1、第七章第七章 電磁波的反射和折射電磁波的反射和折射 7.1 7.1 平面波的一般數學表達式平面波的一般數學表達式7.2 7.2 對平面分界面的垂直入射對平面分界面的垂直入射7.3 7.3 對平面分界面的斜入射對平面分界面的斜入射7.1 平面波的一般數學表達式平面波的一般數學表達式x x極化的，沿極化的，沿z方向傳播的均勻平面波的瞬時值表示方向傳播的均勻平面波的瞬時值表示為為 其復矢量可表示為其復矢量可表示為)cos(kztEaEmx)cos(1kztEaHmy)(kztjmeEE)(11kztjmzzeEaEaH , 為波的傳播方向，且電為波的傳播方向，且電場、磁場和波的傳播方向三者滿足右手螺

2、旋關場、磁場和波的傳播方向三者滿足右手螺旋關系。系。 若從坐標原點向波陣面上任一點所引矢徑若從坐標原點向波陣面上任一點所引矢徑 ,而將而將 稱為波的稱為波的波矢量，則有波矢量，則有 所以式所以式 和和 可以寫成可以寫成 mxmEaEza)(11kztjmzzeEaEaHzayaxarzyxkkazkzrakrkz)(kztjmeEE)(rktjmeEE)(11rktjmzzeEaEaHkzkzrk 對于給定的波矢量對于給定的波矢量 ，為常數的平面為常數的平面為等相位面，為等相位面， 波矢量的方向為波的傳播方波矢量的方向為波的傳播方向，大小為波數。向，大小為波數。如圖如圖7.1.17.1.1所示

3、。所示。圖7.1.1 波的等相位面 對于向任一方向對于向任一方向 傳播的均勻平面波，傳播的均勻平面波，波矢量為波矢量為 ,波的各場分量的復矢量可波的各場分量的復矢量可表示為表示為 這便是向任意方向傳播的波的一般復矢量表達這便是向任意方向傳播的波的一般復矢量表達式。在理想介質中，波矢量為式。在理想介質中，波矢量為 為一實矢量，因此，為一實矢量，因此， 。沿。沿 方向傳播方向傳播的均勻平面波的等相面的移動情況如圖的均勻平面波的等相面的移動情況如圖7.1.2所所示。示。kakakk)(rktjmeEE)(11rktjmkkeEaEaHkkakakkka 圖7.1.2 沿Z方向傳播的均勻平面波 7.2

4、 7.2 對平面分界面的垂直入射對平面分界面的垂直入射7.2.1 對理想導體平面的垂直入對理想導體平面的垂直入射射 在圖在圖7.2.1中，設媒質中，設媒質1為自為自由空間，媒質由空間，媒質2為理想導體。在分為理想導體。在分界面上取一點為坐標系的原點并界面上取一點為坐標系的原點并取軸與分界面垂直，由媒質取軸與分界面垂直，由媒質1指向指向媒質媒質2。若。若X極化的均勻平面波由極化的均勻平面波由自由空間入射到理想導體表面上，自由空間入射到理想導體表面上，波矢量為波矢量為zzzaakak00入射波電磁場分量為入射波電磁場分量為 )(ztjmxxxeEaEaE)(0)(0011ztjmyztjmxzze

5、EaeEaaEaH式中式中 000/由于理想導體的電導率由于理想導體的電導率電磁波不能透入其中，因此，在理想導體中電電磁波不能透入其中，因此，在理想導體中電磁場都等于零。磁場都等于零。 zzzakak電磁波在理想導體表面上被全部反射回來，形成向電磁波在理想導體表面上被全部反射回來，形成向方向傳播的方向傳播的反射波反射波，其波矢量為，其波矢量為，其場分量為其場分量為 ()jtzxxxmEa Ea E e )(0)(001)(1ztjmyztjmxzzeEaeEaaEaH在自由空間中的合成電磁場為在自由空間中的合成電磁場為()()jtzjtzxxxmmEEEE eE e()()00jtzjtzmm

6、yyyEEHHHee 在在0z處，利用電場強度切向分量連續的邊界條件處，利用電場強度切向分量連續的邊界條件可得可得 或或 于是，在于是，在0z的自由空間中的反射波為的自由空間中的反射波為 波在自由空間中的合成電磁場為波在自由空間中的合成電磁場為0mmxEEEmmEE)(ztjmxeEE)(00ztjmxyeEEHtjmtjzjzjmxezEjeeeEEsin2)(tjmtjzjzjmyyyezEeeeEHHHcos2)(00 合成電磁場的瞬時值為合成電磁場的瞬時值為)sin()sin(2Re),(tzEeEtzEmtjxx)cos()cos(2Re),(0tzEeHtzHmtjyy可見，合成電

