1、第一章習(xí)題答案1-1某廠每日（8h制）產(chǎn)量不低于1800件。計(jì)劃聘請(qǐng)兩種不同的檢驗(yàn)員，一級(jí)檢驗(yàn)員的標(biāo)準(zhǔn)為：速度為25件/h,正確率為98%計(jì)時(shí)工資為4元/ h;二級(jí)檢驗(yàn)員標(biāo)準(zhǔn)為：速度為15件/h,正確率為95%計(jì)時(shí)工資3元/h。檢驗(yàn)員每錯(cuò)檢一件，工廠損失2元。現(xiàn)有可供聘請(qǐng)檢驗(yàn)人數(shù)為：一級(jí)8人和二級(jí)10人。為使總檢驗(yàn)費(fèi)用最省，該廠應(yīng)聘請(qǐng)一級(jí)、二級(jí)檢驗(yàn)員各多少人？ 解：（1 ）確定設(shè)計(jì)變量；一級(jí)檢驗(yàn)員;二級(jí)檢驗(yàn)員X-j根據(jù)該優(yōu)化問(wèn)題給定的條件與要求，取設(shè)計(jì)變量為X=1X2(2)建立數(shù)學(xué)模型的目標(biāo)函數(shù)；取檢驗(yàn)費(fèi)用為目標(biāo)函數(shù)，即：f(X) = 8*4* X 1+ 8*3* X 2 + 2 ( 8*25

2、*0.02 X 1 +8*15*0.05 X 2)=40x 1+ 36x 2(3)本問(wèn)題的最優(yōu)化設(shè)計(jì)數(shù)學(xué)模型：min f (X) = 40 X1+ 36X2X ? R3s.t.g1(X) =1800-8*25 Xi+8*15X2< 0g2( X) = x 1 -8 < 0g3( X) = X2-10 < 0g4( X) =- X1 < 0g5( X) = - x 2 < 01-2已知一拉伸彈簧受拉力F,剪切彈性模量G,材料重度r,許用剪切應(yīng)力，許用最大變形量口。欲選擇一組設(shè)計(jì)變量X 夸X2X3TdD2 nT使彈簧重量最輕，同時(shí)滿(mǎn)足下列限制條件：彈簧圈數(shù)簧絲直徑d

3、0.5,彈簧中徑10D250o試建立該優(yōu)化問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型o注：彈簧的應(yīng)力與變形計(jì)算公式如下k 8FD2ks 3，ks 1 -彳1 s d3 s 2c-（旋繞比）8步Gd4解：（1）確定設(shè)計(jì)變量;根據(jù)該優(yōu)化問(wèn)題給定的條件與要求，取設(shè)計(jì)變量為X1dX2d2 ；X3nX =（2）建立數(shù)學(xué)模型的目標(biāo)函數(shù)；取彈簧重量為目標(biāo)函數(shù)，即：2f(X)= 一 rx1 X2X3（3）本問(wèn)題的最優(yōu)化設(shè)計(jì)數(shù)學(xué)模型：s.t.min f (X)=2 2rX1 X2X3X? Rg1(X) =0.5力 1 w 0g2( X) =10- X 2 w 0g3( X) = x 2-50 < 0g4( X) =3- X 3 &l

4、t; 0Xi 8FX2g5(x)= (1) 3-表面積為目標(biāo)函數(shù)，即：c2X2Xiin f(X)=Xi2 + 2 Xi X23考慮題示的g6(x)金件新X2,x3亥優(yōu)化問(wèn)題數(shù)學(xué)模型為：Xi2 + 2xi X2GX14minf( X)=1-3某廠生產(chǎn)一個(gè)容積為8000 cm 3的平底、無(wú)蓋的圓柱形容器，要求設(shè)計(jì)此容器消耗原材料最少，試寫(xiě)出這一優(yōu)化問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型。Xi底面半徑r解：根據(jù)該優(yōu)化問(wèn)題給定的條件與要求，取設(shè)計(jì)變量為一X2局X=Xi, X2 T? R2S.t .gi(X) = -xi w 0g2( X) = - X 2 w 0hi(X) = 8000 - Xi2 X2 = 0i-4要建造一

