1、2019-2020學年高中數學第三章不等式3.1不等關系與不等式名師講義新人教B版必修5預習課本P6166,思考并完成以下問題 (1)不等式如何定義？(2)比較兩數(或式)的大小有哪些常用的方法? 不等式的性質有哪幾條?新知初探1 .不等式的概念用數學符號“w”、" >"、“<”、3、y 連接兩個數或代數式，以表示它們 之間的不等關系.含有這些不等號的式子叫做不等式.點睛不等式“ a>b”的含義是“ a>b或a=b"，它等價于“ a不小于b"，在a>b 和a=b中只要有一個成立，a>b就成立.2 .實數大小的比較(1)

2、數軸上白兩點 A, B的位置關系與其對應實數 a, b的大小關系.數軸上的任意兩點中，右邊點對應的實數比左邊點對應的實數大.數軸上點的位置與實數大小的關系 (表示實數a和b的兩個點分別為 A和場，如下：點A B的位置關系點A和點B重合點A在點B右側點A在點B左側實數a, b的大小關系a= ba>bavb(2)比較兩個實數的大小方法作差法依據a b>0? a>b；a b< 0? av b；a b= 0? a= b結論對于任息網個頭數 a和b,在ab, a>b, a< b 一種關系中后且僅什-種關系成立3.不等式的性質(1)對稱性：a>b? av b.(2

3、)傳遞性：a>b, b>c? a>c.(3)加法法則：a>b? a+ c>b + c.推論 1 a+b>c? a>c-b；推論 2 a>b, c>d? a+ c>b+ d.(4)乘法法則：a>b, c>0? ac>bc； a>b, c< 0? acv bc.推論 1 a>b>0, c>d>0? ac>bd；推論 2 a>b>0? an>bn(nNl+, n>1)；推論 3 a>b>0? na>n/b( n Nk , n> 1).

4、點睛(1)在應用不等式時，一定要搞清它們成立的前提條件，不可強化或弱化成立的 條件.(2)要注意“箭頭”是單向的還是雙向的，也就是說每條性質是否具有可逆性.小試身手1 .判斷下列命題是否正確.(正確的打，錯誤的打“X”)(1)不等式x>2的含義是指x不小于2()(2)若a<b或a= b之中有一個正確，則 aw b正確()(3)若a>b,則ac>bc 一定成立()(4)若 a+c>b+d,則 a>b, c>d()解析：(1)正確.不等式x>2表示x>2或x=2,即x不小于2,故此說法是正確的.(2)正確.不等式awb表示2出或2=>故若

5、a<b或a=b中有一個正確， 則aw b一定正 確.(3)錯誤.由不等式的可乘性知，當不等式兩端同乘以一個正數時，不等號方向不變，因 此由a>b,則ac>bc不一定成立，故此說法是錯誤的.(4)錯誤.取a=4, c=5, b=6, d=2,滿足a+c>b+d,但不滿足a>b,故此說法錯誤.答案：(1) V (2) V (3) X (4) X2 .已知a+b>0, b<0,那么a, b, a, b的大小關系是()A. a>b>b>aB. a>b>a>bC. a>b>b>aD. a>b>a&

6、gt;b解析：選 C法一：: A、B、C D四個選項中，每個選項都是唯一確定的答案，可用令 a=2, b=- 1,則有 2>( 1)> 1>2,數式的大小比較即 a> b>b> a.法二：1.- a+b>0, b<0, 1. a>- b>0, - a<b<0,a>- b>0>b>- a,即 a>b>b>a.解析：選C因為a<b,故b-a>0,11ba , 11所以商一肅=而>6故彘>斤解析：m3- (m2-1)= mi-mi+ m- 1 = m2(m- 1)

7、 + (m- 1)=(m- 1)( m2+1).又m>1,故(m- 1)( m2+1)>0.答案：m3>m2-1典例(1)已知x<1,比較x31與2x22x的大小;1 ,(2)已知a>0,試比較a與一的大小. a32解(1)( x -1) -(2x -2x)= (x- 1)( x2 + x+ 1) -2x(x- 1)= (x- 1)( x2-x + 1),.x<1,x- 1<0.又|x- 1 2+3>0, 24 '(x-1)mb .x3-1<2x2-2x.(2)因為a=4=a.a+l , a aa3.設a, b是非零實數，若a<

8、;b,則下列不等式成立的是()22A. a <bB . ab2<a2b11C.a?<abb aD. <a b4.當m>1時，m3與m2-1的大小關系為課堂講練設計，舉-能通類眄= (x-1)知常因為 a>0,所以當 a>1 時，-a a- >0,有 a>1；aa當 a= 1 時， aTa*I =0,有 a=-；aa當 0<a<1 時，"Ia+ <0,有 a<-.aa1綜上，當a>1時，a>-； a當 a=1 時，a = 一； a一 1當 0<a<1 時，a<-.a1 .作差法比

