1、第六節(jié)第六節(jié) 高斯公式與散度高斯公式與散度一、高斯一、高斯(Gauss)(Gauss)公式公式二、高斯公式的簡單應用二、高斯公式的簡單應用 三、物理意義三、物理意義 通量與散度通量與散度場論三大公式：場論三大公式：(一一) 格林公式格林公式(二二)高斯公式高斯公式(三三)斯托克斯公式斯托克斯公式是刻畫和研究許多物理現(xiàn)象的有力工具。是刻畫和研究許多物理現(xiàn)象的有力工具。一、高斯一、高斯(Gauss)公式公式定理定理 設設 為空間有界閉區(qū)域， 其邊界曲面為空間有界閉區(qū)域， 其邊界曲面 由有限由有限塊光滑或分片光滑的曲面圍成塊光滑或分片光滑的曲面圍成, ,若函數(shù)若函數(shù)),(zyxP、),(zyxQ、)

2、,(zyxR在在 上具有一階連續(xù)偏導數(shù)上具有一階連續(xù)偏導數(shù), , 則有公式則有公式 yxRxzQzyPVzRyQxPddddddd)( (1) 其中其中 + +表示表示 的邊界曲面的的邊界曲面的外側(cè)外側(cè). . 公式公式(1)叫做高斯叫做高斯(Gauss)公式公式.d( , , )d d ,PVP x y zy zx 證明思路：證明思路：d( , , )d d ,QVQ x y zz xy yxRxzQzyPVzRyQxPddddddd)(-高斯公式高斯公式d( , , )d d .RVR x y zx yz 證明證明xyzo 由由1 , ,2 和和3 三三部部分分組組成成, , 1:1( ,

3、, )( , ),( , )xyx y z zz x yx yD取下側(cè) 1 2 3 xyD2:2( , , )( , ),( , )xyx y z zzx yx yD取上側(cè)3:12( , , )( , )( , ),( , )xyx y z z x yzzx yx yD取外側(cè)根據(jù)三重積分的計算法根據(jù)三重積分的計算法yxzzRVzRxyDyxzyxzdddd),(),(21 .dd),(,),(,12 xyDyxyxzyxRyxzyxR根據(jù)曲面積分的計算法根據(jù)曲面積分的計算法,dd),(,dd),(11 xyDyxyxzyxRyxzyxR ( (1 取取下下側(cè)側(cè), , 2 取取上上側(cè)側(cè), , 3

4、 取取外外側(cè)側(cè)) ),dd),(,dd),(22 xyDyxyxzyxRyxzyxR ,dd),(,),(,12 xyDyxyxzyxRyxzyxR yxzyxRdd),(于是于是. 0dd),(3 yxzyxR.dd),(d yxzyxRVzRd( , , )d d ,PVP x y zy zx 同理同理d( , , )d d ,QVQ x y zz xy yxRxzQzyPVzRyQxPddddddd)(-高斯公式高斯公式合并以上三式得：合并以上三式得：.xyxy如果 不是型的空間區(qū)域，則可構(gòu)造幾張輔助面，將 分成有限個型的空間區(qū)域，輔助面上正反兩側(cè)的曲面積分互相抵消，一樣可以證得該公式(

5、 , , )d d( , , )d d( , , )d dP x y zy zQ x y zz xR x y zx y ( , , )cos( , , )cos( , , )cos dP x y zQ x y zR x y zS由兩類曲面積分之間的關系由兩類曲面積分之間的關系GaussGauss公式的實質(zhì)公式的實質(zhì)溝通了空間閉區(qū)域上的三重積分與其邊界曲面溝通了空間閉區(qū)域上的三重積分與其邊界曲面上的曲面積分之間的關系上的曲面積分之間的關系.d)coscoscos(d)( SRQPVzRyQxP由兩類曲面積分之間的關系知由兩類曲面積分之間的關系知二、高斯公式的簡單應用二、高斯公式的簡單應用（常用于

6、計算封閉曲面上的第二類曲面積分）（常用于計算封閉曲面上的第二類曲面積分）33322221,.x dydzy dzdxz dxdyxyzR 例 計算為球面的外側(cè)5125R（答案：）92（答案：-）32（答案：）高斯高斯(Gauss)公式公式定理定理 設設 為空間有界閉區(qū)域， 其邊界曲面為空間有界閉區(qū)域， 其邊界曲面 由有限由有限塊光滑或分片光滑的曲面圍成塊光滑或分片光滑的曲面圍成, ,若函數(shù)若函數(shù)),(zyxP、),(zyxQ、),(zyxR在在 上具有一階連續(xù)偏導數(shù)上具有一階連續(xù)偏導數(shù), , 則有公式則有公式 yxRxzQzyPVzRyQxPddddddd)( (1) 其中其中 + +表示表示

