1、 6-1 信號的分類信號的分類 6-2 傅里葉變換傅里葉變換 6-3 離散傅里葉變換（離散傅里葉變換（DFT） 6-4 快速傅里葉變換（快速傅里葉變換（FFT） 6-5 選帶傅氏分析（選帶傅氏分析（ZOOM-FFT） 6-6 功率譜與功率譜密度分析功率譜與功率譜密度分析 6-7 線性系統的輸入與輸出關系線性系統的輸入與輸出關系 6-8 拉普拉斯變換與拉普拉斯變換與Z變換變換本章內容本章內容振動信號的測量振動信號的測量振動信號傳感器振動信號傳感器位移傳感器位移傳感器速度傳感器速度傳感器加速度傳感器加速度傳感器電渦流傳感器電渦流傳感器光纖傳感器光纖傳感器機械振動的運動量和動特性參數的常用測量方法機

2、械振動的運動量和動特性參數的常用測量方法頻率的測量頻率的測量相位差的測量相位差的測量衰減系數及相對阻尼系數的測量衰減系數及相對阻尼系數的測量振動信號的處理和分析振動信號的處理和分析信號的分類信號的分類 穩態信號：穩態信號：統計特性統計特性不隨時間而變化的信號，可以是不隨時間而變化的信號，可以是確定性的，也可以是隨機性的。確定性的，也可以是隨機性的。 穩態確定性信號：完全由具有穩態確定性信號：完全由具有離散離散頻率成分的正弦信頻率成分的正弦信號組成的信號。號組成的信號。 對于任意穩定的時刻，其對于任意穩定的時刻，其信號值信號值是可以預知的。是可以預知的。 穩態隨機信號：平均特性不隨時間變化的隨機

3、信號。穩態隨機信號：平均特性不隨時間變化的隨機信號。 對于任意穩定的時刻，只能確知其對于任意穩定的時刻，只能確知其統計特性統計特性（平均值（平均值、方差）。、方差）。 非穩態信號：任何統計特性都隨時間變化的信號。非穩態信號：任何統計特性都隨時間變化的信號。 連續性非穩態信號連續性非穩態信號 瞬態信號瞬態信號傅里葉變換傅里葉變換 傅里葉變換（傅里葉變換（Fourier Transform）是一種線性的積分）是一種線性的積分變換。因其基本思想首先由法國學者傅里葉系統地提變換。因其基本思想首先由法國學者傅里葉系統地提出，所以以其名字來命名以示紀念。出，所以以其名字來命名以示紀念。 傅里葉變換是一種能

4、夠將信號從時域到頻域、從頻域傅里葉變換是一種能夠將信號從時域到頻域、從頻域到時域來回變換的傳統方法，也是信號處理的一種主到時域來回變換的傳統方法，也是信號處理的一種主要方法。要方法。周期信號：周期信號：周期為周期為T，角頻率，角頻率 =2 /T，當滿足狄里赫利，當滿足狄里赫利(Dirichlet)條件時可分解為條件時可分解為如下三角級數如下三角級數 稱為稱為x(t)的傅里葉級數的傅里葉級數 基頻（第一階圓頻率）：基頻（第一階圓頻率）：傅里葉級數傅里葉級數( )()x tx tnT2021( )dTTax ttT222( )cosdTTkkax tt tT222( )sindTTkkbx tt

5、tT01( )(cossin)kkkkkx taatbt02kkkT02T將上式同頻率項合并，可寫為：將上式同頻率項合并，可寫為：其中：其中：傅里葉級數傅里葉級數01( )cos()2kkkkAx tAt01( )(cossin)kkkkkx taatbt002Aa22kkkAabarctankkkba 上式表明，周期信號可分解為直流和許多余弦分量。上式表明，周期信號可分解為直流和許多余弦分量。 其中，其中， A0/2為為直流分量直流分量； A1cos( 1t+ 1)稱為稱為基波或一次諧波基波或一次諧波，它的角頻率與原周期信號相同；，它的角頻率與原周期信號相同； A2cos(2 1t+ 2)稱

6、為稱為二次諧波二次諧波，它的頻率是基波的，它的頻率是基波的2倍；倍；一般而言，一般而言，Akcos( kt+ k)稱為稱為n次諧波次諧波。 歐拉公式：歐拉公式： 可將三角級數形式的傅立葉級數轉換為如下形式：可將三角級數形式的傅立葉級數轉換為如下形式： 傅里葉級數兩種形式的關系：傅里葉級數兩種形式的關系：傅里葉級數的復數表達法傅里葉級數的復數表達法jj1sin(ee)2kkttktjjj1cos(ee)2kkttkt0/2j/21( )eTktkTcx tdtT0j( )e 0, 1, 2,ktkkx tck 00caj2kkkabc*j2kkkkabcc周期信號的特征參數周期信號的特征參數峰值