9、較兩個數大小的步驟及變形方法(1)作差法比較的步驟：作差一變形一定號一結論.(2)變形的方法：因式分解；配方；通分；對數與指數的運算性質；分母或分 子有理化；分類討論.2 .作商法比較大小的步驟及適用范圍(1)作商法比較大小的三個步驟作商變形；與1比較大??；得出結論.(2)作商法比較大小的適用范圍要比較的兩個數同號；比較“哥、指數、對數、含絕對值”的兩個數的大小時，常用作商法.活學活用1 .比較x6+1與X4+X2的大小，其中xC R.解：(X6+ 1) -(X4+X2)= x6-x4-x2+ 1= X4(X2- 1) - (X2- 1)= (X2-1)( X4-1)= (X21)( X2-

10、1)( X2+ 1)= (x2-1)2(x2+1).故當 x=±l 時，X6+ 1 =X4+X2；當 xw±l 時，X6+ 1 >X4+ X2.2 .若m>2,比較mm與2m的大小.1題型二不等式的性質m解：因為mm=j=i,所以 m>2mm，又因為m>2,所以m>i,所以典例(1)已知b<2a, 3d<c,則下列不等式一定成立的是()A. 2ac>b3dB. 2ac>3bdC. 2a+c>b+3dD. 2a+3d>b+c(2)下列說法不正確的是()A.若 aCR,貝U(a+2a 1) >(a 2)B.

11、若 aC R,則(a1)4>(a2)4C.若 0<a<b,則 g a>4) 3 3D.若 0<a<b,則 a3<b3解析(1)由于b<2a,3d<c,則由不等式的性質得b+3d<2a+c,故選C.(2)對于 A,因為(a2+2a 1) - (a-2) =a2+a+ 1= ja+2 2+4>0,所以 a2+2a-1>a-2, 則(a2+2a1)3>(a 2)3,故 A選項說法正確；對于 B,當 a=1 時，(a1)4=0, (a2)4=1, 所以(a 1)4>(a2)4不成立；對于C和D,因為0<a<

12、b,所以由指數函數與募函數的性質知 C D選項說法正確，故選 B.答案(1)C(2)B1 .利用不等式判斷正誤的 2種方法(1)直接法：對于說法正確的，要利用不等式的相關性質或函數的相關性質證明；對于說 法錯誤的只需舉出一個反例即可.(2)特殊值法：注意取值一定要遵循三個原則：一是滿足題設條件；二是取值要簡單，便 于驗證計算；三是所取的值要有代表性.2 .利用不等式的性質證明不等式注意事項(1)利用不等式的性質及其推論可以證明一些不等式.解決此類問題一定要在理解的基礎 上，記準、記熟不等式的性質并注意在解題中靈活準確地加以應用.(2)應用不等式的性質進行推導時，應注意緊扣不等式的性質成立的條件

13、，且不可省略條 件或跳步推導，更不能隨意構造性質與法則.活學活用1 .已知a>b>c,且a+b+c=0,則下列不等式恒成立的是（）A.ab>bcB .ac>bcC.ab>acD .a| b|>|b|c解析：選 C 因為a>b>c,且a+ b+c=0,所以a>0, c<0,所以ab>ac.2.若 a>b>0, c<d<0, e<0, 求證： e2>2a-c b- d證明：< c<d<0, - -c>-d>0.又 a>b>0,，ac>bd>0,

14、貝U (ac) 2>( bd) 2>0,即又 e<0,ee2>a c b d用不等式性質求解取值范圍典例 已知1 va<4,2 v b<8,試求2a + 3b與ab的取值范圍.解1<a<4,2 <b<8,2<2a< 8,6<3b<24. -8 <2a+3b< 32.- 2vb<8,8vbv2.又1vav4,1 + ( -8) va+( b) <4+( - 2),即7va b<2.故2a+3b的取值范圍是(8,32) , ab的取值范圍是(一7,2).同向不等式具有可加性與可乘性，但

15、是不能相減或相除，應用時，要充分利用所給條件進行適當變形來求范圍，注意變形的等價性.1 .在本例條件下，求a的取值范圍.解：: 2<b<8,.1 x 7< a ;<4X 7,即！v a<2.8 b 2'8b,a , 1故二的取值范圍是2.b8不等式兩邊同乘以一個正數，不等號方向不變，同乘以一個負數，不等號方向改變，求 解中，應明確所乘數的正負., a,一 八.，一2 .已知一6vav8,2vbv3,求的取值范圍.b解：,. 一 6vav8,2 vbv3.1 113< b<2,當 0Wav8 時，0w a<4； b一, a當一6vav0 時

16、，一3vbv0.由得：-3<a<4.,a, 一.，一 ,故;:的取值范圍為（ 3,4）.b利用不等式性質求范圍，應注意減少不等式使用次數.3.已知一1w a+bwi,i w a-2b<3,求 a+3b 的取值范圍.解：設 a+ 3b =入 1( a+ b) + 入 2( a- 2b)=（入 1+ 入 2）a+（入 12 入 2）b,5 5522又一3W 3( a+b) W 3, 2W 3( a2b) w 3,11所以< a+ 3b< 1.311故a+3b的取值范圍為|-y, 1課后層繳訓練，步步提升能力層級一學業水平達標1 .李輝準備用自己節省的零花錢買一臺學習機

