1、一指數(shù)函數(shù)(zh sh hn sh)的連續(xù)性定理4.10 設(shè) 為任意(rny)實數(shù)，則有,0aaaaaa)(第1頁/共9頁第一頁，共10頁。定理的證明(zhngmng) 不妨設(shè) ，先證 由指數(shù)的定義由上確界的定義， ，使得 ， 使得 ， （ 有理數(shù)， ）因為 ， 時是嚴格遞增的 由 的任意性 1asraaa|sup|sup為有理數(shù)為有理數(shù)raaraarrrrr,0aaar saaassrsraaaaa)(sr ,srsraaa sr1,aaxaaaaaasrsr)(sraaa第2頁/共9頁第二頁，共10頁。再相反(xingfn)的不等式： 由 ， 使得 記 ，由有理數(shù)的稠密性，存在有理數(shù) ，使

2、得 ， 由 的任意性 sraaa|sup為有理數(shù)paapp ppaapdsr ,),2/(dr),2/(dspdddsr2/2/aaaaaaaasrsrpp)(aa第3頁/共9頁第三頁，共10頁。定理4.11 指數(shù)函數(shù)(zh sh hn sh) 在R上是連續(xù)的.證明 先設(shè) .有第三章2例4知 這表明 在 連續(xù).現(xiàn)任取 .由定理(dngl)4.10得 .令 則當 時有 ,從而有這證明了 在任一點 處連續(xù).當 時,令 ,則有 ,而 可看作函數(shù) 與 的復(fù)合，所以此時 亦連續(xù) 0 xx 0t) 0a ( xa1a001limaaxxxa0 xRx 00000)(xxxxxxxaaaa ,0 xxt00

3、00000)(limlimlimxttxxxxxxxxxaaaaaaxa0 x10 aab1xxxbba)1(ubxuxa1b第4頁/共9頁第四頁，共10頁。 例1 設(shè) .證明(zhngmng)bxvaxuxxxx)(lim,)(lim00bxvxxaxu)()(lim0第5頁/共9頁第五頁，共10頁。二 初等(chdng)函數(shù)的連續(xù)性 定理(dngl) 4.12 一切基本初等函數(shù)都是定義域上的連續(xù)性函數(shù). 定理(dngl)4.13 任何初等函數(shù)都是定義域上的連續(xù)性函數(shù).第6頁/共9頁第六頁，共10頁。例 1 求例 2 求例3例4例5 xxx)1ln(lim0 xxxcos)1ln(lim20.1111lim0 xxxxx.1limsec0 xctgxxtgx.sin1sinlimxxx第7頁/共9頁第七頁，共10頁。作業(yè)(zuy)：P73 1（）（2）（3）（5）， 2（）（）， （）， （）， 第8頁/共9頁第八頁，共10頁。感謝您的觀看(gunkn)！第9頁/共9頁第九頁，共10頁。NoImage內(nèi)容(nirng)總結(jié)一指數(shù)函數(shù)的連續(xù)性。這證明了 在任一點 處連續(xù).。定理 4.12 一切(yqi)基本初等函數(shù)都是定義域上的連續(xù)性函