1、專題一數學思想方法問題 1. （2014 北京）已知點 A 為某封閉圖形邊界上一定點 ，動點 P 從點 A 出發，沿其邊界順 時針勻速運動一周設點 P 運動的時間為 x，線段 AP 的長為 y表示 y 與 x 的函數關系的圖 2. （2013 長春）如圖，在平面直角坐標系中，點 A 的坐標為（0, 3）, OAB 沿 x軸向右 3 平移后得到 O A B 點 A 的對應點 A在直線 y= 4x上，則點 B 與其對應點 B間的距離為（C ） 9 A. B. 3 C. 4 D. 5 4 3. （2013 南充）如圖 1，點 E 為矩形 ABCD 邊 AD 上一點，點 P,點 Q 同時從點 B 出發

2、， 點 P沿 BET EDT DC 運動到點 C 停止，點 Q 沿 BC 運動到點 C 停止，它們運動的速度都是 1 cm/s,設 P, Q出發 t 秒時， BPQ 的面積為 y cm2,已知 y 與 t 的函數關系的圖象如圖 2（曲 線 OM 為拋物線的一部分）,則下列結論：AD = BE = 5 cm；當 0v t 1 時，不是 y 隨 x 的增大而增大就是 y 隨 x 的增大而減小； 若函數有最大值,則最大值必為正數，若函數有最小值，則最小值必為負數. 教師：請你分別判斷四條結論的真假 ，并給出理由最后簡單寫出解決問題時所用的數 學方法. 解：真，將(1, 0)代入可得 2k (4k +

3、 1) k+ 1 = 0,解得 k = 0;方程思想 假，反 b 5 例：k = 0 時，只有兩個交點；舉反例 假，反例：k = 1, 了 =-,當 x 1 時，先減后增; 2a 4 當 k 0 時，有最小值，最小值為負；k v 0 時，有最大值,最大值為正.分類討論 7. 在長為 10 m,寬為 8 m 的矩形空地中，沿平行于矩形各邊的方向分割出三個全等的 小矩形花圃，其示意圖如圖所示，求小矩形花圃的長和寬. 總豪 *總總 * 1 8 m ! 10 m 解：設小矩形的長為 x m,寬為 y m,依題意得 丿乂 + y= 10解得 =4 以+ 2y = 8, ly = 2舉反例真，當 k= 0

4、 時，函數無最大、最小值; y最= 4ac b2 4a 24k2+ 1 8. 如圖 1,在厶 ABC 中，已知/ BAC = 45 , AD 丄 BC 于 D , BD = 2, DC = 3,求 AD 的長. 小萍同學靈活運用軸對稱知識 ，將圖形進行翻折變換,如圖 1,她分別以 AB , AC 為對 稱軸，畫出 ABD， ACD 的軸對稱圖形，D 點的對稱點為 E, F,延長 EB，FC 相交于 G 點，得到四邊形 AEGF是正方形.設 AD = x,利用勾股定理，建立關于 x的方程模型，求出 x的值. (1) 請你幫小萍求出 x的值； (2) 參考小萍的思路，探究解答新問題： 如圖 2,在

5、厶 ABC 中，/ BAC = 30 , AD 丄 BC 于 D, AD = 4,請你按照小萍的方法通 過畫圖，得到四邊形 AEGF ,求厶 BGC 的周長.(畫圖所用字母與圖1 中的字母對應) 解：(1)在 RtA BCG 中，BG = x 2, CG = x 3, =25,解得 x1= 6, x2= 1(舍去)，故 x = 6 (2)圖略.連接 EF,則厶 AEF 為等邊三角形，EF = 4, EGF 為底角為 30。的等腰三角形， 可求 EG = 3 3, BGC 的周長為 BG + BC + GC = BG + BD + DC + GC = BG + EB + FC + 9. 如圖 1

6、, A , B , C, D 為矩形的四個頂點，AD = 4 cm, AB = d cm,動點 E, F 分別 從點D, B 出發，點 E 以 1 cm/s 的速度沿邊 DA 向點 A 移動，點 F 以 1 cm/s的速度沿邊 BC 向點 C 移動，點F 移動到點 C 時，兩點同時停止移動，以 EF 為邊作正方形 EFGH，點 F 出 發 x s 時，正方形 EFGH 的面積為 y cm2.已知 y 與 x 的函數圖象是拋物線的一部分 ，如圖 2 所示.請根據圖中信息，解答下列問題： (1) 自變量 x的取值范圍_ow XW 4_; (2) d = _3_, m = _2_, n = _25

7、; 2? (3) F 出發多少秒時，正方形 EFGH 的面積為 16 cm?圈 (x 2)2+ (x 3)2 GC = EG + GF = 2EG = 4 + x 17 4 x 17 2 出發 一-s 或 廠 s 時，正方形 EFGH 的面積為 16 cm 10. 某同學從家里出發，騎自行車上學時，速度 v(米/秒)與時間 t(秒)的關系如圖 1, A(10 , 5), B(130 , 5), C(135, 0). (1) 求該同學騎自行車上學途中的速度 v 與時間 t 的函數關系式； (2) 計算該同學從家到學校的路程； (提示：在 OA 和 BC 段的運動過程中的平均速度分別 等于它們中點

