1、yx11 0東阿實驗高中東阿實驗高中 武守維武守維(約約780約約850)花拉子米花拉子米給出了一次方程給出了一次方程和二次方程的一和二次方程的一般解法。般解法。 方程解法史話方程解法史話: :(約約1802約約1829)阿貝爾阿貝爾證明了五次以上證明了五次以上一般方程沒有求一般方程沒有求根公式。根公式。 方程方程x22x+1=0 x22x+3=0y= x22x3y= x22x+1函數函數函函數數的的圖圖象象方程的實數根方程的實數根x1=1,x2=3x1=x2=1無實數根無實數根函數的圖象函數的圖象與與x軸的交點軸的交點(1,0)、(3,0)(1,0)無交點無交點x22x3=0 xy01321

2、121234.xy0132112543.yx012112y= x22x+3問題問題 求出表中一元二次方程的實數根，畫出相應的二次函數求出表中一元二次方程的實數根，畫出相應的二次函數圖像的簡圖，并寫出函數的圖象與圖像的簡圖，并寫出函數的圖象與x軸的交點坐標軸的交點坐標知識探究知識探究:方程的根與函數零點方程的根與函數零點 y=0方程方程ax2 +bx+c=0(a0)的根的根函數函數y= ax2 +bx+c(a0)的圖象的圖象判別式判別式 =b24ac0=00函數的圖象函數的圖象與與 x 軸的交點軸的交點有兩個相等的有兩個相等的實數根實數根x1 = x2沒有實數根沒有實數根xyx1x20 xy0

3、x1xy0(x1,0) , (x2,0)(x1,0)沒有交點沒有交點兩個不相等兩個不相等的實數根的實數根x1 、x2問題問題: 若將上面特殊的一元二次方程推廣到一般若將上面特殊的一元二次方程推廣到一般的一元二次方程及相應的二次函數的圖象與的一元二次方程及相應的二次函數的圖象與x軸軸交點的關系，上述結論是否仍然成立？交點的關系，上述結論是否仍然成立？這種關系可以推廣一般情形嗎？這種關系可以推廣一般情形嗎？方程的根與函數的零點方程的根與函數的零點 總結歸納，知識拓展總結歸納，知識拓展 結論：結論：一元二次方程的根是相應二次函數圖象一元二次方程的根是相應二次函數圖象與與x軸交點的橫坐標軸交點的橫坐標

4、!0log2xxy2log 的實數根是方程00 xfx ）有交點（軸的圖象與函數0 ,0 xxxfy 方程的根和相應的函數圖象與方程的根和相應的函數圖象與x軸交點的橫軸交點的橫坐標相同坐標相同方程的根與函數的零點方程的根與函數的零點 總結歸納，知識拓展總結歸納，知識拓展 辨析練習：辨析練習：函數 的零點是（ ） A. B. C. D. 和)0 , 3(),0 , 1(1x3x322xxy1x3xD 對于函數對于函數yf(x)，我們把使，我們把使f(x)0的實數的實數x叫做函數叫做函數yf(x)的的零點零點.函數零點的概念：函數零點的概念：方程的根與函數的零點方程的根與函數的零點 形成概念形成概

5、念,梳理提升梳理提升零點是一個零點是一個點嗎點嗎? ?如何求函數如何求函數的零點的零點 ? ?問題問題1：你能從中分析你能從中分析函數有哪些零點嗎？函數有哪些零點嗎？問題問題2：從函數圖象的從函數圖象的角度，你能對函數的角度，你能對函數的零零點換一種說法嗎？點換一種說法嗎？ -2-123oxy探究問題探究問題2：觀察函數圖觀察函數圖象，思考象，思考:方程的根與函數的零點方程的根與函數的零點 等價關系等價關系,梳理提升梳理提升函數函數y=f(xy=f(x) )有零點有零點方程方程f(xf(x)=0)=0有實數根有實數根函數函數y=f(xy=f(x) )的圖象與的圖象與x x軸有交點軸有交點1.2

6、. 的實數根是方程00 xfx ）軸有交點（的圖象與函數0 ,0 xxxfy 的零點是函數xfyx0例例1求下列函數的零點：求下列函數的零點：（1） （2）) 1lg()(xxf65)(2xxxf0)(xf0) 1lg(x2x) 1lg()(xxf解：（1）令，即，解得，所以函數的零點為 2.0)(xf0652 xx2x3x65)(2xxxf,解得或，所以函數的零點（2）令 ，即是2和3. 知識鞏固知識鞏固 能力提高能力提高求函數零點的步驟：求函數零點的步驟： (1)令令f(x)=0; (2)解方程解方程f(x)=0； (3)寫出零點寫出零點.思考：思考：求零點還有其它的方法嗎？求零點還有其它

7、的方法嗎？解方程解方程法法圖像法圖像法設問激疑設問激疑 延伸拓展延伸拓展 一次函數、反比例函一次函數、反比例函數、指數函數、對數函數數、指數函數、對數函數有零點嗎？有零點嗎？河流BAC播放停止C播放停止 問題探究問題探究觀察函數的圖象觀察函數的圖象在區間在區間(a,b)上上_(有有/無無)零點；零點；f(a).f(b)_0（或）（或） 在區間在區間(b,c)上上_(有有/無無)零零點；點；f(b).f(c) _ 0（或）（或） 在區間在區間(c,d)上上_(有有/無無)零零點；點；f(c).f(d) _ 0（或）（或）知識探究知識探究:函數零點存在性原理函數零點存在性原理 -15-43有有有有

