1、.第二章 圓錐曲線 綜合練習（2）求曲線方程【例題精選】例1：點P與一定點F (2,0)的距離和它到一定直線的距離的比是12，求點P的軌跡方程。并說明軌跡是什么圖形。分析：此題的給出恰符合圓錐曲線的統一定義，又因為其比值為 < 1。所以軌跡是一個橢圓。解法一：用待定系數法根據題意有解得a = 4又 軌跡方程為解法二：軌跡法設點P, 點P到定直線的距離為即：化簡得：為所求方程動點P的軌跡方程。軌跡曲線是以4為半長軸、為半短軸；中心在原點，坐標軸為對稱軸的橢圓。例2：已知定圓，動圓M和定圓相切，又和y軸相切，求動圓圓心M的軌跡方程。分析：動圓和定圓外切之和，圓又和y軸相切，圓的半徑用圓心 M

2、橫坐標|x|來表示，這樣動點M滿足的幾何條件已得到，再由解析幾何中的公式代換了可得到的軌跡方程。解：設動圓圓心M動圓半徑為|x| = R又定圓 即 圓心（11，0）半徑R = 1解有即：等式兩邊平方后得： 化簡得： 時，軌跡方程為 時，軌跡方程為 說明：先求動點滿足的幾何關系，然后用解析幾何中公式進行坐標論，化簡方程，找到所有滿足條件的點，這就是軌跡法求方程的最基本方法。例3：已知O方程為，圓外有一定點，求過點A且和O相切的動圓圓心的軌跡。分析：動圓的定圓相切分外切、內切兩種情況，若兩圓外切，則圓心距等于兩圓半徑之和，若兩圓內切，則圓心距等于兩圓半徑之差，動點滿足的幾何條件找到了，軌跡方程可求

3、。解法一：設動圓圓心為P，定圓圓心為(0,1)，半徑為1，由題可知動圓半徑為。P與定O作外切時，有P與O內切時有綜上有即化簡得為所求動圓圓心的軌跡方程。解法二：由解法一得到，這說明P點是到兩個定點O (0,0)，A ( 4,0)的距離的差的絕對值都是常數1。（1 < 4）的點其軌跡是以O點A點為焦點，對稱中心為O(2,0)，對稱點為坐標軸 2a = 1 2c = 4的雙曲線。 軌跡方程為說明：本題對動點滿足的幾何關系分析得出符合圓錐曲線的定義，故而用解法二更為簡捷些。如果本題中將“相切”改為“外切”或“內切”，則所得軌跡只能是雙曲線的一支。例4：已知橢圓與雙曲線有共同的焦點，F1(0,4

4、)，F2(0,4)，并且橢圓的長軸點是雙曲線實軸長的2倍，求橢圓與雙曲線交點的軌跡方程。分析：通過橢圓和雙曲線定義，建立動點滿足的幾何條件，再坐標化而得到軌跡方程。或由焦點已知曲線中收為原點，坐標軸為對稱軸，再需一個條件用待定系法也可求軌跡方程。解法一：設橢圓與雙曲線的交點為P ，由橢圓、雙曲線定義，及已知條件得：或 即化簡得或 即：化簡得： 所求軌跡方程為軌跡是兩個圓除去與y軸的交點。解法二：由題意設雙曲線的實半軸長為a 則橢圓的半長就是a又 c = 4為橢圓半短軸為雙曲線的虛軸則橢圓方程為（1）雙曲線方程為（2）由（1）×4（2）得即 （3）（3）代入（2）得：代回（2）中消去a

5、得若即 即則所求的軌跡是兩個圓除去它們與y軸的交點，方程是：說明：解法一是將“a”當作參數引進后來后建立方程，不如解法一直接使用定義尋找到動點滿足的幾何關系簡單。例5：過拋物線的焦點，作直線與此拋物線的相交于兩點P、Q，求線段PQ中點的軌跡方程。分析：因過焦點的直線是過定的直線 系中除對稱軸外均與直線交于兩點，則這些線段均有中點，由中點坐標公式可用坐標代換法，求出軌跡方程。解法一：設直線PQ F （1,0） 設PQ中點M （k存在）消x得由中點坐標公式知中得：為所求的軌跡方程，（當PQ方程為時弦的中點為（0，1）符合這個方程）解法二：放PQ的中點M P則由中點坐標公式得 P、Q點在拋物線上 有

6、 兩式相減得 焦點F（1，0）在該曲線上 為所求的軌跡方程解法三：設P Q M點是P、Q的中點 P、Q兩點在拋物線上 兩式相減得即：時其中 就表示直線PQ的斜率 代入上式中 為所求的軌跡方程時PQ在x軸，此時方程為x = 1，弦的中點M（1，0）符合這方程。說明：此題提供的三種解法中，解法一是通常使用的方法，本題是在化簡方程組中消去“x”，但若消“y”，計算量便顯得增大，故而此法較“繁雜”。解法二是能過中點坐標公式表示線段溶點長的坐標然后再消支開始引進的P點坐標中的，相當于一種逆向思維的解題方法。解法三是求直線與圓錐曲線相交弦的中點軌跡問題，常方法這里幾個主要的數量關系為：圓錐曲線的標準方程是