8、時刻的速度，路程=平均速度x時間) (3) 如圖 2,直線 x = t(0 t 135)與圖 1 的圖象相交于 P, Q,用字母 S 表示圖中陰影部分 面積，試求 S 與 t 的函數關系式； (4) 由(3),直接猜出在 t 時刻，該同學離開家所走過的路程與此時 S 的數量關系. Ills) -1 2t (0 tv 10) 2 0 I 5 解: (1)v = 5 (10Wtv 130) 在 0W t v 10 時，所走路程為 X 10= 25(米); t + 135 ( 130W t W 135) 5+ 0 在 10W tv 130 時，所走路程為(130 10)X 5= 600(米)；在 1

9、30W tW 135 時，所走路程為一二X 5 =12.5(米)，該同學從家到學校的路程為 25 + 600 + 12.5= 637.5(米)(3)如圖，當 0W tv 解：(1)0 W x 0)對應的碟寬為2, a 3(x 2)2 3,可求碟寬 AB 的兩端點坐標分別為 A( 1 , 3 F2的碟頂是 F1的碟寬的中點, F2的碟頂 M2(2, 0),可設 y2= a?(x 2)2, / F2與 F1的相 由知, 0), B(5 , 0), 1 1 2 1 2 1275 1 10) = 5t 25;如圖，S= 2X (135+ 120) X 5- X (135 t) =- -(t 135)

10、+ 亍,即 S=-? .1 4(ow t v 10) t2 + 135t 8475.綜上可知，S= 5t 25 (10 w tv 130) (4)數值相等 11. (2014 江西)如圖，拋物線 y= ax2 + bx + c(a0)的頂點為 M,直線 y= m 與 x軸平行， 且與拋物線交于點 A, B,若三角形 AMB 為等腰直角三角形，我們把拋物線上 A, B 兩點之 間的部分與線段 AB圍成的圖形稱為該拋物線對應的準碟形 ,線段 AB 稱為碟寬，頂點 M 稱 為碟頂，點 M 到線段 AB 的距離稱為碟高. (1)拋物線 y= 2-x2對應的碟寬為_4_,拋物線 y= 4x2對應的碟寬為

11、_2_,拋物線 y = ax2(a0)對應的碟寬為_2_,拋物線 y= a(x 2)2+ 3(a 0)對應的碟寬 丄 ； a _a 2 5 (2) 若拋物線 y= ax 4ax (a 0)對應的碟寬為 6,且在 x 軸上，求 a 的值； (3) 將拋物線 yn= anx2 + bnx + cn(an0)的對應準碟形記為 Fn(n = 1, 2, 3,),定義 F1, F2,，Fn為相似準蝶形，相應的碟寬之比即為相似比.若 Fn與 Fn 1的相似比為,且 Fn的 碟頂是 Fn1的碟寬的中點，現在將中求得的拋物線記為 y1,其對應的準碟形記為 F1. 求拋物線 y2的表達式； 若 F1的碟高為 h

12、1, F2的碟高為 h2, .Fn的碟高為 hn,貝 V hn= 1 , Fn的碟寬右 2 端點橫坐標為_2 + 2 似比為 1, Fi 的碟寬為 6，二 F2的碟寬為 6X- = 3,即一 =3, a2= 2, / y2= 2(x 2),即 y 2 2 a 3 3 2288 3 2 丄 3 =3x 3x+3 廠 2+廠 專題二圖表信息冋題 強化突破 80 妙鐘 1. （2014 隨州）某通訊公司提供了兩種移動電話收費方式：方式 1 ,收月基本費 20 元， 再以每分鐘 0.1 元的價格按通話時間計費；方式 2，收月基本費 20 元，送 80 分鐘通話時間， 超過 80 分鐘的部分，以每分鐘

13、0.15 元的價格計費.下列結論： 如圖描述的是方式 1 的收 費方法；若月通話時間少于 240 分鐘， 選擇方式 2 省錢； 若月通訊費為 50 元， 則方式 1 比方式 2 的通話時間多；若方式 1 比方式 2 的通訊費多 10 元， 貝 U 方式 1 比方式 2 的通話時 間多 100 分鐘.其中正確的是（C ） A.只有 B.只有 C .只有 D 2. （2013 臺灣）以下表示小勛到商店購買 2 個 單 價相同的布丁和 10 根單價相同的棒棒糖 的經過. 小勛：“我要 2 個布丁和 10 根棒棒糖.” 老板：“謝謝！這是您要的 2 個布丁和 10 根棒棒糖，總共 200 元！” 老板

