1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上 例題一 某鋼橋一受彎構(gòu)件截面抗力R(抵抗彎矩)和荷載效應(yīng)S(最大彎矩)的統(tǒng)計(jì)參數(shù)為均值 µR= 2.34×103kNm µS= 1.16×103kNm 方差 R= 0.281×103kNm S= 0.255×103kNm現(xiàn)假設(shè)R,S均服從正態(tài)分布,試求其可靠指標(biāo)和對(duì)應(yīng)的失效概率。解: 將已知數(shù)據(jù)代入 = µR-µSR2+S2=2.34×103-1.16×103(0.281×103)2+(0.255×103)2=3.109查標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表 (3.10

2、9)=0.99905，Pf=(-)=1-()=1-(3.109)=1-0.99905=0.00095。例題二 某鋼橋一受彎構(gòu)件截面抗力R(抵抗彎矩)和荷載效應(yīng)S(最大彎矩)的統(tǒng)計(jì)參數(shù)為均值 µR= 2.34×103kNm µS= 1.16×103kNm 方差 R= 0.281×103kNm S= 0.255×103kNm現(xiàn)假設(shè)R,S均服從對(duì)數(shù)正態(tài)分布,試求其可靠指標(biāo)和對(duì)應(yīng)的失效概率Pf。解： lnµR-lnµSR2+S2 R=RµR=0.2812.34=0.12 S=SµS=0.2551.16=

3、0.22 lnµR-lnµSR2+S2= ln(2.34×103)-ln(1.16×103)0.122+0.222=2.80 Pf=(-)=1-()=1-(2.80)=1-0.99740=0.0026。例一和例二表明：隨即變量分布類(lèi)型，對(duì)失效概率或結(jié)構(gòu)可靠指標(biāo)計(jì)算是有影響的。分析結(jié)果表明：Pf10-3(3.09)時(shí)，F(xiàn)z(z)的分布類(lèi)型對(duì)Pf的影響不敏感，即Z假設(shè)什么樣的分布,計(jì)算出的Pf都在同一數(shù)量級(jí)上，其精度足夠了。Pf大時(shí)，Z可以不考慮其實(shí)際分布形式，采用合理又方便的分布形式來(lái)計(jì)算Pf。這樣計(jì)算簡(jiǎn)便，得到工程上接受的結(jié)果。但Pf10-5(4.26)

4、時(shí)Fz(z)的分布類(lèi)型對(duì)Pf的影響十分敏感，計(jì)算Pf時(shí)必須考慮起分布,否則得到誤差大或得到錯(cuò)誤結(jié)果。例題三 若鋼梁承受的確定性彎矩M=210 kNm，鋼梁的抵抗矩W和屈服強(qiáng)度f(wàn)都是隨機(jī)變量，已知其分布類(lèi)型和統(tǒng)計(jì)參數(shù)為抵抗矩W：正態(tài)分布，µW= 692cm3 ，W=0.02屈服強(qiáng)度f(wàn)：正態(tài)分布，µf=390MPa ，f=0.07用中心點(diǎn)法和驗(yàn)算點(diǎn)法計(jì)算該鋼梁的可靠指標(biāo)及f和W的驗(yàn)算點(diǎn)之值f和W。 解：1 中心點(diǎn)法(1) 采用抗力作為功能函數(shù)Z=fW-M= fW-210 kNm µZ=µfµW-µM=µfµW-210=

5、59.88 kNmZ=(µf W)2+(µW f)2=µf 2µW 2(W2+f2) =(390×)2(0.022+0.072) =19.65×106 Nmm=µZZ=3.047(2) 采用應(yīng)力作為功能函數(shù)Z=f-MWµZµf-MµW=86.5MPaZ=(f)2+(MµW2W)2=(µff)2+(MµWW)2 =(390×0.07)2+(210××103×0.02)2 =27.97MPa=µZZ=3.0932 驗(yàn)算點(diǎn)

6、法驗(yàn)算點(diǎn)法計(jì)算步驟:(1) 列出極限狀態(tài)方程g(X1，X2，Xn)=0,并給出所有基本變量Xi的分布類(lèi)型和統(tǒng)計(jì)參數(shù)µxi和xi；(2) 假定Xi和的初始值，一般取Xi的初始值為Xi的均值µxi，相當(dāng)于初始值為0；(3)求極限狀態(tài)方程對(duì)各基本變量Xi的偏導(dǎo)數(shù)，并用Xi的值代入，得到方向余弦 cosXi=-gxipxi1n(gxipxi)2 (4)按公式g(µXi+XicosXi)=0 求解；(5)計(jì)算新的Xi值 Xi=µXi+XicosXi重復(fù)第3步到第5步計(jì)算，直到前后兩次計(jì)算的在容許誤差范圍內(nèi)(0.001)。按抗力列功能函數(shù)極限狀態(tài)方程 Z=g(f,W