8、有有 如果函數如果函數y=f(x)在區間在區間a,b上的圖象是上的圖象是連續不斷連續不斷的的一條曲線，并且有一條曲線，并且有f(a)f(b)0，那么，函數，那么，函數y=f(x)在區在區間間(a,b) 內有零點，即存在內有零點，即存在c(a,b)，使得，使得f(c)=0，這個，這個c也就是方程也就是方程f(x)=0的根的根.ab0yxx02-2-4-6-8-15-10-5x1g x 2-2yba定理辨析：判斷正誤定理辨析：判斷正誤0abxy（1 1）f(a)f(a)f(bf(b)0)0則函數則函數y=f(xy=f(x) )在區間在區間(a,b(a,b) )內有零內有零點點. .（2 2）函數）

9、函數y=f(xy=f(x) )在區間在區間(a,b(a,b) )內有零點內有零點f(a)f(a)f(bf(b)0.)0.（3 3）f(a)f(a)f(bf(b)0 )0 函數函數y=f(xy=f(x) )在區間在區間(a,b(a,b) )內只有一內只有一個零點個零點. .探索研究探索研究 歸納總結歸納總結函數零點存在定理的三個注意點：函數零點存在定理的三個注意點： 1 1 函數的圖象是連續的函數的圖象是連續的. . 2 2 定理不可逆定理不可逆. . 3 3 至少存在一個零點至少存在一個零點. .由表由表3-1和圖和圖3.13可知可知f(2)0， 即即f(2)f(3)0，說明這個函數在區間說明

10、這個函數在區間(2,3)內內有零點有零點. 由于函數由于函數f(x)在定義域在定義域(0,+)內是增函數，所以內是增函數，所以它僅有一個零點它僅有一個零點.解：用計算器或計算機作出解：用計算器或計算機作出x、f(x)的對應值表（表的對應值表（表3-1）和圖象（圖和圖象（圖3.13） 4 1.30691.0986 3.3863 5.60947.79189.9459 12.079414.1972123456789x0246105y241086121487643219的零點個數：求函數例62ln)(2xxxf問題問題不計算、不列表、不畫圖，可否得到本題結論？不計算、不列表、不畫圖，可否得到本題結論？

11、辦法一辦法一尋找函數值符號的變化規律，以尋找函數值符號的變化規律，以f(2)，f(3)為例為例0233022222 ln)(,lnlnln)(fef辦法二辦法二.lnln)(的的圖圖象象交交點點的的個個數數與與函函數數的的零零點點個個數數轉轉化化為為將將函函數數6262 xyxyxxx fxy0121B試一試：試一試：方程的根與函數的零點方程的根與函數的零點 2.2.在二次函數在二次函數 中，中，ac0,則其零則其零點的個數為（）點的個數為（）.不存在不存在2yaxbxc.已知函數已知函數 是定義域為的奇函數，且是定義域為的奇函數，且在上有一個零點，則在上有一個零點，則 的零點個數為的零點個數

12、為( ). . . .不確定不確定( )f x( )f x(0,)( )f x1.1.利用函數圖像判斷下列方程有沒有根，有幾個根：(1) (2)演練反饋，知識內化演練反饋，知識內化0532xx3)2(2xxBA本節課你有什么收獲?函數零點方程根，函數零點方程根，形數本是同根生。形數本是同根生。函數零點端點判，函數零點端點判，圖象連續方顯靈。圖象連續方顯靈。代數法代數法圖像法圖像法小小 結結函數零點存在性原理函數零點存在性原理數學思想方法數學思想方法數數形形結結合合思思想想轉化思想方程函數思想函數零點定義函數零點定義零點等價關系零點等價關系零點的求解方法零點的求解方法零點存在性原理零點存在性原理

13、愛愛(i)(i)連說連說函數零點方程根，函數零點方程根，形數本是同根生。形數本是同根生。函數零點端點判，函數零點端點判，圖象連續方顯靈。圖象連續方顯靈。練習：練習：1.利用函數圖象判斷下列方程有沒有根，有幾個根：利用函數圖象判斷下列方程有沒有根，有幾個根：（1）x23x50；（2）2x(x2)3；（3） x2 4x4；（4）5 x2 2x3 x2 5.2.2.在二次函數在二次函數 中，中，ac0,ac0,則其零點的則其零點的個數為（）個數為（）. . . . .不存在不存在2yaxbxc. .已知函數已知函數 是定義域為的奇函數，且是定義域為的奇函數，且 在在 上有一個零點，則上有一個零點，則

14、 的零點個數為的零點個數為( ). . . . . . . .不確定不確定( )f x( )f x(0,)( )f xBAx23x5, 作出函數作出函數的圖象，如下：的圖象，如下：.xy01321486224 它與它與x軸有兩個交點，所以軸有兩個交點，所以方程方程x23x50有兩個不有兩個不相等的實數根。相等的實數根。(1) x23x50 1(2)解：解：2x(x2)3可化為可化為2x24x30，令，令f(x)= 2x24x3 , 作出函數作出函數的圖象的圖象,如下：如下：xy0132112543. 它與它與x軸沒有交點，所以方程軸沒有交點，所以方程2x(x2)3無實數根。無實數根。(2) 2x(x2)31(3)解：解：x2 4x4可化為可化為x24x40，令，令f(x)= x24x4，作出，作出函數函數的圖象，如下：的圖象，如下：. 它與它與x軸只有一個交點，所以軸只有一個交