14、：“小朋友，我錢算錯了，我多算 2 根棒棒糖的錢，我退還你 20 元.” 根據上文，判斷布丁和棒棒糖的單價相差多少元？ （ B ） A. 20 元 B. 30 元 C. 40 元 D . 50 元 3 .圖的等臂天平呈平衡狀態，其中左側秤盤有一袋石頭，右側秤盤有一袋石頭和 2 個各 10 克的砝碼.將左側袋中一顆石頭移至右側秤盤 ,并拿走右側秤盤的 1 個砝碼后，天平 仍呈平衡狀態，如圖所示.求被移動石頭的質量為多少克？ （ A） B. 10 克 C. 15 克 D . 20 克28 20 4. （2013 鄂州）下列幾個命題中正確的個數為 1 個. “擲一枚均勻骰子，朝上點數為負”為必然事件

15、；（骰子上各面點數依次為 1, 2, 3, 4，5, 6) 5 名同學的語文成績為 90，92, 92, 98, 103,則他們平均分為 95,眾數為 92； 射擊運動員甲、乙分別射擊 10 次，算得甲擊中環數的方差為 4,乙擊中環數的方差為 16,則這一過程中乙較甲更穩定; 某部門 15 名員工個人年創利潤統計表如下，其中有一欄被污漬弄臟看不清楚數據，所 以對于“該部門員工個人年創利潤的中位數為 5 萬元”的說法無法判斷對錯. 個人年創利潤/萬元 10 8 5 3 員工人數 5 3 斗 5在學校組織的游藝晚會上 ，擲飛鏢游藝區游戲規則如下：如圖 ，擲到 A 區和 B 區的 得分不同，A 區為

16、小圓內部分，B 區為大圓內小圓外的部分（擲中一次記一個點）現統計小華、 小芳和小明擲中與得分情況如下: （2）依此方法計算小明的得分為多少分? 5x + 3y= 77, 解：設擲中 A 區一次 x分，B 區一次 y 分，依題意得 L3x + 5y = 75, 解得=10 (2)4x + 4y= 76(分) 6. 根據圖中給出的信息，解答下列問題: （1） 求擲中A區、 (1) 放入一個小球水面升高 2 cm,放入一個大球水面升高 3 cm; (2) 如果要使水面上升到 50cm,應放入大球、小球各多少個？ m + n = 10, m= 4, 解:(1)2,3 (2)設應放入大球 m 個，小球

17、n個，由題意得 解得， i3m+ 2n= 50 26, 、n= 6, 如果要使水面上升到 50 cm,應放入大球 4 個，小球 6 個 7. (2014 衢州)為了保護環境，某開發區綜合治理指揮部決定購買 A, B 兩種型號的污水 處理設備共 10 臺已知用 90 萬元購買 A 型號的污水處理設備的臺數與用 75 萬元購買 B 型 號的污水處理設備的臺數相同，每臺設備價格及月處理污水量如下表所示： 污水處理設備 A 型 B 型 價格(萬兀/臺) m m 3 月處理污水量(噸/臺) 220 180 (1) 求 m 的值； (2) 由于受資金限制，指揮部用于購買污水處理設備的資金不超過 165 萬

18、元，問有多少種 購買方案？并求出每月最多處理污水量的噸數. 90 75 解：由題意得一= ,解得 m= 18 設購 A 型號設備 x臺，則 18x + 15(10 x) m m 3 w 165, xw 5, / x 為自然數，.共有 6 種方案.設處理污水量為 w 噸，w = 220 x + 180(10 x) = 40 x + 1800, 當 x = 5 時，w 最大=2000 噸 &中國現行的個人所得稅法自 2011 年 9 月 1 日起施行，其中規定個人所得稅納稅辦法 如下： 一、 以個人每月工資收入額減去 3500 元后的余額作為其每月應納稅所得額； 二、 個人所得稅納稅稅率如

19、下表所示： 納稅 級數 個人每月應納稅所得額 納稅 稅率 1 不超過 1500 的部分 3% 2 超過 1500 元至 4500 元的部分 10% 3 超過 4500 元至 9000 元的部分 20% (1) 若甲每月工資收入額為 6000 元，請求出甲每月應繳納的個人所得稅； (2) 若乙每月工資收入額不超過 12000 元，他每月應繳納的個人所得稅能超過月工資的 7.5%嗎？若能，請求出乙的月工資范圍；若不能 ，請說明理由. 解：甲每月應繳納的個人所得稅為 1500 X 3% + (6000 3500 1500) X 10% = 145(元) 設乙的月工資為 x元，當 3500V x 50

20、00 時，顯然納稅金額達不到月工資的 7.5%;當 5000 v x7.5%x ,得 x 18200,不滿足條件；當 8000 v x 7.5%x，得 x 10040,故 10040 V x0)刻畫(如圖所示). x (1) 根據上述數學模型計算： 喝酒后幾時血液中的酒精含量達到最大值？最大值為多少？ 當 x= 5 時，y = 45,求 k 的值. (2) 按國家規定，車輛駕駛人員血液中的酒精含量大于或等于 20 毫克/百毫升時屬于“酒 后駕駛”，不能駕車上路.參照上述數學模型，假設某駕駛員晚上 20: 00 在家喝完半斤低度 白酒，第二天早上 7: 00 能否駕車去上班？請說明理由. 解：y

