'B',A=/B', / C = / C'D. CB = A'B', AC=A'C', BA= B'C' 10.如圖6-6,已知MB = ND,MBA = /NDC,下列條件不能判定 ABM CDN的是.( ).A. / M = / NB. AB= CDC. AM=CND. AM / CN、解答題11.已知：如圖6 7,求證：BD = CE.綜合、運用、診斷AD = AE, AB = AC,DAE = /BAC.E算是.( ). _ _ o

24、-» _ _ o_ o-v _ _ oA . 80B. 60C. 40D. 208 .如圖 6 5, ABC 中，若/ B = /C, BD = CE, CD=BF,則/ EDF =()c 1B. 90o - A2c 1D. 45o A212 .已知：如圖 6 8, AC 與 BD 交于 O 點，AB/ DC, AB= DC . （1）求證：AC與BD互相平分；圖6-8 （2）若過。點作直線1,分別交AB、DC于E、F兩點, 求證：OE=OF.13 .如圖69, E在AB上，/ 1 = / 2, / 3=/ 4,那么 AC等于AD嗎？為什么?圖6-9 拓展、探究、思考 14 .如圖6

25、10, ABC的三個頂點分別在 2*3方格的3個格點上，請你試著再在格點上 找出三個點D、E、F,使得 DEFABC,這樣的三角形你能找到幾個？請 畫出 來.B圖 6 1015 .請分別按給出的條件畫 ABC （標上小題號，不寫作法），并說明所作的三角形是否 唯一；如果有不唯一的，想一想，為什么？ 2B=120 ， AB=2cm, AC = 4cm； B=90 ， AB = 2cm, AC=3cm； 2B=30 ， AB = 2cm, AC=3cm； /B=30° ， AB = 2cm, AC = 2cm； /B=30 , AB = 2cm, AC=1cm； /B=30 , AB =

26、 2cm, AC = 1.5cm.測試7三角形全等的條件 （五） 學習要求 能熟練運用三角形全等的知識綜合解決問題.*課堂學習檢測 解答題 1 .如圖71,小明與小敏玩蹺蹺板游戲.如果蹺蹺板的支點O （即蹺蹺板的中點）到 地 * * * 面的距離是50 cm,當小敏從水平位置 CD下降40 cm時，小明這時離地面的高度是多 少？請用所學的全等三角形的知識說明其中的道理.2 .如圖72,工人師傅要在墻壁的 O處用鉆打孔，要使孔口從墻壁對面的 B點處打開， 墻壁厚是35 cm, B點與O點的鉛直距離 AB長是20 cm,工人師傅在旁邊墻上與 AO水 平的線上截取 OC = 35 cm ,畫CD&#

27、177;OC,使CD = 20 cm,連接OD,然后沿著 DO的方 向打孔，結果鉆頭正好從 B點處打出，這是什么道理呢？請你說出理由.圖74 圖72 3 .如圖73,公園里有一條"Z"字形道路ABCD ,其中AB/ CD,在AB、BC、CD三段 路旁各有一只小石凳 E, F, M,且BE=CF, M在BC的中點，試判斷三只石凳 E, M, F恰好在一直線上嗎？為什么？圖73 4 .在一池塘邊有 A、B兩棵樹，如圖74.試設計兩種方案，測量 A、B兩棵樹之間的距萬案一: 測試8角的平分線的性質 （一） 學習要求 1 .掌握角平分線的性質，理解三角形的三條角平分線的性質. 2

28、.掌握角平分線的判定及角平分線的畫法. 課堂學習檢測 一、填空題 1 .叫做角的平分線. 2 .角的平分線的性質是. 它的題設是,結論是. 3 .到角的兩邊距離相等的點，在 .所以，如果點P到/ AOB兩邊的距離相等，那么射 線OP是. 4 .完成下列各命題，注意它們之間的區別與聯系. （1）如果一個點在角的平分線上，那么 ; （2）如果一個點到角的兩邊的距離相等，那么 ； （3）綜上所述，角的平分線是 的集合. 5 . （1）三角形的三條角平 分線 它到. * *（2）三角形內，到三邊距離相等的點是 . 6 .如圖81,已知/ C = 90° , AD平分/ BAC, BD = 2

29、CD,若點D到AB的距離等于5cm, 則BC的長為一cm-圖8-1 二、作圖題7 .已知：如圖 8-2, / AOB. 求作：/ AOB的平分線OC.作法: 8 .已知：如圖83,直線AB及其上一點P. 求作：直線MN,使得MNAB于P.作法: 圖8-39.已知：如圖8 4, ABC. 求作：點P,使得點P在 ABC內，且到三邊AB、BC、CA的距離相等.作法: 圖8-4 綜合、運用、診斷 一、解答題 10.已知：如圖 8- 5, ABC中，AB=AC, D是BC的中點，DEAB于E, F.求證：DE = DF.DF ±AC 于圖8-5 11 .已知：如圖 8 6, CDAB 于 D

30、, BEAC 于 E, CD、BE 交于 O, / 1 = / 2. 求證：OB=OC.012 .已知：如圖8- 7, ABC中，/ C = 90° ,試在AC上找一點P,使P到斜邊的距離等于PC.（畫出圖形，并 寫出畫法）A圖8-7 拓展、探究、思考 13 .已知：如圖8- 8,直線11,13表示三條相互交叉的公路，現要建一個塔臺，若要求它到三條公路的距離都相等，試問:*（1）可選擇的地點有幾處？（2）你能畫出塔臺的位置嗎? 14 .已知：如圖 89,四條直線兩兩相交，相交部分的線段構成正方形ABCD.試問：是 否存在到至少三邊所在的直線的距離都相等的點？若存在，請找出此點，這樣的點有幾 個？若不存在，請說明理由. A0圖89 測試9角的平分線的性質（二） 學習要求 熟練運用角的平分線的性質解決