1、考點34 平面向量的概念與線性運算【命題解讀】平面向量是高考考查的重點、熱點.往往以選擇題或填空題的形式出現.常以平面圖形為載體，考查線性運算、數量積、夾角、垂直的條件等問題【基礎知識回顧】 1. 向量的有關概念(1)零向量：長度為0的向量叫零向量，其方向是不確定的(2)平行(共線)向量：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量我們規定零向量與任一向量平行(3)單位向量：長度等于1個單位長度的向量(4)相等向量：長度相等且方向相同的向量(5)相反向量：與向量a長度相等，方向相反的向量叫做a的相反向量2. 向量的線性運算(1)向量加法滿足交換律abba，結合律(ab)ca(bc)向量加法可以使用三角

2、形法則，平行四邊形法則(2)向量的數乘：實數與向量a的積是一個向量，記作a，它的長度和方向規定如下：|a|a|；當>0時，a與a方向相同；當<0時，a與a方向相反；當a0時，a0；當0時，a0(3)實數與向量的運算律：設，R，a，b是向量，則有：(a)()a；()aaa；(ab)ab3. 向量共線定理：如果有一個實數，使ba(a0)，那么b與a是共線向量；反之，如果b與a(a0)是共線向量，那么有且只有一個實數，使ba1、已知下列各式：；，其中結果為零向量的個數為()A.1 B.2 C.3 D.42、設a，b是非零向量，則a2b是成立的()A充要條件B充分不必要條件C必要不充分條件

3、D既不充分又不必要條件3、已知4e12e2，2e1te2，若M、P、Q三點共線，則t( )A. 1 B. 2 C. 4 D. 14、（2019秋如皋市期末）（多選題）在梯形中，分別是，的中點，與交于，設，則下列結論正確的是ABCD5、（多選題）設點M是ABC所在平面內一點，則下列說法正確的是()A若，則點M是邊BC的中點B若2，則點M在邊BC的延長線上C若，則點M是ABC的重心D若xy，且xy，則MBC的面積是ABC面積的6、在ABC中，則BAC_考向一平面向量的有關概念例1、（2019年徐州開學初考試）給出下列四個命題：若|a|b|，則ab；若A，B，C，D是不共線的四點，則“”是“四邊形A

4、BCD為平行四邊形”的充要條件；若ab，bc，則ac；ab的充要條件是|a|b|且ab.其中正確命題的序號是()A. B. C. D.變式1、(多選)給出下列命題，不正確的有()A若兩個向量相等，則它們的起點相同，終點相同B若A，B，C，D是不共線的四點，且，則ABCD為平行四邊形Cab的充要條件是|a|b|且abD已知，為實數，若ab，則a與b共線變式2、給出下列命題：兩個具有公共終點的向量，一定是共線向量；a0(為實數)，則必為零；，為實數，若ab，則a與b共線其中錯誤的命題的個數為()A0 B1C2 D3變式3、（山東泰安一中2019屆高三模擬）給出下列命題：兩個具有公共終點的向量，一定

5、是共線向量；a0(為實數)，則必為零；，為實數，若ab，則a與b共線其中錯誤的命題的個數為()A0B.1C2 D3變式4、如圖所示，已知正六邊形ABCDEF，O是它的中心（1）與相等的向量有 ；（2）與相等的向量有 ；（3）與共線的向量有 答案：（1），；（2）；（3）方法總結：向量有關概念的關鍵點(1)向量定義的關鍵是方向和長度(2)非零共線向量的關鍵是方向相同或相反，長度沒有限制(3)相等向量的關鍵是方向相同且長度相等(4)單位向量的關鍵是長度都是一個單位長度(5)零向量的關鍵是長度是0，規定零向量與任意向量共線考向二 向量的線性運算例2、(1)(2019·安徽合肥二模)在ABC

6、中，若a，b，則()A.ab BabC.ab D.ab(2)(一題多解)(2020·廣東一模)已知A，B，C三點不共線，且點O滿足161230，則()A.123 B123C.123 D.123變式1、（山西平遙中學2019屆期末）在ABC中，c，b，若點D滿足2，則等于()A.bcB.cbC.bc Dbc變式2、(2019·衡水中學五調)如圖所示，在正方形ABCD中，E為BC的中點，F為AE的中點，則()A. B .B. D .變式3、1在ABC中，AD為BC邊上的中線，E為AD的中點，則等于()A. B.C. D.2如圖，在等腰梯形ABCD中，DCAB，BCCDDA，DE

7、AC于點E，則等于()A. B.C. D.變式4、（2019無錫區期末）如圖，在平行四邊形中，下列計算錯誤的是A BCD變式5、（2019宿遷期末）如圖所示，四邊形為梯形，其中，分別為，的中點，則下列結論正確的是ABCD方法總結：向量的線性運算，即用幾個已知向量表示某個向量，基本技巧為：一般共起點的向量求和用平行四邊形法則；求差用三角形法則；求首尾相連向量的和用三角形法則考向三 共線定理的應用例3、如圖，在ABO中，AD與BC相交于點M，設a，b.試用a和b表示.變式1、(2019·河南鄭州第一次質量預測)已知A，B，C是直線l上不同的三個點，點O不在直線l上，則使等式x2x0成立的

8、實數x的取值集合為()A.0 B.C.1 D.0，1變式2、（2019秋清遠期末）等邊三角形中，與交于，則下列結論正確的是ABC D變式3、設兩個非零向量a與b不共線(1)ab，2a8b，3(ab)，求證：A，B，D三點共線；(2)試確定實數k，使kab和akb共線方法總結：利用共線向量定理解題的方法(1)abab(b0)是判斷兩個向量共線的主要依據注意待定系數法和方程思想的運用(2)證明三點共線問題，可用向量共線來解決，但應注意向量共線與三點共線的區別與聯系，當兩向量共線且有公共點時，才能得出三點共線即A，B，C三點共線，共線(3)若a與b不共線且ab，則0.(4) (，為實數)，若A，B，

9、C三點共線，則1.1、在ABC中，點G滿足0.若存在點O，使得，且mn，則mn等于()A2 B2 C1 D12、A，B，C是圓O上不同的三點，線段CO與線段AB交于點D(點O與點D不重合)，若(，R)，則的取值范圍是()A(0,1) B(1，)C(1， D(1,0)3、【2018年高考全國I卷理數】在中，為邊上的中線，為的中點，則ABCD4、.在ABC中，下列命題正確的是( )A.B.0C.若()·()0，則ABC為等腰三角形D.若·0，則ABC為銳角三角形5、（2020屆山東省泰安市高三上期末）如圖，在四邊形ABCD中，ABCD，ABAD，AB=2AD=2DC，E為BC邊上一點，且，F為AE的中點，則（ ）ABCD6、【江蘇卷】在ABC中，D在邊BC上，延長