21、 = 200 x2 + 400 x= 200(x 1)2+ 200,二喝酒后 1 小時，酒精含量達到最大 一 k 225 值 200 毫克/百毫升 當 x = 5, y = 45 時，由 y =得 k= 225 (2)當 y= 20 時，y = 225得 x x x = 11.25,喝完酒經過 11.25 時為第二天早上 7: 15, 第二天早上 7: 15 以后才可以駕車， 7: 00 時不能去上班專題三開放探究問題 1. （2013 綏化）如圖，A , B , C 三點在同一條直線上 ，/ A = Z C= 90 , AB = CD ,請 添加一個適當的條件 _AE = CB_ ,使得 E

22、AB BCD. 2. （2014 淄博）已知?ABCD ,對角線 AC , BD 相交于點 O,請你添加一個適當的條件 ， 使?ABCD 成為一個菱形，你添加的條件是 _AD = CD_ . 3. （2014 北京）在平面直角坐標系 xOy 中，對于點 P（x, y）,我們把點 P（ y+ 1, x+ 1） 叫做點 P 的伴隨點.已知點 A!的伴隨點為 A2,點 A2的伴隨點為 A3,點 A3的伴隨點為 A4,， 這樣依次得到點 A- A2, A3,，An,若點 Al的坐標為（3, 1）,則點 A3的坐標為_（ 3, 1）_ ，點 A2014的坐標為_（0, 4）_;若點 A1的坐標為（a,

23、b）,對于任意的正整數 n,點 An 均在 x軸上方，貝U a, b 應滿足的條件為 _ 1 v av 1 且 0v bv 2_ . 4. （2014 武漢）觀察下列一組圖形中點的個數 ，其中第 1 個圖中共有 4 個點，第 2 個圖中 共有 10 個點， 5. （2013 天門）小文、小亮從學校出發到青少年宮參加書法比賽 小亮騎自行車沿相同路線行進 ,兩人均勻速前行他們的路程差 之間,小文步行一段時間后 s（米）與小文出發時間 t（分） 強化突破 A U (B ) A. 31 B . 的函數關系如圖所示,下列說法： 小亮先到達青少年宮； 小亮的速度是小文速度的 2.5 倍；a= 24;b =

24、 480其中正確的是（B ） A. B . C. D . 6. （2014 南京）學習了三角形全等的判定方法 （即“ SAS” “ASA” “AAS” “SSS）和直角三 角形全等的判定方法（即 HL”）后，我們繼續對“兩個三角形滿足兩邊和其中一邊的對角對應 相等”的情形進行研究. 【初步思考】 我們不妨將問題用符號語言表示為：在 ABC 和厶 DEF 中，AC = DF , BC = EF, / B = / E,然后，對/ B 進行分類，可以分為“/ B 是直角、鈍角、銳角”三種情況進行探究. 【深入探究】 第一種情況：當/ B 為直角時， ABC DEF. 如圖，在厶 ABC 和厶 DEF

25、 中，AC = DF, BC = EF, / B = Z E = 90 ,根據 HL , 可以知道 RtA ABC 也 RtA DEF. 第二種情況：當/ B 為鈍角時， ABC DEF. (2) 如圖，在厶 ABC 和厶 DEF 中，AC = DF , BC = EF, / B = Z E,且/ B, / E 都是 鈍角，求證： ABC DEF. 第三種情況：當/ B 為銳角時， ABC 和厶 DEF 不一定全等. (3) 如圖，在厶 ABC 和厶 DEF 中，AC = DF , BC = EF, / B = Z E,且/ B, / E 都是 銳角，請你用尺規在圖中作出 DEF ,使厶 DE

26、F 和厶 ABC 不全等.(不寫作法，保留作圖 痕跡) (4) / B 還要滿足什么條件，就可以使得 ABC DEF，請直接填寫結論：在厶 ABC 和 DEF 中，AC = DF, BC = EF, / B = Z E,且/ B, / E 都是銳角，若_/ B A_ ,則 ABC DEF. 解：HL (2)如圖，過點 C 作 CG 丄 AB 交 AB 的延長線于 G,過點 F 作 DH 丄 DE 交 DE 的延長線于 H , / B = Z E,且/ B, / E 都是鈍角，180/ B = 180/ E，即 / CBG = / FEH ,可證 CBG FEH(AAS), CG = FH ,可

27、證 RtA ACG 也 RtA DFH(HL), / A = / D ,從而可證厶 ABC DEF(AAS) (3)如圖， DEF 和厶 ABC 不全等 (4)答案 不唯一，女口：/ B / A 7. (2014 淄博)如圖，四邊形 ABCD 中，AC 丄 BD 交 BD 于點 E,點 F, M 分別是 AB , BC 的中點，BN 平分/ ABE 交 AM 于點 N, AB = AC = BD.連接 MF , NF. (1) 判斷 BMN 的形狀，并證明你的結論； (2) 判斷 MFN 與厶 BDC 之間的關系，并說明理由. 解： BMN 是等腰直角三角形. 證明：TAB = AC,點 M

