1、會計學1, 0)(),),(021 xfxxxxxTn都都有有, 0)(, 0 xfx都都有有如如果果對對任任何何則稱f 為正定二次型,并稱對稱矩陣A是正定矩陣； 則稱f 為負定二次型,并稱對稱矩陣A是負定矩陣； 1定定義義設有實二次型 ,)(AxxxfT 如果對任何 222164zyxf 為正定二次型 22213xxf 為負定二次型 例如 第1頁/共13頁.: 2個個系系數數全全為為正正它它的的標標準準形形的的件件是是為為正正定定的的充充分分必必要要條條實實二二次次型型定定理理nAxxfT 推論2 對稱矩陣A為正定的充分必要條件是：A的 特征值全為正 2 22 22 21 12 2n n推推

2、論論1 1 二二次次型型正正定定的的充充要要條條件件是是它它的的標標準準型型為為 f f X X = = y y+ +y y+ +y y推論3 正定二次型的矩陣行列式必大于零.第2頁/共13頁, 011 a, 022211211 aaaa,; 01111 nnnnaaaa ., 2 , 1, 011111nraaaarrrrr 這個定理稱為霍爾維茨定理 定理3 對稱矩陣A為正定的充分必要條件是：A的 各階順序主子式全為正，即 對稱矩陣A為負定的充分必要條件是：奇數階順序主子式為負，而偶數階順序主子式為正,即 第3頁/共13頁例1 判別二次型 32312123222132148455,xxxxx

3、xxxxxxxf 是否正定.解 的的矩矩陣陣為為321,xxxf,524212425 它的順序主子式 , 05 , 011225, 01524212425故上述二次型是正定的. 第4頁/共13頁例2 判別二次型 312322213214542,xxxxxxxxf 是否正定.解二次型的矩陣為,502040202 A用特征值判別法. 0 AI 令令. 6, 4, 1321 故此二次型為正定二次型.即知 是正定矩陣， A第5頁/共13頁例3 判別二次型xzxyzyxf44465222 的正定性.解的矩陣為的矩陣為f, 0511 a, 026622522211211 aaaa, 080 A.3為負定為

4、負定知知根據定理根據定理f,402062225 A第6頁/共13頁正定矩陣具有以下一些簡單性質 ;,. 11正正定定矩矩陣陣均均為為則則為為正正定定實實對對稱稱陣陣設設 AAA,A T.,. 2正正定定矩矩陣陣也也是是則則階階正正定定矩矩陣陣均均為為若若 BAnBA 第7頁/共13頁：，性性質質（）設設 是是的的特特征征值值，（）為為任任一一多多項項式式，則則（ ）是是（）的的特特征征值值。（用用定定義義證證）（）若若可可逆逆，則則的的的的特特征征值值均均非非零零。且且若若 是是的的特特征征值值則則為為的的特特征征值值。 第8頁/共13頁。由由定定理理它它們們為為正正定定矩矩陣陣是是正正數數且

5、且它它們們的的特特征征值值都都也也是是對對稱稱矩矩陣陣與與則則都都是是正正數數的的特特征征值值且且是是對對稱稱矩矩陣陣是是正正定定矩矩陣陣，則則因因為為證證明明也也是是正正定定矩矩陣陣。與與為為正正定定矩矩陣陣，證證明明設設也也是是正正定定矩矩陣陣。由由定定義義則則，對對任任意意向向量量們們都都為為對對稱稱矩矩陣陣為為正正定定矩矩陣陣，由由定定義義它它、證證明明：因因為為也也是是正正定定矩矩陣陣。為為正正定定矩矩陣陣，證證明明、設設.,.,:4205,0,00,320511nnTTAAAAAAAAexPABBXXAXXXBAABBAexP 第9頁/共13頁是是正正定定矩矩陣陣。它它們們全全大大

6、于于零零，所所以以充充分分大大時時，當當，的的特特征征值值為為所所以以，使使得得，矩矩陣陣可可對對角角化化，存存在在可可逆逆為為對對稱稱矩矩陣陣，證證明明：因因為為是是正正定定矩矩陣陣。充充分分大大時時，為為對對稱稱矩矩陣陣，證證明明當當設設AtIttttAPttPtIPPPPtIPPAtIPPAPAAAtItAexPnnnnn 211111111112205第10頁/共13頁2.正定二次型（正定矩陣）的判別方法：(1)定義法；(2)順次主子式判別法；(3)特征值判別法.1.正定二次型的概念，正定二次型與正定矩陣的區別與聯系3.根據正定二次型的判別方法，可以得到負定二次型（負定矩陣）相應的判別方法，請大家自己推導第11頁/共13頁定理2之證明 使使設設可可逆逆變變換換Cyx .21iniiykCyfxf 充分性 ., 10niki 設設, 0 x任任給給, 0 xCy1-則則故 . 021 iniiykxf必要性