1、第四節(jié)：重積分的應(yīng)用第四節(jié)：重積分的應(yīng)用一、曲面的面積一、曲面的面積二、重心二、重心三、轉(zhuǎn)動慣量三、轉(zhuǎn)動慣量四、引力四、引力一、曲面的面積一、曲面的面積xyzso1、設(shè)曲面、設(shè)曲面S的方程為：的方程為：),(yxfz ,Dxoyf投影區(qū)域為投影區(qū)域為面上的面上的在在求求S的面積？的面積？將將D劃分成若干小區(qū)域劃分成若干小區(qū)域Dd ,),( dyx 點點.),(,(的切平面的切平面上過上過為為yxfyxMS .dsdAdAdsszd 則有則有，為為截切平面截切平面；為為截曲面截曲面軸的小柱面軸的小柱面平行于平行于邊界為準(zhǔn)線，母線邊界為準(zhǔn)線，母線以以 d),(yxMdAxyzs o ,面上的投影面

2、上的投影在在為為xoydAd ,cos dAd,11cos22yxff dffdAyx221,122 DyxdffA 曲面曲面S的面積元素的面積元素曲面面積公式為：曲面面積公式為：dxdyAxyDyzxz 22)()(1設(shè)曲面的方程為：設(shè)曲面的方程為：),(xzhy 曲面面積公式為：曲面面積公式為： .122dzdxAzxDxyzy 設(shè)曲面的方程為：設(shè)曲面的方程為：),(zygx 曲面面積公式為：曲面面積公式為： ;122dydzAyzDzxyx 同理可得同理可得例例 1 1 求球面求球面2222azyx ，含在圓柱體，含在圓柱體axyx 22內(nèi)部的那部分面積內(nèi)部的那部分面積.由由對對稱稱性性

3、知知14AA , 1D：axyx 22 曲面方程曲面方程 222yxaz ,于于是是 221yzxz ,222yxaa 解解)0,( yx面面積積dxdyzzADyx 12214 12224Ddxdyyxaa cos0220142ardrrada.4222aa 例例 2 2 求由曲面求由曲面azyx 22和和222yxaz )0( a所圍立體的表面積所圍立體的表面積.解解解方程組解方程組,22222 yxazazyx得兩曲面的交線為圓周得兩曲面的交線為圓周,222 azayx在在 平面上的投影域為平面上的投影域為xy,:222ayxDxy 得得由由)(122yxaz ,2axzx ,2ayzy

4、 221yxzz22221 ayax,441222yxaa 知知由由222yxaz 221yxzz, 2dxdyyxaaSxyD 222441故故dxdyxyD 2rdrraada 022204122 a ).15526(62 a二、重心二、重心當(dāng)薄片是均勻的，重心稱為當(dāng)薄片是均勻的，重心稱為形心或中心形心或中心.,1 DxdAx .1 DydAy DdA 其中其中,),(),( DDdyxdyxxx .),(),( DDdyxdyxyy 由元素法由元素法dvzyxdvzyxxxVV ),(),( 同同理理：設(shè)設(shè)空空間間立立體體區(qū)區(qū)域域為為 V，在在點點),(zyx處處的的面面密密度度為為),

5、(zyx ，空空間間立立體體 VD 的的重重心心 dvzyxdvzyxyyVV ),(),( dvzyxdvzyxzzVV ),(),( 例例 3 3 設(shè)平面薄板由設(shè)平面薄板由 )cos1()sin(tayttax，)20( t與與x軸圍成，它的面密度軸圍成，它的面密度1 ，求形心坐標(biāo)，求形心坐標(biāo)解解先求區(qū)域先求區(qū)域 D的面積的面積 A， 20t， ax 20 adxxyA20)( 20)sin()cos1(ttadta 2022)cos1(dtta.32a Da 2a )(xy 所所以以形形心心在在ax 上上，即即 ax , DydxdyAy1 )(0201xyaydydxA adxxya2