28、是 BC 的中點，二 AM 丄 BC, AM 平分/ BAC. / BN 平分/ ABE , AC 丄 BD , /-Z AEB = 90 , /-Z EAB + Z EBA = 90 , 1 /Z MNB =Z NAB +Z ABN = (/ BAE +Z ABE) = 45 , /Z MBN = 90 Z MNB = 45，/MBN =Z MNB，/ BMN 是等腰直角三角形 (2) MFN BDC.證明：T點 F, 1 1 FM M 分別是 AB , BC 的中點，/ FM / AC , FM = - AC. T AC = BD , FM =-BD ,即 = 2 2 BD BMN 是等腰

29、直角三角形，/ NM = BM = BC ,即嚶=1，/黒=製.：AM 丄 BC , 2 2 BC 2 BD BC Z NMF +Z FMB = 90 . / FM / AC, /Z ACB =Z FMB. TZ CEB = 90 , /Z ACB + Z CBD = 90 , /Z CBD +Z FMB = 90 , /Z NMF =Z CBD , / MFN BDC & (2013 陜西)問題探究 (1) 請在圖中作出兩條直線,使它們將圓面四等分； (2) 如圖，M 是正方形 ABCD 內一定點，請在圖中作出兩條直線(要求其中一條直線 必須過點M),使它們將正方形 ABCD 的面積

30、四等分，并說明理由. 問題解決 (3) 如圖，在四邊形 ABCD 中，AB / CD , AB + CD = BC ,點 P 是 AD 的中點.如果 AB = a, CD = b，且 ba,那么在邊 BC 上是否存在一點 Q,使 PQ 所在直線將四邊形 ABCD 的面積分成相等的兩部分？若存在 ，求出 BQ 的長；若不存在，說明理由. 圖 圖 圖 解：(1)過圓心 O 作兩條互相垂直的直線即可 (2)連接 AC , BD 相交于點 O,作直線 OM 分別交 AD , BC 于 P, Q 兩點，過點 O 作 OM 的垂線分別交 AB , CD 于 E, F 兩點，則直線 OM , EF 將正方形

31、 ABCD 的面積四等分.理由：利用 ASA 易證 OAP OBE OCQ ODF ,從而可得直線 OM , EF 將正方形 ABCD 的面積四等分 (3) 存在，當 BQ = CD = b 時，PQ 將四邊形 ABCD 面積二等分理由如下：延長 BA 到 點 E,使 AE = b,延長 CD 到點 F,使 DF = a,連接 EF,易得四邊形 EBCF 是菱形.連接 BF 交 AD 于 M ,則厶MAB MDF , / AM = DM , / P, M 兩點重合，/ P 點是菱形 EBCF 對 角線的交點，在 BC 上截取 BQ = CD = b,貝 U CQ = AB = a.設點 P 到

32、菱形 EBCF 一邊的距離為 111 d,貝 U$AB + BQ) = (CQ + CD) = (a+ b) d, / S四邊形ABQP = S四邊形CDPQ, /當 BQ = b 時， fl D 直線 PQ 將四邊形 ABCD 的面積分成相等的兩部分 9. (2013 襄陽)如圖，已知拋物線 y= ax2 + bx + c 與 x軸的一個交點 A 的坐標為(一 1, 0), 對稱軸為直線 x= 2. (1) 求拋物線與 x軸的另一個交點 B 的坐標； (2) 點 D 是拋物線與 y 軸的交點，點 C 是拋物線上的另一點，已知以 AB 為一底邊的梯形 ABCD 的面積為 9,求此拋物線的解析式

33、，并指出頂點 E 的坐標； (3) 點 P 是(2)中拋物線對稱軸上一動點，且以 1 個單位/秒的速度從此拋物線的頂點 E 向上運動.設點 P 運動的時間為 t 秒. 當 t 為_2秒時， PAD 的周長最小；當 t 為_4 或 4 6 或 4+6_秒時， PAD 是以AD 為腰的等腰三角形；（結果保留根號） 點 P 在運動過程中，是否存在一點 P，使厶 PAD 是以 AD 為斜邊的直角三角形？若存 在，求出點 P 的坐標；若不存在，請說明理由. 解：(1)B( 3, 0) (2)設拋物線的對稱軸交 CD 于點 M,交 AB 于點 N ,由題意可知 AB / CD ,由拋物線的軸對稱性可得 C

34、D = 2DM. T MN / y 軸，AB / CD, 四邊形 ODMN 是 矩形， DM = ON = 2, CD = 2X 2= 4.v A( 1, 0), B( 3, 0), AB = 2. v梯形 ABCD 1 2 的面積=2(AB + CD) OD = 9, OD = 3,即 c= 3把 A( 1, 0), B( 3, 0)代入 y = ax + bx + 3 得 a= 1, b= 4, y = x2 + 4x+ 3，化為頂點式為 y = (x + 2)2 1，得 E( 2, 1) (3)2; 4 或 4 ,6 或 4+ .6 存在./ APD = 90，/ PMD =/ PNA