7、)= fW-210×106(Nmm)f=µff=390×0.07=27.30MPaw=µww=692×0.02=13.84MPa由 g(X1，X2，Xn)=0 (P驗(yàn)算點(diǎn)處坐標(biāo)) Xi=µi+Xi×Xi=µi+XicosXi -gfpf=-W×27.30，-gwpw=-f×13.84，cosf=-gfpf(gfpf)2+(gwpw)2=-27.3W(27.3W)2+(13.84f)2 (a)cosw=-gwpw(gfpf)2+(gwpw)2=-13.84f(27.3W)2+(13.84f)2 (

8、b)f=µf+fcosf=390+27.3cosf (c)W=µw+wcosw=692+13.84cosw (d)由 Z=g(f, W)= fW-(Nm) 將(c) ，(d)代入簡(jiǎn)化后得：2cosfcosw+(50cosf+ 14.29cosw)+158.4=0 (e)現(xiàn)用迭代法求解 第一次迭代： 取 f=µf=390(MPa)，W=µw=692(cm3) 求cosf，coswcosf=-27.3W(27.3W)2+(-13.84f)2=-27.3×692(27.3×692)2+(13.84×390)2=-0.9615cos

9、w=-27.3f(27.3W)2+(13.84f)2=-13.84×390(27.3×692)2+(13.84×390)2=-0.2747驗(yàn)算 cos2f+cos2w=1 cosf，cosw代入 (e)得0.26422-51.97+158.4=0 解得=3.095第二次迭代： f=µf+fcosf=390+27.3×3.095×(-0.9615)=309 W=µw+wcosw=692+13.84×3.095×(-0.2747)=680 cosf=-27.3W(27.3W)2+(13.84f)2=-27.3

10、×680(27.3×680)2+(13.84×309)2=-0.9745cosw=-27.3f(27.3W)2+(13.84f)2=-13.84×309(27.3×680)2+(13.84×309)2=-0.2245驗(yàn)算 cos2f+cos2w=1代入(e)得21882+51.9+158.4=0 解得=3.092，與第一次相差0.0030.01。第三次迭代： f=308(MPa)，W=682(cm3) cosf=-09748，cosw=-0.2232 =3.092 與第二次迭代相同，其實(shí)第二次結(jié)果已滿足工程精度。 故求得=3.092，

11、f=308(MPa)，W=682(cm3)查表得失效概率Pf=1-(3.092)=1-0.9993=0.0007。討論：(1) 中心點(diǎn)法由于采用不同的功能函數(shù)計(jì)算結(jié)果不一致,但兩種功能函數(shù)是完全等價(jià)的；(3) 極限狀態(tài)方程是非線性的 例題四 承受恒載作用的薄壁型鋼梁，極限狀態(tài)方程為Z=g(f，W，M)=fW-M=0，其中fW、M都按隨機(jī)變量考慮,已知他們的分布類(lèi)型和統(tǒng)計(jì)參數(shù)： 彎 矩M： 正態(tài)分布， µM=13kNm， M=0.91 kNm； 抵抗矩W： 正態(tài)分布， µW=54.72cm3，w=2.74 cm3； 鋼材強(qiáng)度f(wàn) ：正態(tài)分布， µf=380MPa，f=

12、30.4 MPa。 試求該梁的可靠指標(biāo)及相應(yīng)的失效概率Pf。解：三個(gè)正態(tài)變量的非線性方程。 -gfpf=30.4WMPa -gwpw=-2.74fcm3 -gMpM=910(kNmm)cosf=-30.4W(30.4W)2+(2.74f)2+9102cosW=-2.74f(30.4W)2+(2.74f)2+9102cosM=910(30.4W)2+(2.74f)2+9102 f=µf+fcosf=380+30.4cosf (MPa) W=µw+wcosw=54.72+2.74cosw (cm3) M=µM+McosM=13000+910cosM (kNmm)代入極