6、022)(61 203cos16dtta.65 所求形心坐標(biāo)為所求形心坐標(biāo)為 ),(65 a.由于區(qū)域關(guān)于直線由于區(qū)域關(guān)于直線ax 對稱對稱 ， 設(shè)設(shè)xoy平平面面上上有有n個個質(zhì)質(zhì)點點，它它們們分分別別位位于于),(11yx，),(22yx，,),(nnyx處處，質(zhì)質(zhì)量量分分別別為為nmmm,21則則該該質(zhì)質(zhì)點點系系對對于于x軸軸和和y軸軸的的轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)動動慣慣量量依依次次為為 niiixymI12， niiiyxmI12.三、轉(zhuǎn)動慣量三、轉(zhuǎn)動慣量,),(2 DxdyxyI .),(2 DydyxxI 薄片對于薄片對于 軸的轉(zhuǎn)動慣量軸的轉(zhuǎn)動慣量x薄片對于薄片對于 軸的轉(zhuǎn)動慣量軸的轉(zhuǎn)動慣量y vxd

7、vzyxzyI),()(22 同同理理：設(shè)設(shè)有有空空間間立立體體區(qū)區(qū)域域V，在在點點),(zyx處處的的密密度度為為),(zyx ，空空間間立立體體區(qū)區(qū)域域V的的轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)動動慣慣量量為為 vydvzyxzxI),()(22 vzdvzyxxyI),()(22 例例 4 4 設(shè)設(shè)一一均均勻勻的的直直角角三三角角形形薄薄板板，兩兩直直角角邊邊長長分分別別 為為a、b，求求這這三三角角形形對對其其中中任任一一直直角角邊邊的的轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)動動慣慣量量.解解設(shè)三角形的兩直角邊分別在設(shè)三角形的兩直角邊分別在x軸和軸和y軸上，如圖軸上，如圖aboyx對對y軸的轉(zhuǎn)動慣量為軸的轉(zhuǎn)動慣量為,2dxdyxIDy babydxx

8、dy0)1(02 .1213 ba 同理：對同理：對x軸的轉(zhuǎn)動慣量為軸的轉(zhuǎn)動慣量為dxdyyIDx 2 .1213 ab 例例 5 5 已已知知均均勻勻矩矩形形板板（面面密密度度為為常常數(shù)數(shù)）的的長長和和寬寬分分別別為為b和和h，計計算算此此矩矩形形板板對對于于通通過過其其形形心心且且分分別別與與一一邊邊平平行行的的兩兩軸軸的的轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)動動慣慣量量.解解先求形心先求形心,1 DxdxdyAx.1 DydxdyAy 建建立立坐坐標(biāo)標(biāo)系系如如圖圖oyx, hbA 區(qū)域面積區(qū)域面積 因因為為矩矩形形板板均均勻勻,由由對對稱稱性性知知形形心心坐坐標(biāo)標(biāo)2bx ，2hy .hb將將坐坐標(biāo)標(biāo)系系平平移移如如圖圖

9、oyxhbuvo 對對u軸軸的的轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)動動慣慣量量 DududvvI2 22222hhbbdudvv .123 bh 對對v軸的轉(zhuǎn)動慣量軸的轉(zhuǎn)動慣量 DvdudvuI2 .123 hb 設(shè)設(shè)空空間間立立體體區(qū)區(qū)域域為為 V，在在點點),(zyx處處的的密密度度為為),(zyx ，計計算算對對),(0000zyxM處處的的單單位位質(zhì)質(zhì)點點的的引引力力 ,zyxFFFF 設(shè)：設(shè)：dvzyxxxzyxGFvx 32220)()(,( 四、引力四、引力dvzyxyyzyxGFvy 32220)()(,( dvzyxzzzyxGFvz 32220)()(,( FyFxFz例例6 6 求求面面密密度度為為常常量量、半半徑徑為為R的的均均勻勻圓圓形形薄薄片片：222Ryx ，0 z對對位位于于 z軸軸上上的的點點),0 ,0(0aM處處的的單單位位質(zhì)質(zhì)點點的的引引力力)0( a解解由積分區(qū)域的對稱性知由積分區(qū)域的對稱性知, 0 yxFF dayxyxafFDz 23)(),(222 dayxafD 23)(1222oyzxFdrrardafR 0222023)(1.11222 aaRfa所求引力為所求引力為.112, 0, 022 aaRfa幾何應(yīng)用：曲面的面積幾何應(yīng)用：曲面的面積物理應(yīng)用：重心、轉(zhuǎn)動慣量、引力物理應(yīng)用：重心、轉(zhuǎn)動慣量、引力