35、= 90，/ PDM +Z APN =90 , / DPM +Z PDM = 90 , PDM =/ APN，又v/ PMD = Z ANP , APN s 1) 或 ( 2 , 2) PDM , .AN PM PN 1 DM ,3 PN PN, PN2 3PN + 2 = 0, PN= 1 或 PN= 2, P( 2 , 7. (2014 白銀）閱讀理解：我們把 稱作二階行列式，規定它的運算法則為 |a b c d 2 3 =2X 5 3X 4= 2.如果有 2 3 x 4 5 1 x 專題四 閱讀理解問題 強化突破 1. （2013 呼和浩特）如圖，下列圖案均是長度相同的火柴按一定的規律拼

36、搭而成：第 1 個圖案需 7 根火柴，第 2 個圖案需 13 根火柴，依此規律，第 11 個圖案需（B ）根火柴. A. 156 B. 157 C. 158 D. 159 2. （2014 濟寧）“如果二次函數 y= ax2 + bx + c 的圖象與 x軸有兩個公共點，那么一元二 次方程 ax2 + bx + c= 0 有兩個不相等的實數根.”請根據你對這句話的理解 ，解決下面問題： 若 m, n（m v n）是關于 x 的方程 1 - （x a）（x b）= 0 的兩根，且 av b,則 a, b, m , n 的大小 關系是（A ） C. av m v bv n D. m v av n

37、v b 3小明在做數學題時，發現下面有趣的結果: 3 2 = 1 8+ 7 6 5= 4 15+ 14+ 13 12 11 10= 9 24 + 23 + 22+ 21 20 19 18 17 = 16 根據以上規律可知第 100 行左起第一個數是 10200 的結果是_1 . 6 3 5. （2013 龍巖）對于任意非零實數 a, b,定義運算“” ,使下列式子成立：1 2= ?, 2 .2 3 21 21 沖 a b 2 1 = 2，( 2) 5= 10, 5 ( 2)=亦，則 a b = _-_. 6. (2014 宜賓)規定：sin( x) = sinx, cos( x) = cosx

38、, sin(x + y) = sinx -cosy+ cosx -siny, 據此判斷下列等式成立的是 . 1 爲+在 cos( 60= 2 sin 75 =- cosx siny. A. m v av bv n B. av mv nv b 1 4. (2013 南京)計算(1 111111 5 6)(1+ 3+4 +5 21 10， : sin2x = 2sinx cosx : sin(x y) = sinx cosy m 第1牛 1 1 3 4 + 丄+” 1) (111J 3 4 5 6) (1 2 3 4 c 0,求 x的解集. ad bc.解：由題意得 2x （3 x） 0,解得 x

39、 1 ax + by & (2014 揚州)對 x, y 定義一種新運算 T,規定：T(x , y) = -x(其中 a, b 均為非零 常數),這里等式右邊是通常的四則運算 ，例如：T(0 , 1) = a； 0 + b： 1 = b. 2 X 0 + 1 已知 T(1 , - 1) = -2, T(4 , 2) = 1. 求 a, b 的值； T ( 2m, 5 4m)w 4, 若關于 m 的不等式組， 恰好有 3 個整數解，求實數 p 的取值范 J ( m, 3 2m) p 圍； (2)若 T(x , y) = T(y , x)對任意實數 x, y 都成立(這里 T(x , y)

40、, T(y , x)都有意義),則 a, b 應滿足怎樣的關系式？ 解：(1)據 T(1，- 1) =- 2,T(4,2) = 1 得 1 (4a + 2b= 10, 守2, 5 1 P, 由題意可得 2m + 3 (5 4m) W 4, 9 - 3p m0)的圖象上存在兩個 “夢之點” A(x 1, x”, B(X2, X2),且滿足一 2vX12, |X1 X2|= 2,令 t = b2 2b+ 豎，試求 t 的取值范圍. 48 1 有無數個解，此時的“夢之點”存在，有無數個；當 k =-且 SM 1 時，方程無解，此時的“夢 3 圖 圖2 B 心圖/ 4 1 解：(1)y = - (2)

41、由 y = 3kx + s 1 得當 y= x 時，(1 3k)x = s 1,當 k= 3 且 s= 1 時，x X 3 1 s 1 s 1 s 1 之點”不存在；當 k豐3,方程的解為 x = 3k，此時的夢之點”存在 ，坐標為(1 3k, 3k) 2 y= ax + bx + 1, 2 由 得 ax2 + (b 1)x + 1= 0,則 X1, X2為此方程的兩個不等實根 ，二 X1 + X2 ly=x 1 b 1 1 = ,XrX2 = ,由兇一 x?|= 2,又一 2 v X1 2, 4 v X2V 4, 8v X1X2V 8, - 8- a a a 0, ag.由 |x1 x2|=

