1、第第1章章 函數極限與連續函數極限與連續 1.3極限的性質極限的性質高等數學高等數學 函數極限與連續函數極限與連續1.3 極限的性質極限的性質一、極限的基本性質極限的基本性質高等數學高等數學 函數極限與連續函數極限與連續1.3 極限的性質極限的性質.,)(則則其其極極限限是是唯唯一一的的的的極極限限存存在在或或函函數數若若數數列列證明：)(反證法反證法,lim,limbabxaxnnnn且且設設. 0|,|dbad則則令令，對對于于020d ，分分別別存存在在正正整整數數21,NN，時時，當當01| axNnn,由極限定義知由極限定義知，時時，當當0| bxNnn1 . 3 . 1性質)(唯一

2、性 1.3極限的性質極限的性質高等數學高等數學 函數極限與連續函數極限與連續1.3 極限的性質極限的性質，取,max21NNN 有時當,Nn | )()( |nnxbxaba |bxaxnn |,|bad即即.|矛矛盾盾與與badd00 高等數學高等數學 函數極限與連續函數極限與連續1.3 極限的性質極限的性質,limaxnn設設有時當存在正整數,NnN ,21| axn,2|1nnxx但但證明證明 ,反證法.) 1(1是是發發散散的的證證明明數數列列nnx1例例),21,(,axNnn所所有有的的時時即即當當.,1故故與與假假設設矛矛盾盾不不可可能能同同屬屬于于該該鄰鄰域域及及因因此此nnx

3、x,21 則則對對于于高等數學高等數學 函數極限與連續函數極限與連續1.3 極限的性質極限的性質;,lim) 1 (有有界界則則數數列列存存在在若若nnnxx;)(,)(lim)2(00的的某某去去心心鄰鄰域域內內有有界界必必在在則則存存在在若若xxfxfxx.)(,|, 0,)(lim) 3(有有界界時時當當則則存存在在存存在在若若xfMxMxfx證明證明 ,lim) 1 (axnn設設1| axn于是于是,|1|,|,| |,|max21axxxMN取取. 2 .3 .1性性質質)(有有界界性性, 1 則則對對于于, 0N有有時時當當,Nn |nx|aaxn|1a|)( |aaxn高等數學

4、高等數學 函數極限與連續函數極限與連續1.3 極限的性質極限的性質;,lim) 1(有界則數列存在若nnnxx ;)(,)(lim)2(00的某去心鄰域內有界必在則存在若xxfxfxx.)(,|, 0,)(lim)3(有界時當則存在存在若xfMxMxfx 有有對于對于, n.有有界界故故數數列列nx注注 有界數列不一定是收斂數列，如數列有界數列不一定是收斂數列，如數列.) 1(1n. 2 . 3 . 1性質)(有界性.|Mxn ,|1|,|,| |,|max21axxxMN取取高等數學高等數學 函數極限與連續函數極限與連續1.3 極限的性質極限的性質, 0, 0,)(lim)2(00 對對于于

5、由由定定義義設設Axfxx0|)(| Axf00)( AxfA或有時使得當,|00 xx.)(,0的某去心鄰域內有界在即成立xxf證明證明 ;,lim) 1(有界則數列存在若nnnxx ;)(,)(lim)2(00的某去心鄰域內有界必在則存在若xxfxfxx.)(,|, 0,)(lim)3(有界時當則存在存在若xfMxMxfx 2 . 3 . 1性質)(有界性用極限用極限M 定義可證（定義可證（3）. ,limlim)1(時當，則存在正整數且，若NnNbabyaxnnnn ；恒恒有有nnyx ,lim,lim) 1 (babyaxnnnn且且由于由于使得分別存在,21NN，有時當01|, ax

6、Nnn,00 axn即即，有有時時當當02|, byNnn,00 ayn即即有有時時則則當當取取,max21NnNNN.,2nnnnxyxbay即即證明證明 )(3 . 3 . 1局部保號性性質高等數學高等數學 函數極限與連續函數極限與連續1.3 極限的性質極限的性質,2baxn從而從而, 020ba 對于對于,2bayn從而從而高等數學高等數學 函數極限與連續函數極限與連續1.3 極限的性質極限的性質. )()(xgxf 鄰域內恒有的某去心，則在且若0)(lim,)(lim)2(00 xBABxgAxfxxxx 證明證明 )(略. 0)(,0,.)(xfBBxf有有時時當當特特別別地地內內恒

7、恒有有., )()(,BAxgxf 則在此鄰域內鄰域的某去心鄰域，則在且若0,)(lim0 xBAAxfxx 1 . 3 . 1推論去心的某且存在若0)(lim,)(lim00 xBxgAxfxxxx 2 . 3 . 1推論（局部保號性）（局部保號性）3 . 3 . 1性質注的情形也有類似于性對于),(00* xxxx.3 . 3 . 1及其推論的結論質高等數學高等數學 函數極限與連續函數極限與連續1.3 極限的性質極限的性質二、收斂數列與其子數列之間的關系二、收斂數列與其子數列之間的關系,21nxxx：在數列nx,21knnnxxx：任取無窮多項得一數列中,knx)(21 knnn.列列的的

8、一一個個子子數數列列或或一一個個子子為為稱稱nnxxkknkxn 是子數列是子數列其中其中.,kknnknxk 因此項的第是原數列項的第).(lim,lim為常數若aaxaxknknn 4 . 3 . 1性質高等數學高等數學 函數極限與連續函數極限與連續1.3 極限的性質極限的性質有時當, 0,0NnN 證明證明 ,lim知由于axnn ,| axn于是時則當取,NnnnKkNKNKk ,| axkn.limaxknk 故).(lim,lim為常數若aaxaxknknn 4 . 3 . 1性質高等數學高等數學 函數極限與連續函數極限與連續1.3 極限的性質極限的性質三、函數極限與數列極限的關系

9、三、函數極限與數列極限的關系.)(lim)(lim0Axfxfxxnn 且必收斂則數列若且,)(,lim),(00nnnnxfxxNnxx 證明證明 ,)(lim0知知由由Axfxx,|)(| Axf,)( ,)(lim0定義域內的一個數列為設xfxAxfnxx 5 . 3 . 1性質高等數學高等數學 函數極限與連續函數極限與連續1.3 極限的性質極限的性質有有時時當當,|0, 0, 00 xx高等數學高等數學 函數極限與連續函數極限與連續1.3 極限的性質極限的性質三、函數極限與數列極限的關系.)(lim)(lim0Axfxfxxnn 且必收斂則數列若且,)(,lim),(00nnnnxfx

10、xNnxx ,lim0知知又又由由xxnn)(|000 xxxxnn |)(|Axfn從而有Axfnn)(lim故故,)( ,)(lim0定義域內的一個數列為設xfxAxfnxx 5 . 3 . 1性質高等數學高等數學 函數極限與連續函數極限與連續1.3 極限的性質極限的性質有有時時當當對對上上述述的的, 0,NnN ).(lim0 xfxx證明證明 ,2 nxn取兩數列，則則 nnnnxxlim,lim),(無限增大無限增大時即當nxn nxnnn2sinlimsinlim但)22sin(limsinlim nxnnn.sinlim不存在故xx .sinlim不存在證明極限xx 2 .3 .1例高等數學高等數學 函數