5、個(gè)容積為i500 m 3的長(zhǎng)方形倉(cāng)庫(kù)，已知每平方米墻壁、屋頂和地面的造價(jià)分別為4元、6元和i2元。基于美學(xué)的考慮，其寬度應(yīng)為高度的兩倍。現(xiàn)欲使其造價(jià)最低，試導(dǎo)出相應(yīng)優(yōu)化問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型。解：(i)確定設(shè)計(jì)變量;Xi 長(zhǎng)根據(jù)該優(yōu)化問(wèn)題給定的條件與要求，取設(shè)計(jì)變量為X= X2寬;X3 局(2)建立數(shù)學(xué)模型的目標(biāo)函數(shù)；取總價(jià)格為目標(biāo)函數(shù)，即：f(X) = 8(X i X3 + X2 X3) + 6 X i X2 + i2 Xi X2(3)建立數(shù)學(xué)模型的約束函數(shù)；i)倉(cāng)庫(kù)的容積為i500 m3。即:i500- X i X2 X3 =0倉(cāng)庫(kù)寬度為高度的兩 倍。X2 -2 X3 = 0即:3)各變量取值應(yīng)大

6、于0,即:Xi > 0, X2 .> 0.,則-Xi W 0, -X2 W 0(4)本問(wèn)題的最優(yōu)化設(shè)計(jì)數(shù)學(xué)模型:min f (X) = 8(x i X3 + x2 X3) + i8 X i X2S.t.gi（ X） = - xi w 0g2（X） = - X2 w 0g3（X）= - X3 w 0hi（ X） = 1500- x i X2 X3 =0h2（X） = X2 -2 X3 = 01-5 繪出約束條件：2 2 2Xi X28;2Xi X28;X1X2 4所確定的可行域1-6 試在三維設(shè)計(jì)空間中，用向量分別表示設(shè)計(jì)變量：Xi13 2T；X223 4T；X34 1 4T。第二章

7、習(xí)題答案2-1請(qǐng)作示意圖解釋?zhuān)篨(k1) X(k)(k)S(k)的幾何意義。2-2 已知兩向量R 122 0T,F220 2 1T ,求該兩向量之間的夾角。2-3 求四維空間內(nèi)兩點(diǎn)(1,3, 1,2) 和 ( 2,6,5,0) 之間的距離。2-4計(jì)算二元函數(shù)f(X) Xi3 X1X22 5Xi 6在X(0)11T處，沿方向S 12T的方向?qū)?shù)fs'(X(0)和沿該點(diǎn)梯度方向的方向?qū)?shù)f ' (X (0) )。2-5 已知一約束優(yōu)化設(shè)計(jì)問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型為2 2min f(X) (X 1 3) (x2 4)X Xi,X2Tgi (X) Xi X2 5 0g2( x) Xi X2 2.

8、5 0g3( x)X! 0g4( X) X2 0求：(1) 以一定的比例尺畫(huà)出當(dāng)目標(biāo)函數(shù)依次為f(X) 1 、 2、 34 時(shí)的四條等值線，并在圖上畫(huà)出可行區(qū)的范圍。(2)找出圖上的無(wú)約束最優(yōu)解X1和對(duì)應(yīng)的函數(shù)值f (X1 )，約束最優(yōu)解X2和f (X2 )；(3)若加入一個(gè)等式約束條件：ih(X) x-i X20求此時(shí)的最優(yōu)解X3, f (X3 )o- 'f % r4 I l -111解：下圖為目標(biāo)函數(shù)與約束函數(shù)(條件)設(shè)計(jì)平面X1OX2 0；.其中的同心圓是目標(biāo)函數(shù)依次為f(X)=1、2、3、4時(shí)的四條等：；一夕/歡迎下載.值線；陰影的所圍的部分為可行域 由于目標(biāo)函數(shù)的等值線為一同

9、心圓，所以無(wú)約束最優(yōu)解為該圓圓心即 ：X1* =3, 4T函數(shù)值 f(Xi )= 0。而約束最優(yōu)解應(yīng)在由約束線gi(X)=O, g2(X)=0 , g3(X)=0 , g4(X)=0 ,組成的可行域(陰影線內(nèi)側(cè))xx 5 0內(nèi)尋找，即約束曲線gi(X)=0與某一等值線的一個(gè)切點(diǎn) X2*,可以聯(lián)立方程：12,解得x.( X21 0X2*=2, 3o函數(shù)值 f(X2*)= (2-3)2 + (3-4)2 = 2。加入等式約束條件，則 X3*為可行域上為hi(X)=0上與某一條等值線的交點(diǎn)，可以聯(lián)立方程：x1 x2 50解得 X3*=5/2 , 5/2X1 X20函數(shù)值f(X3*)= (5/2-3)

