1、朗道阻尼-beI n = e/ -bo2 學 nx dx = - x2J -adn _2 _x2n _1 1 x e dx =I n 22-co口及i0=G,遞推得動力學處理波動問題， 得到的結果與流 體理論的有所不同?？紤]一維靜電波擾動：，q 一 ，八氫 f1 +vox G + E gJo = 0,mL 1。,，E 二一% q. frdv；o 、工I 2m因此(2m -1)!2m經Fourier變換解得f1 = 唯-f0 ,色散 m（kv -，：.）,2 二p:、2- -'m=0(2m 1)!k2mTm2m m1 m:關系為:取頭兩項，并考慮主要是電子的貢獻，則D( ,k) =1-1

2、a,2 : f _PL °： dv=0n0-k(kv-)2 'Pe1-pe(1 3cok2Te2me)=0進一步近似可得2 = Ye。3k2 De)2其中0 P國標是等離子體振蕩頻率。P-m：.；0考慮長波，k很小，相速度很大，展開:1 人.,n0：k, kv ,kv、2 ,kv、31()()而朗道認為，以上運算過程中，積分存在奇點問題，即在速度等于波的相速度時，積分的分母為0。以上的處理方法只是主值積分， 正確的計算需要沿著奇點下方的路徑進行。如果按照朗道指出的路徑積分，結果為取平衡時的分布函數為Maxwellian分布:f Im(v)有因此色散方程為2mv2T21 八&q

3、uot;(_mv)f。nb ： kT ：1 kv (kv)2 (kv)3 .21Jm二 n°k' T'"+.,CO 0二0應用定積分公式k/ Re(v)積分圍道,2k2T1 _號(1 3?Te)-：i me討2v= ./k這時，0不再為實數，而是含有虛部的復數。 一般對于形如Dr( ,k) iDi( ,k) =0其中虛部是小量，則i =一口(、，k)/f D(r,k)這里下標r、i對應為實部和虛部。應用到此 處，可以得到電子靜電波的阻尼率- - -n n°ek2 .2pe - v f 0e 2/J pe/3V =，/k4rme二一一 32n

4、6;ek3 Te=-JI4rmeme八2k3Te ：2 二Teexp(foe2Te k2,pe,3 3 exp(- k 'De2k2 De至于為什么要使用朗道圍道進行積分,還需要從問題本來的物理過程看：如果最初有擾 動，可以對Vlasov方程進行時間t的Laplace 變換求得以后的擾動電場，而不是做Fourier變換（空間上仍然做 Fourier變換）：-bee4)t(；:tf1v；xf1qE；:vf0)dt -00m題，積分圍道需從下方繞過，才能滿足數學上的要求。而一些數學家則認為這種做法只 是純數學的東西，沒有物理意義。直到后來 實驗和模擬都證實了朗道阻尼的存在，朗道的處理方法才

5、被普遍的接受。從物理上看，朗道阻尼其實是波與電子 的共振相互作用。當電子的運動速度與波的 相速度相差不大時，電子就被波的勢阱捕 獲，從而與波一起運動。 開始時速度小于波 速的粒子得到加速，而開始時速度大于波速 的粒子被減速，最后被捕獲的粒子平均速度 都與波的速度相同。對于Maxwellian分布，運動速度在波 速附近的粒子中，速度慢的比速度快的粒子 更多。從而獲得加速的粒子多于減速的粒 子。總體看來，波失去能量而粒子獲得能量。 波的幅度就會逐漸減小，形成阻尼。Fourier 變換:P"P)- fi小既d0-beF(k) =f(x)eJkxdxjoOfl(P)=f1 p ikv代入電場

6、方程qikE(p)=* (f1-0 v可解出電場E(p) =fit =0qE(p)：vf0mq匕-E(p)；:vf0) mpdv0 v p ikv(ik經Laplace反變換,E(t)=i 二.eptE(p)dp-dvp ikvivfodvn° v P ikv這里仃是充分大的實數，使得所有積分奇點 都在積分線路的左邊。而這些奇點（分母為 0）就是經過對應 pT -i®之后的色散方 程。而。是充分大的條件，對應于色散方程 對速度v的積分中，奇點"T ip具有充分k k大的虛部，因此積分是從奇點下方通過的。有趣的是，朗道闡明了要解決這個物理問F(k)eikxdk =eikxf (y)ekydydk_qO_aO_aOia(x-y)Ja(x-y)e -e: lim f (y)dy一二 i(x-y)二 ia(x-y)= lim( f (y)dy c.c)a-.： ,:i(x-y)由于如圖圍道積分大圓弧上為0 （當aTg ）,主值積分就等于負的小弧積分。-beF(k)eikxdk=2二 f (x)joOf ( )d二二e(a ib)(t _.)f ( )d -c.c. t -.Laplace 變換：-beF(p) = f(t)e'tdt0a iba ibF(p)eptdp=eptdp f(.)e"d.a _