7、峰值(Peak) ： xp平均絕對值：平均絕對值： xav均值均值(Mean)：均方值：均方值：均方根值均方根值(RMS, Root Mean Square)： xrms 01| ( )|dTavxx ttT01( )dTxxx ttT2201( )dTxx ttT201( )dTrmsxx ttT正弦信號：正弦信號： xrms=0.707 xp xav=0.637xp 信號的某種特征量隨信號信號的某種特征量隨信號頻率頻率變換的關系，稱為信號的變換的關系，稱為信號的頻譜頻譜，所畫出，所畫出的圖形稱為信號的的圖形稱為信號的頻譜圖頻譜圖。 周期信號的頻譜是指周期信號中各次諧波幅值、相位隨頻率的變化

8、關周期信號的頻譜是指周期信號中各次諧波幅值、相位隨頻率的變化關系系 幅度頻譜（幅度譜）：幅度頻譜（幅度譜）： 幅值幅值Ak隨頻率隨頻率 變化的圖形（單邊譜）變化的圖形（單邊譜） 幅值幅值|ck|隨頻率隨頻率 變化的圖形（雙邊譜）變化的圖形（雙邊譜） 幅度譜中每條線代表某一頻率分量的幅度幅度譜中每條線代表某一頻率分量的幅度譜線譜線 相位頻譜（相位譜）：相位頻譜（相位譜）： 相位相位 k隨頻率隨頻率 變化的圖形變化的圖形周期信號頻譜周期信號頻譜周期信號頻譜舉例周期信號頻譜舉例1舉例：舉例：周期信號周期信號試求該周期信號的基波周期試求該周期信號的基波周期T，基波角頻率，基波角頻率，畫出它的單邊頻譜圖

9、，畫出它的單邊頻譜圖121( )1cossin243436f ttt 解解 首先應用三角公式改寫首先應用三角公式改寫f(t)的表達式，即的表達式，即263cos41324cos211)(tttf顯然顯然1是該信號的直流分量。是該信號的直流分量。34cos21t的周期的周期T1 = 8323cos41的周期的周期T2 = 6周期信號頻譜舉例周期信號頻譜舉例1畫出畫出f(t)的單邊振幅頻譜圖、相位頻譜圖如圖的單邊振幅頻譜圖、相位頻譜圖如圖(a)(b)oAn1264320A2141o33461232n1112( )1coscos243433f ttt 周期信號頻譜舉例周期信號頻譜舉例2舉例：有一幅度

10、為舉例：有一幅度為1，脈沖寬度為，脈沖寬度為 的周期的周期矩形脈沖，其周期為矩形脈沖，其周期為T，如圖所示。求頻，如圖所示。求頻譜。譜。 f(t)t0T-T122222211( )ededTjn tjn tTnFf tttTT22sin()1 e22jn tnTjnTnsin2 0, 1, 2,2nnnT 令令Sa(x)=sin(x)/x (取樣函數）取樣函數） 周期信號頻譜舉例周期信號頻譜舉例2()() 0, 1, 2,2nnnFSaSanTTT Fn為實數，可直接畫成一個頻譜圖。設為實數，可直接畫成一個頻譜圖。設T = 4畫圖。畫圖。Fn022441 周期信號的頻譜具有周期信號的頻譜具有性

11、。譜線位置是基頻性。譜線位置是基頻 的整數倍的整數倍 一般具有一般具有性。總趨勢減小性。總趨勢減小周期信號頻譜特點周期信號頻譜特點1 非周期信號非周期信號f(t)可看成是周期可看成是周期時的周期信號。時的周期信號。 當周期當周期T趨近于無窮大時，譜線間隔趨近于無窮大時，譜線間隔 趨近于無窮小，從而趨近于無窮小，從而信號的頻譜變為信號的頻譜變為頻譜。頻譜。傅里葉積分變換（非周期信號）傅里葉積分變換（非周期信號）考慮到考慮到T，無窮小，記為無窮小，記為d；k （由離散量變為連續（由離散量變為連續量），而量），而非周期信號的傅里葉變換非周期信號的傅里葉變換1d22T同時，同時， X()稱為稱為x(t