7、磁場的振幅隨空間坐標可見，合成電磁場的振幅隨空間坐標 按正弦按正弦z函數分布，而在空間一點，電磁場隨時間作簡諧函數分布，而在空間一點，電磁場隨時間作簡諧振動。這是一種振動。這是一種駐波分布駐波分布，如圖，如圖7.2.2所示。所示。 圖圖7.2.2 7.2.2 合成電磁場合成電磁場的振幅隨空間坐標的的振幅隨空間坐標的分布分布結論：當均勻平面波垂直入射到理想導體表面時，結論：當均勻平面波垂直入射到理想導體表面時，在表面上發生全反射，反在表面上發生全反射，反 射波與入射波的迭加在自由射波與入射波的迭加在自由空間中形成駐波。其分布為：在空間中形成駐波。其分布為：在 或 （）處，電場為零，磁場為最大值。

8、處，電場為零，磁場為最大值。 我們稱這我們稱這 樣的點為樣的點為電場波節點或電場波節點或 nz2nz , 2 , 1 , 0n2) 12(nz4) 12(nz磁場波腹點；在或或處 ，磁場為零，電場為最大值。磁場為零，電場為最大值。 我們稱這我們稱這 樣的點為樣的點為磁場波節點磁場波節點或電場波腹點電場波腹點。 在理想導體表面上，電場為零，磁場為最大值在理想導體表面上，電場為零，磁場為最大值。 根據邊界條件可知，電磁波根據邊界條件可知，電磁波 將在導體表面上感應將在導體表面上感應 出面電流，即出面電流，即 處在自由空間中，波的平均坡印廷矢量為在自由空間中，波的平均坡印廷矢量為0z02mxyyzs

9、EaHaaHnJ0)cos(2)sin(2Re21Re210*zEazEjaHESmymxav可見，可見，駐波不能傳輸電磁能量，而只存在電場能和駐波不能傳輸電磁能量，而只存在電場能和磁場能的相互轉換磁場能的相互轉換。7.2.2 對理想介質平面的垂直入射對理想介質平面的垂直入射 設設x極化的均勻平面波從第一種介質垂直入射到分極化的均勻平面波從第一種介質垂直入射到分界面上，波將在分界面上發生反射和透射。界面上，波將在分界面上發生反射和透射。入射波的波矢量為入射波的波矢量為 ：11111zzzaakak反射波的波矢量為反射波的波矢量為 ：1111zzaak介質介質1中中入射波電磁場分量為入射波電磁場

10、分量為：)(1111ztjmxxxeEaEaE)(1111111ztjmyzeEaEaH介質介質1中反中反射波電磁場分量為射波電磁場分量為：)(1111ztjmxxxeEaEaE)(111111)(1ztjmyzeEaEaH介質介質1中合成中合成波電磁場分量為波電磁場分量為：)(1)(11111ztjmztjmxxxeEeEEEE)(11)(11111ztjmztjmyyyeEeEHHH在介質在介質2中，透射波向中，透射波向z方向傳播，波矢量為方向傳播，波矢量為 ：介質介質2中透射波的電磁場分量為中透射波的電磁場分量為 ：22222zzzaakak)(2222ztjmxxxeEaEaE)(22

11、22221ztjmyzeEaEaH在在介質介質分界面（分界面（z=0）上，由邊界條件可得）上，由邊界條件可得 ：211mmmEEE221111mmmEEE121211mmEE122122mmEE 界面的界面的反射系數反射系數定義為定義為分界面上反射波與入射波分界面上反射波與入射波電場之比，即電場之比，即：11mmEER1212R 界面的界面的傳輸傳輸系數系數定義為定義為分界面上分界面上透射透射波與入射波波與入射波電場之比，即電場之比，即：12mmEET122122mmEET 可以證明，波垂直入射到介質分界面上時，可以證明，波垂直入射到介質分界面上時，R與與T滿足關系滿足關系 RT1 對于理想介