10、2 + (5/2-4)2 = 2.5。22Xi 2X22f(X)4Xi,2-6試證明在(1,1)點(diǎn)處函數(shù)f(X)人證明：求駐點(diǎn)：fX)4x4x1x2 2x1由fU10, ff 0，得：駐點(diǎn)xX1X2f(X) 12x4x22, fX)X1X1 X2、一，一，104海賽矩陣H(X)42422 22X1X2為X2 2x15具有極小fX)2X21 1T,極值 f(x*)迎2X2各階主子式：ana22an10 0,a21104H(X)是正定的,所以駐點(diǎn)必定是極小點(diǎn)。故在(1,1)點(diǎn)處函數(shù)f (X)具有極小值。2-7 求函數(shù) f(X) 3X 12 22X22Xi X210的極值點(diǎn)，弁判斷其極值的性質(zhì)。X2

11、解：3 6x1 2 ,3 4x 2 1Xi由30, fCX) o,得：極值點(diǎn)X* X-IX2小 ai1ai2各階主子式：a-0,32ia22H(X)是正定的,所以，f(X)為凸函數(shù)。1/3 1/4 T,極值 f (x*)229/24得：極值點(diǎn) X 1/3 1/4 T,極值 f (x*)229/24222-8 試判斷函數(shù) f(X) 2X 1 X2 2X1X2 X11的凸解：fB)4X1 2X2 1 ,X12fu)5 購(gòu)XfX1 X2海賽矩陣H(X)各階主子式：an 5H(X)是正定的，所以，f(X)為凸函數(shù)。2-9試用向量及矩陣形式表示是一個(gè)凸函數(shù)。解：*10 2x1X1.2 322，X1X1

12、X22f(X)6 2f(X)2'6,X1X1 X26海賽矩陣H(X) 00f(X)2X2 2x 1X22f(X)2f(X)X2 X10,a11 a12520a21 a22222 2f (X) X1 X2 10X1 4X2 60 弁證明它在 D x1, x2x2 ,4 2X2 x-iX22X22f(X)0, fX) 4X2 X1204Xi,i 1,2上歡迎下載21海賽矩陣H(X)各階主子式：an 2H(X)是正定的，所以，f (X)為凸函數(shù)。2-10現(xiàn)已獲得優(yōu)化問(wèn)題-3110,3122 1a21a221 2min f(X)s.t g1(X)g2(X)g3(X) g4(X) g5(X)取初

13、24XiX2 1222Xi X2250Xi2 X22 1010X2 34 0為(X1 3)2 (X2 1)2 0X10X2 0的一個(gè)數(shù)值解X 1.000, 4.900 T,試判定該解是否上述問(wèn)題的最優(yōu)解。第三章習(xí)題答案3-1函數(shù)f(X) 3x3 8x 9,當(dāng)初始點(diǎn)分別為 X。0及X。1.8時(shí)，用進(jìn)退法確定其一維優(yōu)化的搜索區(qū)間始步長(zhǎng)T。0.1 o解：當(dāng)X。0時(shí)(1 取 T T 0.1, A,0, A2 T 0.1F1 F(AJ f(X(0)9X X(0)A2s=0.1比較F1> F2,因 F1F2 F(A2) f(X(0)A2S) 8.203,所以應(yīng)作前進(jìn)搜 F2索。步長(zhǎng)加倍：T 2T 0

14、.2, A 2A2 T 1 2 0.3F1F28.203X X(0) A2s =0.3F2 F(A2) f(X(0) A2S) 6.681再 比 較F1、F2 ， 因F1 F2 ，所 以 還 應(yīng) 再 向 前 搜 索 ， 為 此 應(yīng) 舍 去 上 一 次 的 A1 點(diǎn) 。 所 以 ： A1A2 T 0.3 0.2 0.1 。(3) 步長(zhǎng)加倍：T 2T 0.4,A 2 A2 T 0.3 0.4 0.7F1 F2 6.681X X (0) A2 S =0.7F2 F(A2) f(X(0) A2S) 4.429 .比較 F1、 F2 ，因 F1 F2 ，所以還應(yīng)再向前搜索, A1 A2 T 0.7 0.