12、)的的傅里葉變換傅里葉變換或或頻譜密度函數頻譜密度函數，簡稱，簡稱頻譜頻譜。x(t)稱為稱為X()的的傅里葉逆變換傅里葉逆變換或或原函數原函數。j1( )( )ed2tXx ttj( )( )edtx tX0/2j/21( )eTktkTcx tdtT0j( )e 0, 1, 2,ktkkx tck jjd1( )e( )ed( )d22ttkcx tdtx tdtX根據傅里葉級數復指數形式：根據傅里葉級數復指數形式： 可記為：可記為： 正變換正變換(FT)： 分解過程（時域分解過程（時域頻域）頻域） 逆變換逆變換(IFT)： 信號重構過程（頻域信號重構過程（頻域時域）時域）傅里葉變換對傅里葉

13、變換對j1( ) ( )( )ed2tXF x tx tt1j( )( )( )edtx tFXX x tX 令 正變換： 逆變換：2fj2( ) ( )( )edftX fF x tx tt1j2( )( )( )edftx tFX fX ffjj2j211( )ed( )ed(2)22 ( )edtftkftcx tdtx tdtfx tdtf 幅度頻譜（幅度譜）：幅度頻譜（幅度譜）： 隨頻率隨頻率 變化的圖形變化的圖形 幅度譜中每條線代表某一頻率分量的幅度幅度譜中每條線代表某一頻率分量的幅度譜線譜線 相位頻譜（相位譜）：相位頻譜（相位譜）： 隨頻率隨頻率 變化的圖形變化的圖形 ：頻率譜密

14、度函數，或簡稱為頻譜函數：頻率譜密度函數，或簡稱為頻譜函數 非周期信號頻譜為非周期信號頻譜為 的的函數函數 非周期信號頻譜非周期信號頻譜( )X ff( )ff( )X ff設設 Fx(t)=X(f), Fy(t)=Y(f)u線性疊加：線性疊加：u證明：證明：傅里葉變換（傅里葉變換（FT）的重要性質）的重要性質 ( )( ) ( ) ( )( )( )F ax tby taF x tbF y taX fbY fj2j2j2( )( )ed( )ed( )e (d)( )( )( )ftftftax tby ttaxF ax tby taX fbttby ttY fu對稱性對稱性 證明：證明：將

15、將t與與f互換互換傅里葉變換（傅里葉變換（FT）的重要性質）的重要性質( )()x tXf若 X txf則 x t若為偶函數 X txf則j2j2( )( )ed()( )edftftx tX ffxtX ffj2()( )ed( )ftxfX ttF X t 尺度改變：尺度改變： 證明：證明： 令令 ，則，則 ，代入上式得，代入上式得傅里葉變換（傅里葉變換（FT）的重要性質）的重要性質11 ( ),()ftF x ktXFxX kfkkkkj2 ()()edftF x ktx kttkt dk dtj2/j2 /1 () ( )( )ed1 =( )ed1 =fkf kF x ktF xxk

16、xkfXkk傅里葉變換（傅里葉變換（FT）的重要性質）的重要性質otE2 2 tfo E 2 F 2(1) (1) 0k1 時域壓縮，頻域擴展時域壓縮，頻域擴展k倍。倍。 ot4 4 tf 2Eo 2 E 4 221 F 4傅里葉變換（傅里葉變換（FT）的重要性質）的重要性質 時移：時移： 證明：證明： 令令 ，則，則 ，代入上式得代入上式得傅里葉變換（傅里葉變換（FT）的重要性質）的重要性質j200 ()()edftF x ttx ttt0tt 0,tt ddt 000j2 ()0j2j2j2 () ( )( )ed =e( )ed =eftftfftF x ttF xxxXf0j20 ()

17、( )eftF x ttX f 頻移：頻移： 時移性質表明，信號在時間軸上的移位，其頻譜函數的幅時移性質表明，信號在時間軸上的移位，其頻譜函數的幅度譜不變，而相位譜產生附加相移度譜不變，而相位譜產生附加相移 頻移性質表明，若要使一個信號的頻譜在頻率軸上右移頻移性質表明，若要使一個信號的頻譜在頻率軸上右移 單位，在時域就對應于其時間信號單位，在時域就對應于其時間信號 乘以乘以傅里葉變換（傅里葉變換（FT）的重要性質）的重要性質0j20( )e()f tF x tX ff 02ft0f( )x t0j2ef t 時域微分：時域微分： 證明：證明：傅里葉變換（傅里葉變換（FT）的重要性質）的重要性質