13、限狀態(tài)方程： f W- M=0 化簡(jiǎn)后得83.32cosfcosw+(1041 cosw+1664 cosf-910 cosM)+7793.6=0假定 f、 W的初值為 f=380， W=54.72 求得30.812-2163.3+7793.6=0解得 =3.81 f=290.9 W=49.69 M=14459重復(fù) 第二次迭代： f=290.9 W=49.69 M=14459 cosf=-0.781 cosw=-0.412 cosM=0.4702 26.812-2156+7793.6=0解得 =3.79第三次迭代： f=289.2 W=50.44 M=14622解得 =3.80 (可認(rèn)為已收斂

14、)失效概率Pf=1-(3.80)=7.235×10-5。比較中心點(diǎn)法計(jì)算結(jié)果差異： µZ=µfµW-µM=380×54.72-13000=7793.6 (kNmm) z=(µwf)2+(µfw)2+M2 =(54.72×30.4)2+(380×2.74)2+9102=2163.2 =µZz=7793.62163.2=3.60， Pf=1-(3.60)=1.591×10-5。 中驗(yàn)=3.603.80=0.947， 相差10左右。例題五 若鋼梁承受的確定性彎矩M=210 kNm，

15、鋼梁的抵抗矩W和屈服強(qiáng)度f(wàn)都是隨機(jī)變量，已知其分布類(lèi)型和統(tǒng)計(jì)參數(shù)為抵抗矩W：正態(tài)分布，µW= 692cm3 ，W=0.02屈服強(qiáng)度f(wàn)：對(duì)數(shù)正態(tài)分布，µf=390MPa ，f=0.07計(jì)算該鋼梁的可靠指標(biāo)及f和W的驗(yàn)算點(diǎn)之值f和W。解： 功能函數(shù)為 Z=g(f，W，M)=fW-M= fW-210×106=0 (Nmm) f為對(duì)數(shù)正態(tài)變量，需要在驗(yàn)算點(diǎn)P( f，W)處轉(zhuǎn)換為當(dāng)量正態(tài)變量， f,= f×(1-ln f+lnf1+f2)= f(6.9637- ln f) f,= fln(1+f2)=0.07 fcosf=-Wf,(Wf,)2+(fw)2cosW=

16、-ff,(Wf,)2+(fw)2 f=µf+f,cosf=f,+f,cosf W=µW+WcosW=692+13.84cosW代入方程 f W-M=0 化簡(jiǎn)得 f,2 cosf cosW+(50f,cosf+f, cosW)+50f,-15173=0采用迭代法計(jì)算 f=µf， W= W， 相當(dāng)=0 計(jì)算如下表迭代次數(shù)Xi0XiXi,Xi,cosXi1fW039069227.313.84389692-0.9615-0.27473.0502fW3.05308.968021.6313.84380.1692-0.9625-0.27963.4020.3523fW3.4023

17、09.467721.6613.84380.2692-0.9599-0.28033.4060.004失效概率Pf=1-(3.406)=3.3×10-4。 用中心點(diǎn)法(假設(shè)Z為正態(tài)分布) 計(jì)算得=3.047。 第四節(jié) 橋梁結(jié)構(gòu)可靠度設(shè)計(jì)初步 可靠性設(shè)計(jì)就是已知確定的設(shè)計(jì)(目標(biāo))可靠指標(biāo)，求出抗力R，然后進(jìn)行截面設(shè)計(jì)。 若抗力R和荷載效應(yīng)S為正態(tài)分布，已知荷載效應(yīng)S的統(tǒng)計(jì)參數(shù)s和s，以及抗力的變異系數(shù)R R- S=R2+S2=(µRR)2+(µSS)2 當(dāng)給定可靠指0時(shí)，可求得R，進(jìn)而進(jìn)行截面設(shè)計(jì)。對(duì)于受彎構(gòu)件 截面抗力R=fW， 其均值 R= f W，當(dāng)已知材料的強(qiáng)度 f時(shí)，即可求出截面的抵抗矩均值W。極限方程為非線性，或設(shè)計(jì)變量含有非正態(tài)變量，求R的過(guò)程就是求可靠指標(biāo)的逆運(yùn)算。其中包含求驗(yàn)算點(diǎn)坐標(biāo)P及當(dāng)量正態(tài)化的雙重迭代計(jì)算，計(jì)算非常復(fù)雜，需要利用計(jì)算程序完成。例題六 鋼桁架下弦桿承受的拉力N服從正態(tài)分布，N=320kN，N=0.22， 截