15、4 0.3 。(4) 步長(zhǎng)加倍：T 2T 0.8, A 2 A2 T 1.5F1 F2 4.429X X (0) A2 S =1.5F2 F(A2) f(X(0) A2S) 7.125 .比較F1、 F2 ，因 F1 F2 。已找到具有 “高低高 ”特征的區(qū)間即：i Ai 0.3 時(shí)，F(xiàn)( 1)6.6812 A2 T0.7 時(shí)，F(xiàn)( 2)4.4293A21.5 時(shí),F( 3) 7.125 o所以，F(xiàn)(1) F(2)F( 3),單峰區(qū)間為:A 1 A10.3,B3 A21.5。當(dāng) X0 1.8同理可得:A 1 A11.5,BA20.33-2用黃金分割法求函數(shù)F( ) 2 2在區(qū)間3 5中的極小點(diǎn)

16、,要求計(jì)算到最大未確定區(qū)間長(zhǎng)度小于0.05 o解：(1)在初始區(qū)間a,b=-3 , 5中取計(jì)算點(diǎn)弁計(jì)算函數(shù)值0.056 ; f11.944; f 2(1)b 0.618(b a) a 0.618(b a) f( (1) ) 0.115136 f ()7.667比較函數(shù)值，縮短搜索區(qū)間因有fiwf2,貝 U b (2)1.944; f 2 f ()0.115136f ()0.98759 b 0.618(b a) 1.11139 ; f 1b- a>£不滿(mǎn)足迭代終止條件，比較函數(shù)值f1、f2繼續(xù)縮短區(qū)間(3) 判斷迭代終止條件將各次縮短區(qū)間的有關(guān)計(jì)算數(shù)據(jù)列于下表O表黃金分割法的搜索

17、過(guò)程區(qū)間縮短次數(shù)ab(1) a(2) af1f2(原區(qū)間)-350.0561.9440.1157.6671-31.944-1.1110.056-0.9870.1152-30.056-1.832-1.111-0.306-0.9873-1.8320.056-1.111-0.665-0.987-0.8884-1.832-0.665-1.386-1.111-0.851-0.987(5-8 )略9-1.11122-0.94097-1.046-1.006-0.997867-0.9999643-3用二次插值法求函數(shù)F( ) 8 3 2 2 73的最優(yōu)解。已知搜區(qū)間為 0 2,選代精度0.01。解：采用Mat

18、lab編程計(jì)算得：0.62073-4函數(shù)f(X) x/ X1X2 X222x1 4x2,取初始點(diǎn)為X22t,規(guī)定沿X(0)點(diǎn)的負(fù)梯度方向進(jìn)行一次一維優(yōu)化搜索，選代精度：x105, f 106。(1) 用進(jìn)退法確定一維優(yōu)化搜索區(qū)間；(2) 用黃金分割法求最優(yōu)化步長(zhǎng)及一維優(yōu)化最優(yōu)值；(3) 用二次插值法求最優(yōu)化步長(zhǎng)及一維優(yōu)化最優(yōu)值；(4) 上述兩種一維優(yōu)化方法在求解本題時(shí)，哪一個(gè)種方法收取更快，原因是什么？*解：最優(yōu)點(diǎn)X 02,最優(yōu)值f(X )二次插值法更快23-5 求 F( ) (1)(2)的極小點(diǎn)，選代精度x 0.1, f 0.1 。要求：(1) 從 0 出發(fā)， T0.1 為步長(zhǎng)確定搜索區(qū)間；(2) 用黃金分割法求極值點(diǎn)；(3) 用二次插值法求極值點(diǎn)。解：(1)由已知條件可得，i°, FiF( 1)42(0.1 1)(0.1 2)23.97121 To 0.1F2 F( 2) (2 1)( 2 2)因?yàn)镕2 F1 ，應(yīng)作前進(jìn)搜索。步長(zhǎng)加倍，T 2T0 0.2, F1 F2 3.971 ，2T 0.1 0.2 0.3F2 F( 2) ( 2 1)( 2 2)2 (0.3 1)(0.3 2) 2 3.757F2 F1 ，所以還應(yīng)再向前搜索，為此應(yīng)舍去上一次的1 點(diǎn)。所以：1 2 0.3步長(zhǎng)加倍，T 2T 0.4