7、 的邊界曲面的的邊界曲面的外側(cè)外側(cè). . 公式公式(1)叫做高斯叫做高斯(Gauss)公式公式.使用使用Guass公式時應注意公式時應注意:1.1. P,Q,R 是對什么變量求偏導數(shù)是對什么變量求偏導數(shù); ; 2.2.是否滿足高斯公式的條件是否滿足高斯公式的條件; ;3 3. .是是取取閉閉曲曲面面的的外外側(cè)側(cè). . （答案：4 ）例例4 4 計算曲面積分計算曲面積分323232()d d()d d()d dIxazy zyaxz xzayx y222-.zaxy其中 是上半球面的上側(cè)問題：如果將例問題：如果將例4中的中的“上半球面改為上半球面改為“上半球體上半球體”，需要添加輔助面嗎？需要添

8、加輔助面嗎？52920a（答案：）例例5 5 計算曲面積分計算曲面積分22()Iyzdydzxzydzdxxydxdy224-(0).yxzy其中 是曲面的外側(cè)323（答案：）三、物理意義三、物理意義 通量與散度通量與散度設設有有向向量量場場 kzyxRjzyxQizyxPzyxF),(),(),(),( 1 1、通量、通量( (或流量或流量) )的定義的定義: : yxRxzQzyPSFddddddd沿場中某一定向曲面沿場中某一定向曲面的第二類曲面積分為的第二類曲面積分為 2. 2. 散度或通量密度的定義散度或通量密度的定義: :kzyxRjzyxQizyxPzyxF),(),(),(),(

9、 設設向向量量場場稱數(shù)量稱數(shù)量,div),divergence(),(FzyxF記為記為處的散度處的散度在點在點為為),(zyxzRyQxP zRyQxPF div即即高斯公式可寫成高斯公式可寫成 SFVFdddiv高斯公式的物理意義高斯公式的物理意義:FF向量場 通過 的邊界曲面流向外側(cè)的通量等于向量場 的散度在 上的三重積分. yxRxzQzyPVzRyQxPddddddd)(-高斯公式高斯公式設設有有向向量量場場),(zyxF, ,在在場場內(nèi)內(nèi)作作包包圍圍點點 M 的的閉閉曲曲面面 , , 包包圍圍的的區(qū)區(qū)域域為為 V, ,記記體體積積為為 V. . .d1內(nèi)的平均源強內(nèi)的平均源強在在稱

10、為稱為 FSFV yxRxzQzyPSFddddddd稱為向量場稱為向量場),(zyxF向正側(cè)穿過曲面向正側(cè)穿過曲面的的通量通量. . ),(divddiv1d1*MFVFVSFV 由由上上式式得得其其中中,* M)(div)(divlimd1lim*MFMFSFVMM .FM上述極限稱為在點處得源頭強度即在單位時間單位體積內(nèi)所產(chǎn)生的流體質(zhì)量.1)div ()0,d0,F MFSFM當時 有稱在處有正源 即流體從該點向外發(fā)散.,)(div為無源場為無源場稱稱在場內(nèi)處處為零在場內(nèi)處處為零如果如果FMF2)div ()0,d0,F MFSFM當時 有稱 在處有負源 即流體向該點匯聚.)(div)(

11、divlimd1lim*MFMFSFVMM .處處得得源源頭頭強強度度在在點點上上述述極極限限稱稱為為MF四、小結(jié)四、小結(jié) SFVFdddiv（1應用的條件應用的條件（2物理意義物理意義2、高斯公式的實質(zhì)、高斯公式的實質(zhì)1、高斯公式、高斯公式 yxRxzQzyPVzRyQxPddddddd)(思考題思考題曲面應滿足什么條件才能使高斯公式成立？曲面應滿足什么條件才能使高斯公式成立？思考題解答思考題解答曲面應是光滑或分片光滑的閉曲面曲面應是光滑或分片光滑的閉曲面.一、一、 利用高斯公式計算曲面積分利用高斯公式計算曲面積分: :1 1、dxdyzdzdxydydzx333 , ,其中其中 為球面為球

12、面 2222azyx 外側(cè)；外側(cè)；2 2、 zdxdyydzdxxdydz, ,其中其中 是界于是界于0 z和和 3 z之間的圓柱體之間的圓柱體922 yx的整個表面的外的整個表面的外 側(cè)；側(cè)；3 3、 xzdydz, , 其其中中是上半球面是上半球面 222yxRz 的上側(cè)的上側(cè) . .練習題練習題二、證明二、證明: :由封閉曲面所包圍的體積為由封閉曲面所包圍的體積為 dszyxV)coscoscos(31 , ,式中式中 cos,cos,cos是曲面的外法線的方向余弦是曲面的外法線的方向余弦 . .三、求向量三、求向量kxzjyxizxA22)2( , ,穿過曲面穿過曲面 : :為為立方體立方體ayax 0,0, ,az 0的全表面的全表面, ,流流向外側(cè)的通量向外側(cè)的通量 . .四、求向量場四、求向量場kxzjxyieAxy)cos()cos(2 的散的散度度 . .五五、設設),(,),(zyxvzyxu是是兩兩個個定定義義在在閉閉區(qū)區(qū)域域 上上的的具具有有二二階階連連續(xù)續(xù)偏偏導導數(shù)數(shù)的的函函數(shù)數(shù), ,nvnu ,依依次次表表示示 ),(,),(zyxvzyxu沿沿 的的外外法法線線方方向向的的方方向向?qū)?shù)數(shù) . .