1、會(huì)計(jì)學(xué)1一. 相似矩陣及其性質(zhì) 相似矩陣的定義相似矩陣的定義設(shè)A和B皆是n階方陣，若存在一個(gè)n階可逆方陣P，使得P-1AP=B，則稱矩陣B與A相似。從矩陣A到矩陣B=P-1AP的變換稱為相似變換；稱P為該相似變換的變換矩陣。2. 相似關(guān)系自反性; 對(duì)稱性; 傳遞性.等價(jià)關(guān)系第1頁(yè)/共22頁(yè)3. 相似矩陣的特征值、特征向量相似矩陣的特征值、特征向量定理1. 若A與B相似，則A和B具有相同的特征多項(xiàng)式，從而具有相同的特征值。定理2. 若B=P-1AP, 是A的關(guān)于特征值的一個(gè)特征向量,則 = P-1是B的關(guān)于特征值的一個(gè)特征向量。例1. 證明00010A0100 與 00000B0000 盡管具有

2、相同的特征值，但它們并不相似。第2頁(yè)/共22頁(yè)證明： 顯然|A - E| = |B - E| = (0 - )3，從而A和B的特征值皆為0容易得到： 1000 , 1 , 0001 皆是B的與0對(duì)應(yīng)的特征向量. 倘若A和B相似，即有某一可逆方陣P，滿足依據(jù)定理2得： 100P 0 ,P 1 ,P 0001 的與特征值0對(duì)應(yīng)的特征向量. P-1AP=B.皆是A第3頁(yè)/共22頁(yè)也就是說,矩陣A應(yīng)該有3個(gè)線性無關(guān)的特征向量.證畢二. 方陣在相似變換下的Jordan標(biāo)準(zhǔn)形1, Jordan塊 0, 001,0 00011, 0000111 而這是不可能的因?yàn)榫仃嘇 - 0E的秩為2，方程組(A - 0

3、E)X = 0不可能有三個(gè)線性無關(guān)的解向量。第4頁(yè)/共22頁(yè)12JJJJs 2. Jordan矩陣定理3. 設(shè)A是一個(gè)n階方陣,則存在某一Jordan矩陣J, 使得A與J相似. 稱該Jordan矩陣J為方陣A在相似變換之下的Jordan標(biāo)準(zhǔn)形.第5頁(yè)/共22頁(yè)三. 確定方陣Jordan標(biāo)準(zhǔn)型的方法.定理4 設(shè)A是一個(gè)n階方陣，則A相似于一個(gè)對(duì)角陣的充分必要條件是：A有n個(gè)線性無關(guān)的特征向量。12n 證明： A相似于一個(gè)對(duì)角陣的充分必要條件是:12(,.,)ndiag 第6頁(yè)/共22頁(yè)存在n階可逆方陣P，使得P-1AP = ,即AP = P 記P = (p1, p2, , pn)，其中p1, p

4、2, , pn是P矩陣的n個(gè)線性無關(guān)的列向量。(Ap1, Ap2, , Apn) = (1p2, 2p2, , npn)從而有:也就是說：Apk = kpk, k = 1, 2, , n. 即p1, p2, , pn皆是矩陣A的特征向量。證畢推論：若n階矩陣具有n個(gè)互異的特征值，則該矩陣相似于一個(gè)對(duì)角矩陣。第7頁(yè)/共22頁(yè)試問:若方陣A相似于對(duì)角方陣12(,.,)ndiag 1. A2是否也相似于對(duì)角方陣? 相似于什么樣的對(duì)角方陣?2. A3呢?3. 若() = a0 + a1 + a22 + + amm是一個(gè)多項(xiàng)式, 定義(A) = a0E + a1A + a2A2+ + amAm.(A)相

5、似于12( (), (),., ()ndiag 第8頁(yè)/共22頁(yè)特別當(dāng):( )AE , (A)相似于12( (), (),., ()ndiag O 即: (A) = O定理5. 設(shè)A是一個(gè)n階方陣, () = |A - E|是A的特征多項(xiàng)式, 則(A) = O凱萊-哈密頓(Cayley-Hamilton)定理 例2.判斷下列矩陣是否相似于一個(gè)對(duì)角矩陣，如相似，求出相似變換矩陣P第9頁(yè)/共22頁(yè)704A22120011 解： 70422120011 74(2)2011 (1)(2)(3) 該矩陣有三個(gè)不同的特征值，所以相似于對(duì)角矩陣diag(1, 2, 3).第10頁(yè)/共22頁(yè)解下列方程組,計(jì)算

6、特征向量: 12371040221102001110 xxx 102 12372040222102001120 xxx 010 12373040223102001130 xxx 215 第11頁(yè)/共22頁(yè)即： 11A 00 ,22 00A 12 1 ,00 22A 13 155 從而 1021021A 01101122052053 令 102P011205 ,得到： 11P AP23 第12頁(yè)/共22頁(yè)例3矩陣 431A632613 是否相似于對(duì)角陣？如果相似，請(qǐng)求出相似變換矩陣P解： 431632613 143263361 14302(1)30(1)(6) 8 3 14302(1)300(1

7、)(2)/2 第13頁(yè)/共22頁(yè)2(2)(1)解方程組, 求特征向量： 123423106322061320 xxx 128 123413106312061310 xxx 103 該方陣只有兩個(gè)線性無關(guān)的特征向量，所以它并不相似于對(duì)角矩陣。 第14頁(yè)/共22頁(yè)例4證明矩陣 431A632613 的Jordan標(biāo)標(biāo)準(zhǔn)型為：200011001 證明思路，證明的過程就是要尋找一個(gè)3階可逆方陣P = (p1, p2, p3)，使得: 200APP 011001 第15頁(yè)/共22頁(yè)即:（Ap1, Ap2, Ap3）=（2p1, p2, p2 + p3) 得知：Ap1 = 2p1，Ap2= p2，Ap3=

8、 p2 + p3也就是說，p1是A的與特征值2對(duì)應(yīng)的特征向量，p2是與特征值1所對(duì)應(yīng)的特征向量,而P3則是方程組(A E)X = p2的解向量。取 112 ,8p 2103p 第16頁(yè)/共22頁(yè)解方程組: 123331164206123xxx 得： 123100132xxcx , 取 3012p 顯然： P-1AP = 200011001 ,其中 110P201832 第17頁(yè)/共22頁(yè)例5證明矩陣 100A311643 的Jordan標(biāo)標(biāo)準(zhǔn)型為100J011001 解： 100311643 11(1)43 3(1) 第18頁(yè)/共22頁(yè)解方程組 1231 100031 11064310 xxx 得到特征向量： 011 ,023 所以該方陣并不與對(duì)角陣相似。剩下的問題就是要在這兩個(gè)向量中, 把其中的一個(gè)記作p1, 另一個(gè)記作p2, 然后解線性方程組(A E)X = p2, 得到p3, 最終找一個(gè)可逆矩陣P(p1, p2, p3)，使P-1AP = J 第19頁(yè)/共22頁(yè)123110013111064313xxx 而卻無解.若選取