1、初中數學平面幾何之-中點問題 口訣：三角形中兩中點，連接那么成中位線。三角形中有中線，延長中線等中線。在三角形中，如果一點是三角形某一邊上的中點，那么首先應該聯想到三角形的中線、中位線、加倍延長中線及其相關性質直角三角形斜邊中線性質、等腰三角形底邊中線性質，然后通過探索，找到解決問題的方法。一、中線把原三角形分成兩個面積相等的小三角形即如圖1，AD是ABC的中線，那么SABD=SACD=SABC因為ABD與ACD是等底同高的。例1如圖2，ABC中，AD是中線，延長AD到E，使DE=AD，DF是DCE的中線。ABC的面積為2，求：CDF的面積。解：因為AD是ABC的中線，所以SACD=SABC=

2、×2=1，又因CD是ACE的中線，故SCDE=SACD=1，因DF是CDE的中線，所以SCDF=SCDE=×1=。CDF的面積為。二、由中點應想到利用三角形的中位線例2如圖3，在四邊形ABCD中，AB=CD，E、F分別是BC、AD的中點，BA、CD的延長線分別交EF的延長線G、H。求證：BGE=CHE。證明：連結BD，并取BD的中點為M，連結ME、MF，ME是BCD的中位線，MECD，MEF=CHE，MF是ABD的中位線，MFAB，MFE=BGE，AB=CD，ME=MF，MEF=MFE，從而BGE=CHE。三、由中線應想到延長中線例3圖4，ABC中，AB=5，AC=3，連B

3、C上的中線AD=2，求BC的長。解：延長AD到E，使DE=AD，那么AE=2AD=2×2=4。在ACD和EBD中，AD=ED，ADC=EDB，CD=BD，ACDEBD，AC=BE，從而BE=AC=3。在ABE中，因AE2+BE2=42+32=25=AB2，故E=90°，BD=，故BC=2BD=2。例4如圖5，ABC中，AD是BAC的平分線，AD又是BC邊上的中線。求證：ABC是等腰三角形。證明：延長AD到E，使DE=AD。仿例3可證：BEDCAD，故EB=AC，E=2，又1=2，1=E，AB=EB，從而AB=AC，即ABC是等腰三角形。四、直角三角形斜邊中線的性質例5如圖6

4、，梯形ABCD中，AB/DC，ACBC，ADBD，求證：AC=BD。證明：取AB的中點E，連結DE、CE，那么DE、CE分別為RtABD，RtABC斜邊AB上的中線，故DE=CE=AB，因此CDE=DCE。AB/DC，CDE=1，DCE=2，1=2，在ADE和BCE中，DE=CE，1=2，AE=BE，ADEBCE，AD=BC，從而梯形ABCD是等腰梯形，因此AC=BD。六中線延長口訣：三角形中有中線，延長中線等中線。題目中如果出現了三角形的中線，常延長加倍此線段，再將端點連結，便可得到全等三角形。例一：如圖4-1：AD為ABC的中線，且1=2，3=4，求證：BE+CF>EF。證明：廷長E

5、D至M，使DM=DE，連接CM，MF。在BDE和CDM中，BD=CD中點定義1=5對頂角相等ED=MD輔助線作法BDECDMSAS又1=2，3=41+2+3+4=180°平角的定義3+2=90°即：EDF=90°FDM=EDF=90°在EDF和MDF中ED=MD輔助線作法EDF=FDM已證DF=DF公共邊EDFMDFSASEF=MF全等三角形對應邊相等在CMF中，CF+CM>MF三角形兩邊之和大于第三邊BE+CF>EF上題也可加倍FD，證法同上。注意：當涉及到有以線段中點為端點的線段時，可通過延長加倍此線段，構造全等三角形，使題中分散的條件集

6、中。例二：如圖5-1：AD為ABC的中線，求證：AB+AC>2AD。分析：要證AB+AC>2AD，由圖想到：AB+BD>AD,AC+CD>AD，所以有AB+AC+BD+CD>AD+AD=2AD，左邊比要證結論多BD+CD，故不能直接證出此題，而由2AD想到要構造2AD，即加倍中線，把所要證的線段轉移到同一個三角形中去證明：延長AD至E，使DE=AD，連接BE，CEAD為ABC的中線BD=CD中線定義在ACD和EBD中BD=CD已證1=2對頂角相等AD=ED輔助線作法ACDEBDSASBE=CA全等三角形對應邊相等在ABE中有：AB+BE>AE三角形兩邊之和大于第三邊AB+AC>2AD。練習：1 如圖，AB=6，AC=8，D為BC 的中點，求AD的取值范圍。BADC862 如圖，AB=CD，E為BC的中點，BAC=BCA，求證：AD=2AE。BECDA 3 如圖，AB=AC，AD=AE，M為BE中點，BAC=DAE=90°。求證：AMDC。DMCDED