7、二元二次方程端點P、Q坐標代入后，兩式相減得，若是橢圓或雙曲線方程相減后為可以得到兩個或一個平方差的式子，如：，而正是弦中點M的橫坐標的2倍2x。同量。式子中當表示弦在直線的斜率，用KPQ表示。弦的中點也在直線PQ上，如本題有。式子右端為0，使繼續運算比較簡便。綜上解法三最為簡捷。此法也適用于下例。例6：過點A（2，1）點作直線l交雙曲線：于P、Q兩點，求線段PQ中點的軌跡方程。分析：這是與上例同類型的題：這里仍給出兩種解法：解法一：設PQ的中點M則有又直線PQ的斜率與MA的斜率相同有 P、Q在雙曲線上 兩式相減得：當時有 即：當時，過A點的弦PQ的方程為 此時弦的中點為（2，0）也符合這個方

8、程 所求的軌跡方程為解法二：設PQ的方程為消去y得 雙曲線的漸近線為，其斜率為又PQ不平行于漸近線 設弦PQ的中點M 則：即：又 代入上式中， 化簡得：k不存在時，PQ方程為，弦的中點為（2，0）也符合該方程的所求的軌跡方程是例7：已知橢圓，直線l：，P點是l上一點，射線OP交橢圓于點R，又點Q在OP上且滿足。當點P在l上移動時，求點Q的軌跡方程。分析：本題動點Q的運動依賴于P點的運動。這樣兩個關系，又O、Q、R、P、D點共線，可以把P點、R點的坐標分別用動點Q的坐標表示后一起代入 中去整理。化簡得軌跡方程；另外也可以過Q、R、P三點分別做y軸的垂線，將轉化成這三點縱坐標的關系，再求軌跡方程。

9、方法一：設Q ，Q點不在原點，顯然x,y不同是為零P點不在y軸時，即時 R不在橢圓上 又 P點在直線l上， 解得： x、y不同時為零 Q點與坐標原點O在直線l的同側 則：即：P點在y軸上時，P（0，8）k（0，4）可得Q（0，2），Q點滿足這個方程 所求的軌跡方程是解法二：點的坐標同上，過P、R、Q分別作y軸的垂線，垂足分別記作 又 即 由題已知 三個量同號 設 射線OP方程為則又R也在OP上， 代入中化簡： 則為所求的軌跡方程說明：本題解法一仍是坐標代換法的一種形式，主要是將動點的相關點的坐標用動點坐標表示后，代入聯系著它們的等式中，求出動點的軌跡方程，這里因P點在直線l：上運動，而該直線與

10、y軸可以相交，當P點在 y軸上時，R、Q也相對確定成為定值，所以在解決這個問題時，先兩步，第一部P在直線l上，運動不在y軸時（完全是“動態”）情況，第二步必須再看P在y軸時Q點做為定點是否符合所求的軌跡方程。這正是容易被忽略的，必須注意。綜上，在圓錐曲線的標準方程這部分內容中，應掌握的求曲線方程的基本方法。由于求曲線方程是平面解析幾何兩個主要內容之一，可以題型多，方法多。但因為坐標軸平移還沒學到因而涉及到園錐曲線的一般式的問題后再講。【綜合練習】1動圓C過定點A（3，0）并且和園相內切求動圓圓心的軌跡方程。2動圓與定圓C1：和定圓C2：都相外爭，求動園圓心M的方程。3在ABC中，已知B（3，0

11、），C（3，0），AB、AC兩邊上中線長的和為18，求頂點A的軌跡方程。4已知ABC的三邊AB、AC、AC的長成等差數列，但，B、C坐標分別為（1，0）、（1，0），求頂點A的軌跡方程。5已知定點A（5，2）及定圓C：，動點P在C上運動，求線段AP中點的軌跡方程。6如圖，A（1，0），動點P在線段O上運動，以OP、PA為邊的第一象限內作正OPE，PAC，求AB與OC交點N的軌跡方程。 【答案及提示】12（雙曲線右支）提示：QC1：圓心QC1：設動圓圓心為M 則 顯然這是雙曲線的右支雙曲線的中心為（3，0）3提示：設A ，AB、AC中點分別為D、E則G為ABC的重心 G點是以B、C兩成為焦點的橢圓。若 2a = 12 2c = 6 b2=27 又 軌跡方程為 （除去與x軸的交點）4提示：成等差數列