12、質和一般的電介質，其磁導率對于理想介質和一般的電介質，其磁導率非常接非常接近于真空的磁導率近于真空的磁導率0 ，因此，可簡化為，因此，可簡化為 ：2121102010201212/R2112T 可見，波在介質分界面上的反射和透射主要取決于兩介質可見，波在介質分界面上的反射和透射主要取決于兩介質介電常數（或折射率）的差異。若介電常數（或折射率）的差異。若12 ，則反射波電場與入，則反射波電場與入射波電場同相；若射波電場同相；若12 ，則反射波電場與入射波電場反相。，則反射波電場與入射波電場反相。透射波電場與入射波電場總是同相的。透射波電場與入射波電場總是同相的。 一般情況下媒質為導電媒質，其本征

13、阻抗為復數，一般情況下媒質為導電媒質，其本征阻抗為復數，R和和T也也為復數。這表明在分界面上的反射波和透射波還存在一個由界為復數。這表明在分界面上的反射波和透射波還存在一個由界面決定的面決定的附加相移附加相移。 波斜入射到兩種不同媒質分界面上也將發生反波斜入射到兩種不同媒質分界面上也將發生反射和折射，界面對波的反射和折射與入射波的極射和折射，界面對波的反射和折射與入射波的極化方式有關。為了描述波極化方式對反射、折射化方式有關。為了描述波極化方式對反射、折射的影響，我們將分界面的法線與入射波射線構成的影響，我們將分界面的法線與入射波射線構成的平面定義為入射面，并規定：電場垂直于入射的平面定義為入

14、射面，并規定：電場垂直于入射面的波為面的波為垂直極化波垂直極化波；電場平行于入射面的波為；電場平行于入射面的波為平行極化波平行極化波。由于任意極化波可以視為上述兩種。由于任意極化波可以視為上述兩種極化波的迭加。下面我們分別討論兩種極化波對極化波的迭加。下面我們分別討論兩種極化波對理想導體表面的斜入射和對理想介質表面的斜入理想導體表面的斜入射和對理想介質表面的斜入射。射。 7.3 波對平面分界面的斜入射7.3.17.3.1波對理想導體表面的斜入射波對理想導體表面的斜入射 一、平行極化波的斜入射一、平行極化波的斜入射 入射角入射角的平行極化波在的平行極化波在理想導體表面將被全反射，理想導體表面將被

15、全反射，反射波角為反射波角為，入射波與，入射波與反射波傳播方向上的單位反射波傳播方向上的單位矢量及波矢量滿足：矢量及波矢量滿足： (sincos )kxZka kaak(sincos )kxZka kaak波矢量 sincoskxzaaasincoskxzaaa由圖可見由圖可見 mymkEaEamymkEaEa 所以，入射波電磁場分量所以，入射波電磁場分量為（忽略時間因子）：為（忽略時間因子）： rajkmrk jmkeEeEErk jmyrk jmkkeEaeEaEaH00011反射波電磁場分量為反射波電磁場分量為 ：rajkmrk jmkeEeEErk jmyrk jmkkeEaeEaEa

16、H00011 于是反射平面左邊空氣中入射波與反射波的合于是反射平面左邊空氣中入射波與反射波的合成場分量為成場分量為 ：rk jmrk jmeEeEEEErk jmyrk jmyeEaeEaHHH00因)cossin(zxkrk)cossin(zxkrk)cossin()cossin(coscos),(zxjkmzxjkmxeEeEzxE)cossin()cossin(sinsin),(zxjkmzxjkmzeEeEzxE)cossin(0)cossin(0),(zxjkmzxjkmyeEeEzxH0coscos)0 ,(sinsinjkxmjkxmxeEeExE 在導體表面上在導體表面上(z=

17、0)，由由邊界條件邊界條件可知可知，合成電場，合成電場的切向分量應為零，即的切向分量應為零，即：mmEE斯耐爾反射定律斯耐爾反射定律 聯立求解上式，可得反射面左邊的電磁場分量為聯立求解上式，可得反射面左邊的電磁場分量為 ：sin)cossin(cos2),(jkxmxekzEjzxEsin)coscos(sin2),(jkxmzekzEzxEsin0)coscos(21),(jkxmyekzEzxH 結論結論 ： 平行極化的平面波斜入射到理想導體表面被界平行極化的平面波斜入射到理想導體表面被界面反射，反射波與入射波迭加，形成沿導體表面面反射，反射波與入射波迭加，形成沿導體表面方向的傳播波。其相

