1、習題三1、 設的分布律為求。解：由分布律的性質，得，即，解得，。注：考察分布律的完備性和非負性。2、設的分布函數為，試用表示：(1)；(2)；(3)解：根據分布函數的定義，得(1)；(2)(3)3、設二維隨機變量的分布函數為，分布律如下：試求：(1)；(2)；(3)解：由的分布律，得(1) ；(2)；(3)。4、設，為隨機變量，且求解。注：此題關鍵在于理解表示，然后再根據概率的加法公式。5、只取下列數值中的值：，且相應概率依次為。請列出的概率分布表，并寫出關于的邊緣分布解：（1）根據的全部可能取值以及相應概率，得的概率分布表為（2）根據的邊緣分布與聯合分布的關系，得所以，的邊緣分布為6、設隨機

2、向量服從二維正態分布，其概率密度函數為，求解：由圖形對稱性，得，故。注：本題的求解借助與圖形的特點變得很簡單，否則若根據概率密度函數的性質3進行求解會相對復雜些。7、設隨機變量的概率密度為，（1）確定常數；（2）求；（3）求；（4）求分析：利用再化為累次積分，其中解：（1）由概率密度函數的完備性，得解得。（2）；（3）（4）。8、已知和的聯合密度為，試求：（1）常數；（2）和的聯合分布函數解：（1）由概率密度函數的完備性，得，解得。（2）。9、設二維隨機變量的概率密度為求邊緣概率密度解：10、設在曲線，所圍成的區域內服從均勻分布，求聯合概率密度和邊緣概率密度解：據題意知，區域的面積為，由于在區

3、域內服從均勻分布，故的概率密度函數為。，。注：此題求解首先必須畫出區域的圖形。然后根據圖形確定積分上下限。11、二維隨機變量的分布律為（1）求的邊緣分布律；（2），；（3）判定與是否獨立？解：（1）由邊緣分布與聯合分布的關系，知所以，的邊緣分布律為（2），；（3）根據二維隨機變量的分布律可知其邊緣分布律由于，所以與不獨立。12、設隨機變量的概率密度為，問：與是否相互獨立?解：【法一】任意給定所以，因而與不獨立。【法二】若與相互獨立，則對任意，有，而，即，所以，解得，或，很顯然這是不成立的，故與不是相互獨立的。13、將某一醫藥公司9月份和8月份的青霉素制劑的訂貨單數分別記為與。據以往積累的資料知

4、，和的聯合分布律為(1)求邊緣分布律；（2）求8月份的訂單數為51時，9月份訂單數的條件分布律解：（1）由聯合分布律與邊緣分布律的關系，得（2），8月份的訂單數為51時，9月份訂單數的條件分布律為14、已知的分布律如表所示，求：（1）在的條件下，的條件分布律；（2）在的條件下，的條件分布律 解：根據聯合分布律可得邊緣分布律，如下：（1） 根據上表，可得（2） ，所以，在的條件下，的條件分布律為（3） 根據上表，可得（4） ，所以，在的條件下，的條件分布律為15、已知的概率密度函數為，求：（1）邊緣概率密度函數；（2）條件概率密度函數解：（1）；（2）當時，；當時，注：此題求解時最好畫出聯合密度

5、函數不為零時的區域，以便準確的確定自變量的取值或積分上下限。16、設與相互獨立，其概率分布如表所示， 求的聯合概率分布，解：由于與相互獨立，故對任意，有，所以，的聯合概率分布為17、某旅客到達火車站的時間均勻分布在早上7：558：00，而火車這段時間開出的時間的密度函數為，求此人能及時上火車的概率解：令7：55看作時刻0，以分為單位，故，即的概率密度函數為，而與相互獨立，故的聯合概率密度函數為，所以，此人能及時上火車的概率為。18、設和是兩個相互獨立的隨機變量，（1）求與的聯合概率密度；（2）設有的二次方程，求它有實根的概率解：因為，所以；因為，所以，又相互獨立，所以（1）（2）所求概率為19

6、、設隨機變量與都服從分布，且與相互獨立，求的聯合概率密度函數。解：據題意知，由于隨機變量與都服從分布，所以與的概率密度函數分別為，又由于與相互獨立，即，故的聯合概率密度函數為20、設隨機變量與相互獨立，且分別服從二項分布與，求證：證：據題意知，故與的分布律分別為，又由于與相互獨立，故，。21、設隨機變量和相互獨立，且都等可能地取為值，求隨機變量和的聯合分布解：由題意，和的分布律為可見，下求（1）當時，（2）當時，（3）當時，所以得到關于，的聯合分布律為22、設且，求和的聯合概率分布解：由題意，所以，和的聯合概率分布為23、設的聯合密度函數為，求的密度函數。解：當時，當時，所以，所以24、設隨機變量的概率密度為（1）問和是否相互獨立？（2）求的密度函數解：（1）由、的對稱性得，因為，所以和不獨立。（2），由的表達形式知，當時，即當，也即時，所以，。25、設和為兩個隨機變量，且求解： 。 26、設隨機變量的概率密度為（1）試確定常數；（2）求邊緣概率密度；（3）求函數的分布函數解：（1）有概率密度函數的性質，得解得，。（2）， （3）當時， 當當，所以，的分布函數為。27、設和為相互獨立的兩個隨機變量，且服從同一分布，試證明：證：設，則，而由