42、 2,得(b 1)2 = 4a2+ 4a, t= b2 2b+ 57= (b 1)2+ 8 48 48 4a2 + 4a+器=4(a+2+ 48,當 a 2 時，t 隨 a 的增大而增大，當 a=8 時，t= % a1 時，t 6專題五實踐操作與方案設計問題 1. （2013 遵義）如圖，在 4X 4 正方形網格中，任取一個白色的小正方形并涂黑 黑色部分的圖形構成一個軸對稱圖形的概率是 （A ）2如圖，將正方形對折后展開（圖是連續兩次對折后再展開），再按圖示方法折疊，能 3. （2014 河北）如圖，將長為 2,寬為 1 的矩形紙片分割成 n個三角形后，拼成面積為 2 的正方形，貝 U n （

43、 A ） A. 2 B. 3 4. （2014 黃岡）如圖，在一張長為 8 cm,寬為 6 cm 的矩形紙片上，現要剪下一個腰長為 5 cm 的等腰三角形（要求：等腰三角形的一個頂點與矩形的一個頂點重合 ，其余兩個頂點在矩 形的邊上）,則剪下的等腰三角形的面積是 25 或 刃 6 或 10_ cm2. 5. （2014 溫州）如圖，在所給方格紙中，每個小正方形邊長都是 1,標號為的三個 三角形均為格點三角形（頂點在方格頂點處），請按要求將圖甲、圖乙中的指定圖形分割成三 個三角形，使它們與標號為的三個三角形分別對應全等. （1） 圖甲中的格點正方形 ABCD ; ，使圖中 1 1 A6 B.4

44、i C.3 夠得到一個直角三角形 ，且它的一條直角邊等于斜邊的一半 ,這樣的圖形有（B） 強化突破 A. 4 個 B . 3 個 1 （2） 圖乙中的格點平行四邊形 ABCD. 解：如圖甲所示 如圖乙所示 6. (2013 茂名)在信宜市某“三華李”種植基地有 A, B 兩個品種的樹苗出售，已知 A 種 比 B 種每株多 2 元，買 1 株 A 種樹苗和 2 株 B 種樹苗共需 20 元. (1) 問 A, B 兩種樹苗每株分別是多少元？ (2) 為擴大種植，某農戶準備購買 A, B 兩種樹苗共 360 株，且 A 種樹苗數量不少于 B 種 數量的一半，請求出費用最省的購買方案. 解：(1)A

45、 種樹苗每株 8 元，B 種樹苗每株 6 元 設 A 種樹苗購買 a 株，則 B 種樹苗購 一 1 買(360 a)株，共需要 w 元，貝 V a?(360 a), / a 120, w = 8a+ 6(360- a)= 2a+ 2160, w 隨a 的增大而增大，當 a= 120 時，w最小=2400, / B 種樹苗為 360 120= 240(棵),最 省的購買方案是：A 種樹苗購買 120 棵，B 種樹苗購買 240 棵 7. (2014 寧波)用正方形硬紙板做三棱柱盒子 ，每個盒子由 3 個矩形側面和 2 個正三角形 底面組成.硬紙板以如圖兩種方式裁剪 (裁剪后邊角料不再利用)： A

46、 方法：剪 6 個側面；B 方法：剪 4 個側面和 5 個底面. 現有 19 張硬紙板，裁剪時 x張用 A 方法，其余用 B 方法. (1) 用 x的代數式分別表示裁剪出的側面和底面的個數； (2) 若裁剪出的側面和底面恰好全部用完 ，問能做多少個盒子？ 解：(1) 裁剪時 x張用 A 方法，裁剪時(19 x)張用 B 方法，側面的個數為 6x + 4(19 3 x) = 2x+ 76,底面的個數為 5(19 x) = 95 5x (2)由題意得 2x + 76 = -(95 5x),解得 x = 2X 7+ 76 7, 盒子的個數為 3 = 30 1 * 1 1 ri li 1 V I i

47、i r飛 一N LLK .L L 1 / i h LL_J j i li L一 圖 & (2014 煙臺)山地自行車越來越受到中學生的喜愛 ，各種品牌相繼投放市場，某車行經 營的 A 型車去年銷售總額為 5 萬元，今年每輛銷售價比去年降低 400 元，若賣出的數量相同，銷售總額將比去年減少 20%. (1) 今年 A 型車每輛售價多少元？(用列方程的方法解答) (2) 該車行計劃新進一批 A 型車和新款 B 型車共 60 輛，且 B 型車的進貨數量不超過 A 型 車數量的兩倍，應如何進貨才能使這批車獲利最多？ A，B 兩種型號車的進貨和銷售價格如下表： A 型車 B 型車 進貨價格(元

48、) 1100 1400 銷售價格(元) 今年的銷售價格 2000 1600 元 (2)設今年新進 A 型車 a 輛，則 B 型車(60 x)輛，獲利 y 元，由題意得 y = (1600 1100)a + (2000 1400)(60 a), y= 100a+ 36000. v B 型車的進貨數量不超過 A 型車數量的兩倍， 60 aw 2a, - a20. v y= 100a+ 36000, - k = 100v 0, - y 隨 a 的增大而減小，- a =20 時，y最大=34000 元，此時 B 型車的數量為 60 20= 40(輛)，當新進 A 型車 20 輛，B 型車 40 輛時，