18、速為方向的傳播波。其相速為cckkvxpsinsin 2.合成波在合成波在Z方向不構成相位函數，因此在方向不構成相位函數，因此在Z方向無波方向無波的傳播。而沿的傳播。而沿x方向傳播的非均勻平面波的振幅按方向傳播的非均勻平面波的振幅按 分布，故合成波在分布，故合成波在Z方向是駐波。方向是駐波。 1、合成波是一個向合成波是一個向x方向傳播的非均勻平面波。由于方向傳播的非均勻平面波。由于此平面波沿傳播方向（此平面波沿傳播方向（ x方向）不存在磁場分量，故方向）不存在磁場分量，故稱為橫磁波或稱為橫磁波或TM波。波。 )cossin(kz)coscos(kz), 2 , 1 , 0(cos2 nnznn

19、kzcosEzHy振幅最大振幅最大波腹點波腹點Ex=0 波節點波節點 ), 2 , 1 , 0(21cos2 mmzmEzHy波節點波節點Ex波腹點波腹點 如圖如圖，反射平面左，反射平面左半空間的合成波電磁半空間的合成波電磁場分量為：場分量為：二、垂直極化波的斜入射二、垂直極化波的斜入射 )cossin()cossin(),(zxjkmzxjkmyeEeEzxEcoscos1),()cossin()cossin(0zxjkmzxjkmxeEeEzxHsinsin1),()cossin()cossin(0zxjkmzxjkmzeEeEzxH利用理想導體表面上利用理想導體表面上(z=0)的邊界條件

20、，同樣可得的邊界條件，同樣可得 ：mmEEsin)cossin(2),(jkxmyekzEjzxEsin0)coscos(cos2),(jkxmxekzEzxHsin0)cossin(sin2),(jkxmzekzEjzxH由此可得：由此可得： 合成波是一個向合成波是一個向x方向傳播的非均勻平面方向傳播的非均勻平面波。由于此平面波沿傳播方向（波。由于此平面波沿傳播方向（ x方向）不方向）不存在電場分量，故稱為存在電場分量，故稱為橫橫電波或波或TE波波。 2.在垂直于分界面的方向上，合成波的場隨在垂直于分界面的方向上，合成波的場隨z按駐波分布。按駐波分布。結論結論 ： 1. 垂直極化的平面波斜入

21、射到理想導體表面垂直極化的平面波斜入射到理想導體表面被界面反射，反射波與入射波迭加，形成沿導被界面反射，反射波與入射波迭加，形成沿導體表面方向的傳播波。其相速為體表面方向的傳播波。其相速為 cckkvxpsinsin7.3.2波對理想介質表面的斜入射波對理想介質表面的斜入射 一、平行極化波的斜入射一、平行極化波的斜入射 當平行極化的平當平行極化的平面波從左半空間斜面波從左半空間斜入射到理想介質分入射到理想介質分界時，一部分被反界時，一部分被反射，另一部分則折射，另一部分則折射入右半空間。入射入右半空間。入射波、反射波與折射波、反射波與折射波傳播方向上的射波傳播方向上的單位矢量及波矢量單位矢量及

22、波矢量滿足：滿足： 反射平面左半空間合成波的電磁場分量為反射平面左半空間合成波的電磁場分量為 ：cossin1zxkaaa1cossinzxkaaa 2cossinzxkaaa)cossin(1111zxkaakkak)cossin(1111zxkaakkak)cossin( 2122zxkaakkak波矢量波矢量 其中：其中：111k222k rk jmrk jmeEeEEEE2111111)(12111111111rk jmkrk jmkeEaeEaHHH反射平面右半空間折射波的電磁場分量為反射平面右半空間折射波的電磁場分量為 ：rk jmeEE222rk jmkeEaH222221111

23、mymkEaEa111mymkEaEa222mymkEaEa、因因 故，反射平面左半空間合成波的電磁場分量為故，反射平面左半空間合成波的電磁場分量為 ：)cossin(1)cossin(1111coscos),(zxjkmzxjkmxeEeEzxE)cossin(1)cossin(1111sinsin),(zxjkmzxjkmzeEeEzxE)cossin(11)cossin(1111),(zxjkmzxjkmyeEeEzxH反射平面右半空間折射波電磁場分量為反射平面右半空間折射波電磁場分量為 ：在在z=0的分界面上，根據邊界條件可得的分界面上，根據邊界條件可得：)cossin( 22 2co

