1、.余弦定理的多種證明方法法一 (平面幾何 )：在 ABC中，已知 ACb, BCa, 及C ，求 c。A過 A 作 AD BC于 D，是 AD AC sin CBC sin C ，CDAC cos bcosc,BC在 RtABD 中， AB 2AD 2BD 2(b sin c) 2(a b cosc)2a2b22ab cosc ，法二（平面向量）：AB AB( ACBC) ( AC222BC) AC 2AC BCBCAC 2| AC| |BC|cos(180B)22ab cosB a2 ，即： c2a2b22ab coscBC b2法三（解析幾何） ：把頂點(diǎn) C 置于原點(diǎn)， CA 落在 x 軸

2、的正半軸上，由于ABC 的 AC=b ，CB=a ， AB=c ，則 A，B， C 點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A(b ， 0)， B(acosC ， asinC) ， C(0 ， 0) |AB| 2=(acosC b) 2 +(asinC 0)2=a 2cos2C 2abcosC+b 2 +a 2sin2C=a 2+b 2 2abcosC ，即 c 2=a 2+b 2 2abcosC 法四（利用正弦定理）：先證明如下等式： sin2 Asin2 B sin 2 C 2sin Asin B cosC證明： sin 2 A sin 2 Bsin 2 C;.1c o 2sA 1c o 2sB1c o 2sC22

3、21c o o2sAc o 2sB1c o 2sC222c o sAB c o sABc o sC2s i nAs i nB c o Cs故式成立，再由正弦定理變形，得a2Rs i nAb2Rs i nB( 2)c2Rs i nC結(jié)合、(2) 有a2b2c24R2222s i n A s i n B s i nC4R22s i nAs i nB c o Cs2abc o Cs.即 c2a2b22abcosC .同理可證a2b2c22bccos A ； b2c2a22ca cosB .法五（用相交弦定理證明余弦定理）:如圖，在三角形ABC 中， A=，AB=a ，BC=b ，AC=c 。現(xiàn)在以

4、B為圓心，以長(zhǎng)邊AB 為半徑做圓，這里要用長(zhǎng)邊的道理在于，這樣能保證 C 點(diǎn)在圓內(nèi)。 BC 的延長(zhǎng)線交圓B 于點(diǎn) D 和 E這樣以來(lái)， DC=a-b ， CE=a+b ， AC=c 。因?yàn)?AG=2acos ，所以CG=2acos -c。根據(jù)相交弦定理有：DC× CE=AC× CG ，帶入以后就是(a- b)(a+b)=c(2acos-c)化簡(jiǎn)以后就得b2 =a 2+c 2+2accos 。也就是我們的余弦定理。法六（面積解釋）：如圖 9，以 ABC的三邊為邊長(zhǎng)向外作三個(gè)正方形，交 AB于 K。據(jù)說(shuō)歐幾里德就是利用此圖形證明勾股定理的。易證( 最好是將看作是旋轉(zhuǎn)而成 )，進(jìn)

5、而可得；同理，所以直角三角形斜邊上的正方形面積等于兩直角邊上兩正方形面積之和。;.此處還有一個(gè)副產(chǎn)品：等價(jià)于，無(wú)需用到相似，輕松可得射影定理。圖9圖10假若不是直角三角形呢？如圖10，ABC的三高的延長(zhǎng)線將三個(gè)正方形分為6 個(gè)矩形，而且兩兩相等，則，輕松可得余弦定理。例 1：證明余弦定理。勾股定理只是對(duì)于直角三角形成立， 很有必要將之推廣到一般三角形的情形， 這樣在使用的時(shí)候才方便。在第一章中已經(jīng)介紹了面積法證明余弦定理了，下面再介紹三種面積證法。證明勾股定理主要用到平移，而證明余弦定理則可能需要用旋轉(zhuǎn)。余弦定理證明 1：如圖 1，將 ABC 繞點(diǎn) B 旋轉(zhuǎn)一個(gè)較小角度得到 DBE ，則；由面積關(guān)系得，即，即，化簡(jiǎn)得。;.圖1 圖2如果認(rèn)為證法 1 較麻煩，也還有簡(jiǎn)單的證法。余弦定理證明 2：只要注意到，立馬可得。余弦定理證明 3