立體幾何中的空間距離問題第一頁，共二十二頁，編輯于2023年，星期一一、空間距離1.兩點間的距離:連接兩點的①

的長度.2.點到直線的距離：從直線外一點向直線引垂線，②

的長度.3.點到平面的距離：自點向平面引垂線，③

的長度.4.平行直線間的距離：從兩條平行線中的一條上任意取一點向另一條直線引垂線,④___

的長度.線段點到垂足間線段點到垂足間線段到垂足間線段點第二頁，共二十二頁，編輯于2023年，星期一5.異面直線間的距離:兩條異面直線的公垂線夾在這兩條異面直線間的⑤

的長度.6.直線與平面間的距離:如果一條直線和一個平面平行,從這條直線上任意一點向平面引垂線,⑥

的長度.7.兩平行平面間的距離：夾在兩平行平面之間的⑦

的長度.線段這點到垂足間線段公垂線段第三頁，共二十二頁，編輯于2023年，星期一二、求距離的一般方法1.兩點間距離、點到直線的距離和兩平行線間的距離其實是平面幾何中的問題，可用平面幾何方法求解.2.直線與平面間的距離、平行平面間的距離可歸結為求⑧

的距離.點面間第四頁，共二十二頁，編輯于2023年，星期一

與異面直線都垂直且相交的直線有且只有一條，它叫兩異面直線的公垂線.兩條異面直線的公垂線夾在這兩條異面直線間的線段的長度是兩條異面直線的距離.一異面直線的距離ABCDA’B’C’D’如圖所示：線段__為異面直線AA’與BC的距離。AB第五頁，共二十二頁，編輯于2023年，星期一在直三棱柱ABC—A1B1C1中，AA1=2，AB=BC=1，∠ABC=90°.點D是BB1中點，則異面直線DA1與B1C1的距離是________.練習1第六頁，共二十二頁，編輯于2023年，星期一

例：如圖

8-7-4，S是△ABC所在平面外一點，AB＝BC＝2a，∠ABC＝120°，且SA⊥平面ABC，SA＝3a，求點A到平面SBC的距離. 圖8-7-4二點面距離的求法第七頁，共二十二頁，編輯于2023年，星期一解：方法一：如圖8-7-5，作AD⊥BC交BC延長線于點D，連接SD.圖8-7-5∵SA⊥平面ABC，∴SA⊥BC.又SA∩AD＝A，∴BC⊥平面SAD.又BC?平面SBC，第八頁，共二十二頁，編輯于2023年，星期一

∴平面SBC⊥平面SAD，且平面SBC∩平面SAD＝SD.

過點A作AH⊥SD于H，由平面與平面垂直的性質定理，可知：AH⊥平面SBC.于是AH即為點A到平面SBC的距離.第九頁，共二十二頁，編輯于2023年，星期一第十頁，共二十二頁，編輯于2023年，星期一于是h＝第十一頁，共二十二頁，編輯于2023年，星期一

方法三：如圖8-7-6，以A為坐標原點，以AC，AS所在直線為y軸，z軸，以過A點且垂直于yOz平面的直線為x軸建立空間直角坐標系.圖8-7-6第十二頁，共二十二頁，編輯于2023年，星期一∵在△ABC中，AB＝BC＝2a，∠ABC＝120°，第十三頁，共二十二頁，編輯于2023年，星期一第十四頁，共二十二頁，編輯于2023年，星期一線面距離、面面距離通常情況下化歸為點面距離求解，求空間點面距離，若利用傳統構造法，關鍵是“找射影”，一般是應用垂面法求射影，或等積法間接求.若利用向量法，建系和求平面法向量是關鍵.第十五頁，共二十二頁，編輯于2023年，星期一練習2如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=,AB=BC=AD=1,PA⊥平面ABCD,且PA=1，點F在AD上，且CF⊥PC.

(1)求點A到平面PCF的距離；(2)求AD與平面PBC間的距離.第十六頁，共二十二頁，編輯于2023年，星期一

（1）通過論證平面PAC⊥平面PCF，找到點A在平面PCF上的射影H位于PC上，然后解三角形求AH的長.（2）由于AD∥平面PBC，可考慮依據問題情境在AD上選擇具備特殊位置的點A，然后推理過A點的平面PAD⊥平面PBC，找到過點A的垂線.第十七頁，共二十二頁，編輯于2023年，星期一(1)連接AC.因為PA⊥平面ABCD，所以PA⊥CF.又CF⊥PC，PA∩PC=P，所以CF⊥平面PAC，所以平面PFC⊥平面PAC.過點A作AH⊥PC于H，所以PH⊥平面PCF，即AH為點A到平面PCF的距離.由已知AB=BC=1，所以AC=,PC=.在Rt△PAC中，得AH=.第十八頁，共二十二頁，編輯于2023年，星期一(2)因為BC∥AD，BC平面PBC，所以AD∥平面PBC.過A作AE⊥PB于E，又AE⊥BC,PB∩BC=B,所以AE⊥平面PBC,所以AE的長度即為所求的距離.在等腰直角三角形PAB中，PA=AB=1,所以AE=.第十九頁，共二十二頁，編輯于2023年，星期一1.對于空間中的距離，我們主要研究點到平面的距離、直線和平面的距離及兩個平行平面之間的距離，其重點是點到平面的距離.點到平面的距離要注意其作法，一般要利用面面垂直的性質來做.求點到平面的距離也可以用等體積法.2.求距離傳統的方法和步驟是“一作、二證、三計算”，即先作出表示距離的線段，再證明它是所求的距離，然后再計算.其中第二步證明易被忽略，應當引起重視.第二十頁，共二十二頁，編輯于2023年，星期一3.在求距離時，要注意各種距離的轉化；在選擇