24、s),(zxjkmxeEzxE)cossin( 22 2sin),(zxjkmzeEzxE)cossin(222 2),(zxjkmyeEzxH 211sin 2sin1sin1coscoscosxjkmxjkmxjkmeEeEeE 211sinsinsinxkxkxk介質分界面上的反射介質分界面上的反射定律，即入射角等于定律，即入射角等于反射角反射角12221121 sinsinvvkk 介質分界面上的折射介質分界面上的折射定律，即定律，即斯耐爾折射斯耐爾折射定律定律。一般介質，磁導率接近真空磁導率，上式可簡化為一般介質，磁導率接近真空磁導率，上式可簡化為 ：nnn2121 sinsin波阻

25、抗波阻抗波的橫電場分量對與其相互垂直的橫磁場波的橫電場分量對與其相互垂直的橫磁場分量的比值，并且橫電場、橫磁場和波的傳播方向三分量的比值，并且橫電場、橫磁場和波的傳播方向三足右手螺旋關系。足右手螺旋關系。 平行極化波向平行極化波向z方向傳播分量的波阻抗方向傳播分量的波阻抗ZZ1，ZZ2為：為：cos111111yxyxzHEHEZ 2222cosyxzHEZ在在Z0的分界面上，切向磁場分量連續，即：的分界面上，切向磁場分量連續，即：221111zxzxzxZEZEZE 聯立可解得平行極化波在分界面上的反射系數和聯立可解得平行極化波在分界面上的反射系數和透射系數為：透射系數為： 211 2121

26、211/coscoscoscoszzzzxxZZZZEER 21 212212/coscoscos22zzzxxZZZEET 非鐵磁性物質，非鐵磁性物質，1 20，可得平行極化波的，可得平行極化波的菲涅爾公菲涅爾公式：式：2121221212/sin)/(cos)/(sin)/(cos)/(R2121212/sin)/(cos)/(/cos2T/21/1TR可以證明，平行極化波的反射系數和透射系數滿可以證明，平行極化波的反射系數和透射系數滿足關系足關系 ：二、垂直極化波的斜入射二、垂直極化波的斜入射 當垂直極化當垂直極化的平面波從左的平面波從左半空間斜入射半空間斜入射到理想介質分到理想介質分界

27、時，一部分界時，一部分被反射，另一被反射，另一部分則折射入部分則折射入右半空間。同右半空間。同理可得：理可得： 反射面左半空間的合成電磁場為反射面左半空間的合成電磁場為 ：反射面右半空間的合成電磁場為反射面右半空間的合成電磁場為 ：rk jmyrk jmyeEaeEaEEE2111111)(12111111111rk jmykrk jmykeEaaeEaaHHHrk jmyeEaE222rk jmykeEaaH222221 用類似于平行極化波的分析方法，可得相同的反射用類似于平行極化波的分析方法，可得相同的反射定律和折射定律。同時可得垂直極化波的波阻抗為定律和折射定律。同時可得垂直極化波的波阻

28、抗為 ：sec1111xyzHEZ 222secxyzHEZ垂直極化波的反射系數、透射系數及垂直極化波的反射系數、透射系數及菲涅爾公式菲涅爾公式為：為：2122121212sin)/(cossin)/(coszzzzZZZZR212122sin)/(coscos22zzzZZZT同樣有：同樣有：TR1 上圖為平行極化波和垂直極化波的反射系數模上圖為平行極化波和垂直極化波的反射系數模值隨入射角的變化曲線。由圖可見當平行極化波值隨入射角的變化曲線。由圖可見當平行極化波入射角入射角時， sin2121B 反射系數為零，發生反射系數為零，發生全折射現象全折射現象，對應的入射角，對應的入射角稱為稱為布儒斯特角布儒斯特角。 全折射現象只有在全折射現象只有在平行極化波平行極化波的斜入射時才會的斜入射時才會發生。發生。 如果電磁波以任意極化方式并以布儒斯特角入射，如果電磁波以任意極化方式并以布儒斯特角入射，由于只有平行極化波在入射角等于布儒斯特角時的由于只有平行極化波在入射角等于布儒斯特角時的反射才等于零，則反射波中只有垂直極化波。這就反射才等于零，則反射波中只有垂直極化波。這就是是極化濾除效應極化濾除效應。 7.3.3波的全反射現象波的全反射現象 由斯耐爾折射定律可知，如果波從光密媒質入射到光由斯耐爾折射定律可知，如果波從光密媒質入射到光疏媒質時，必然有疏媒質時，必然