49、這批車獲利最大 解：(1)設今年 A 型車每輛售價為 x 元，則去年每輛售價為 (x + 400)元, 由題意得 50000 x + 400 50000 (1 20%) x ,解得 x= 1600,經檢驗，x = 1600 是方程的根 ,則今年 A 型車每輛售價為 9. (2014 泉州)如圖，在銳角三角形紙片 ABC 中，AC BC ,點 D, E, F 分別在邊 AB , BC , CA 上. (1) 已知 DE / AC , DF / BC. 判斷 四邊形 DECF 定是什么形狀？ 裁剪 當 AC = 24 cm , BC = 20 cm, / ACB = 45時，請你探索：如何剪四邊形

50、 DECF,能使 它的面積最大，并證明你的結論； (2) 折疊 請你只用兩次折疊，確定四邊形的頂點 D，E，C，F，使它恰好為菱形，并說明你的折 法和理由. A B E C B C 備用圖 解：平行四邊形 (2)設 FC= x cm(0v xv 24),則 AF = (24 x) cm過點 F 作 FH 丄 BC 2 DF AF 5 于點 H ,貝 V FH = x. / DF / BC , / ADF ABC , / BC = AC , DF = $(24 x), / S? DECF = DF FH = |(24 x) yx=，2(x 12)2 + 60,2,二當 x = 12 時，四邊形

51、DECF 面積 1 取得最大值 60 2,此時 FC = ?AC,即沿著三角形的中位線 DF , DE 剪四邊形 DECF ,能使 它的面積最大 先折/ ACB 的平分線(使 CB 落在 CA 上),壓平，折線與 AB 的交點為點 D;再折 DC 的垂直平分線(使點 C 與點 D 重合)，壓平，折線與 BC, CA 的交點分別為點 E, F,展平后四邊形 DECF 就是菱形理由：對角線互相垂直平分的四邊形是菱形專題六動態綜合型問題 強化突破 1.(2014 益陽)如圖，在直角梯形 ABCD 中，AB / CD , AD 丄 AB，/ B = 60 , AB = 10, BC = 4,點 P 沿

52、線段 AB 從點 A 向點 B 運動，設 AP = x. 求 AD 的長； (2) 點 P 在運動過程中，是否存在以 A , P, D 為頂點的三角形與以 P, C, B 為頂點的三 角形相似？若存在，求出 x的值；若不存在，請說明理由； (3) 設厶 ADP 與厶 PCB 的外接圓的面積分別為 Si, S2,若 S= Si + S2,求 S 的最小值. 解：(1)AD = 2 3 (2)存在.若以 A , P, D 為頂點的三角形與以 P, C, B 為頂點的三角 形相似，則厶 PCB 必有一個角是直角.當/ PCB = 90時，在 Rt PCB 中，BC = 4, / B 晉= 3, DP

53、A = 60 , DPA = Z B, RtA PCB 中，/ B = 60 , BC = 4, PB = 2, PC=朋, AP = 8,則 AC豐 AB 且 AB 豐AC, 此時 PCB 與厶 ADP 不相似.綜上可知，存在 ADP 與厶 CPB 相似，此時 x= 2 D c X A P 一 V PD 2 12 + x (3) 如圖，因為 RtA ADP 外接圓的直徑為斜邊 PD, S1= n (云)= 廠 n 當 2 x 10 時，作BC 的垂直平分線交 BC 于 H ,交 AB 于 G;作 PB 的垂直平分線交 PB 于 N , 1 交 GH 于 M ,連接 BM ,貝 U BM PC

54、B 外接圓的半徑.在 RtA GBH 中，BH = ?BC = 2, / 1 1 1 1 MGB = 30 , BG = 4,又 BN = PB= (10 x) = 5 ?x, GN = BG BN = x 1在 RtA 3 1 2 22216 GMN 中，MN = GN-tan / MGN =虧(來1).在 RtA BMN 中，BM = MN + BN = _x x ,76 2 /I 2 16 76 亠 ,1 2 16 76 亠、 + , S2= n -BM = (x x+)n 當 0 x 2 時，S2= (x x+ _) n 也成立. S 2 S 丄 S 12+ X 丄 J 2 16 76

55、、 Z / 32、2丄 H3 . 32 時 S S 丄 S =S1+ S2= 4 n + qx 3X + 3 ) n = 12 n (x 7 ) + 7 n , 當 x= 7 時，S= S1 + S2 =60 , PB = 8, AP = AB PB = 2又由(1)知 AD = 2 3，在 RtA ADP 中,tan/ DPA = AD _ AP = ADP CPB.當/ CPB = 90 取得最小值 113 7t 1 2 2. (2014 蘭州)如圖，拋物線 y = x + mx + n與 x 軸交于 A , B 兩點，與 y 軸交于點 C,拋物線的對稱軸交 x軸于點 D,已知 A( 1, 0),