17、，他現在已存60元.計劃從現在起以后每個月節省30元，直到他至少有 400元.設x個月后他至少有 400元，則可以用于計算所需 要的月數x的不等式是（）A. 30x-60>400B. 30x+60>400C. 30x-60<400D. 30x + 40<400解析：選B x月后他至少有 400元，可表示成 30x + 60>400.2 .若 abcdv0,且 a>0, b>c, d<0,貝U（）A. b<0, c<0B . b>0, c>0C. b>0, c< 0D . 0vcvb 或 cvbv0解析：選 D

18、由 a>0, d<0,且 abcd<0,知 bc>0,又b>c,，0v cv b或 c< b<0.3 .已知：a, b, c, dCR,則下列命題中必成立的是 （）A.若 a>b, c>b,貝U a>c8 .若 a>b,貝U c av c+ba bC.右 a>b, cvd,則->一1 c dD.若 a2>b2,則一av b解析：選B選項A,若a = 4, b=2, c=5,顯然不成立，選項 C不滿足倒數不等式的條 件，如a>b>0, cv0vd時，不成立；選項 D只有a>b>0時才可以.

19、否則如 a=- 1, b = 0 時不成立，故選B.9 .設 a C 2 I 3 ", ¥ 則 2a 3的范圍是(A.B.71656C.（。，兀）D.716.一，B 兀解析：選 D 0<2a< 0w§ & 萬，+W占W0,由同向不等式相加得到一 6310 已知M= 2x+1, N=則M N的大小關系為()Vl + xA. M>NB ,gNC. M= ND .不確定解析：選 A2x>0,，Ml= 2x+1>1,而 x2+1>1,1j2< 1, 1- M>NI,故選 A.w +x6 .已知xvl,則x2+2與3x

20、的大小關系為 解析：(x2+2)-3x=(x-1)( x-2),因為 x< 1,所以 x1v0, x2v0,所以(x1)( x2) >0,所以 x2 + 2>3x.答案：x2+2>3x7 .比較大?。篴2+b2+c2 2(a+b+c)4.解析：a2 + b2 + c2 2( a+ b+ c) -4=a2 + b2+ c2 2a 2b 2c+4= (a-1)2+(b- 1)2+(c 1)2+1>1>0,故 a2+b2 + c2> 2(a+ b+ c) -4.答案：8 .已知一1Wx + yW4,且2Wx yW3,則z= 2x3y的取值范圍是 （用區間表

21、示）.15解析： z= 2（x+y）+（xy）,11515-2<- 2(x+y)<2，5<2(x-y)<y,153<- 2(x+y)+2(x-y)<8,，z的取值范圍是3,8.答案：3,89 .若 xw2 或 yw1, M= x2+y24x+2y, N= 5,試比較 MUf N的大小.解：Ml- Nl= (x2+y2-4x + 2y)-(-5)= (x2 4x+4) + (y2+2y+ 1)= (x-2) 2+(y+ 1)2.因為(x2)2>0, (y+1)2>0,所以(x2)2+(y+ 1)2>0,又因為xW2或yw 1,所以(x2)2與

22、(y+1)2不會同時為0.所以(x2)2+(y+ 1)2>0,所以M> N.10 . (1)若 a< b< 0,求證： a b11.、(2)已知 a>b, a<b，求證：ab>0.b a證明：由于二bb2 a2abb+abaab,. a< b< 0,，b+av0, b-a>0, ab>0,b+a b-aab1 1a-b<0，a b- a即E0，而 a>b, 1- b-a<0,，ab>0.層級二應試能力達標1 .若 xC R, yC R,則()A. x2+y2>2xy1B . x2+ y2= 2xy-

23、 1C. x2+y2<2xy1D . x2+ y2<2xy- 1解析：選 A 因為 x2+y2(2xy 1) =x22xy+y2+1 = (x y) 2+1>0,所以 x2+y2>2xy 1,故選A.2 .已知 a1C(0,1) , a2c (0,1),記 M= 3132, N 81 + 82-1,則 M與 N的大小關系是()A.除NB . M>NC. M= ND, M> N解析：選 B . 316(0,1) , 82 (0,1) ,1<a1-1<0, - 1<32-1<0,M- N= 8182-(81+ 82 1)=8182 81

24、一 82+1 = 81( 82 1) 一(82 1) = ( 81 1)( 82 1 1)>0 ,MN,故選 B.3 .若一1<“<3<1,則下列各式中恒成立的是()A. 一 2< 民 一 3 <0B . 一 2< 民 一 3 <一 1C. 一 1< a 一 3 <0D . 一 1< a 一 3 <1解析：選 A 由一1<a<1, 1<3<1,得一1< 3 <1, ' 2< a 3 <2.又< a < 3 ,故知一2< a 3 <0.4 .已知8, b, C均為實數，8< b< 0,則 82V b2;8r匚V C,則8< bc; b8>b,貝U c28<c2b；8> b,貝U -<1.8 b上述說法正確的有()A. 1個B . 2個C. 3個D . 4個解析：選A特殊值法.令 8=-2, b= 1,則4>1,故錯；當b<0時，有8>bc,故錯；當8>b時，有28V 2b