18、d ( )d( )j2( ),(j2 )( )ddnnnx tx tFfX fFfX ftt交換微、積分運算次序 dfefXdtddttdxftj 221 dfedtdfXftj 221 dfeffXjftj2221 ffXjdttdx2 頻域微分：頻域微分： 證明：證明：傅里葉變換（傅里葉變換（FT）的重要性質）的重要性質dd( j2 ) ( )( ),( j2 )( )( )ddnnnFf x tX fFfx tX fff dffdX dtetxdfdftj 2 dtedfdtxftj 2 dtetfxjftj 22交換微、積分次序 txfjdffdX2 積分：積分： 證明：根據時域微分性

19、質證明：根據時域微分性質傅里葉變換（傅里葉變換（FT）的重要性質）的重要性質1( )d( )j2tFx ttX ffd ( )j2( )dx tFfF x tt1d ( )( )j2dx tF x tFft1( )d ( )j2tFx ttF x tf1( )d( )j2tFx ttX ff 卷積：卷積： 時域卷積：時域卷積： 時域卷積定理說明，兩個時間函數卷積的傅里葉變換等于時域卷積定理說明，兩個時間函數卷積的傅里葉變換等于各時間函數的頻譜密度函數的乘積。各時間函數的頻譜密度函數的乘積。傅里葉變換（傅里葉變換（FT）的重要性質）的重要性質( )* ( )( )* ( )( ) ()dx ty

20、 ty tx txy t ( )* ( )( ) ( )F x ty tX f Y f 證明：證明：傅里葉變換（傅里葉變換（FT）的重要性質）的重要性質j2j2j2 ()j2j2j2 () ( )* ( )( ) ()d ed( )()ed d ( )()ed() ed ( )ed()ed() ( ) ( )ftftf tfff tF x ty txy ttxy ttxy ttxy ttX f Y f 頻域卷積：頻域卷積： 頻域卷積定理表明，兩個時間函數乘積的傅里葉變換等于頻域卷積定理表明，兩個時間函數乘積的傅里葉變換等于它們各自頻譜函數的卷積。它們各自頻譜函數的卷積。傅里葉變換（傅里葉變換（

21、FT）的重要性質）的重要性質 ( ) ( )( )* ( )F x t y tX fY f 證明：證明：傅里葉變換（傅里葉變換（FT）的重要性質）的重要性質1j2j2j2 ()j2j2j2 ()( )* ( )( ) ()d ed( )()ed d ( )()ed() ed ( )ed()ed() ( ) ( )ftftt ffft fFX fY fXY ffXY ffXY ffXY ffxy t 單邊指數信號單邊指數信號 雙邊指數信號雙邊指數信號 矩形脈沖信號矩形脈沖信號 單位脈沖信號（單位脈沖信號（函數）函數）幾種常用信號的傅里葉變換幾種常用信號的傅里葉變換 單邊指數信號：單邊指數信號：

22、傅里葉變換為：傅里葉變換為： 單邊指數信號的傅里葉變換單邊指數信號的傅里葉變換e 0( ) 00 0tEtx tt tfOtE jj 0( )eededjtttXx tEtEtEF 幅度頻譜：幅度頻譜： 相位頻譜：相位頻譜： 單邊指數信號的傅里葉變換單邊指數信號的傅里葉變換22( )EX arctan FO E 2,2,0, 0 O 2 2 0,0EXX 雙邊指數信號：雙邊指數信號： 傅里葉變換為：傅里葉變換為： 雙邊指數信號的傅里葉變換雙邊指數信號的傅里葉變換( )e 0tx t| |0()()022( )ee ee11 2 tj tjtjtXdtdtdtjj10tf(t) 雙邊指數信號幅度

23、和相位： 雙邊指數信號的傅里葉變換雙邊指數信號的傅里葉變換 222( )0X 矩形信號：矩形信號： E脈高：即矩形脈沖的高度脈高：即矩形脈沖的高度 脈寬：即矩形脈沖的寬度脈寬：即矩形脈沖的寬度( (非零區間的寬度非零區間的寬度) ) 傅里葉變換為：傅里葉變換為： 矩形信號的傅里葉變換矩形信號的傅里葉變換 / 2( ) 0 / 2Etx tt/2/2/2/2( )e esin(/ 2) (ee)/ 2 sinc(/ 2)j tj tj tj tXEdtEdtEEjE EO tft2 2 矩形信號幅度和相位：矩形信號幅度和相位： 矩形信號的傅里葉變換矩形信號的傅里葉變換sin(/ 2)|( )|/

24、 22(22)0,|( ) 0,1,2,(42)(44),|XEnnnnn F E 2O 4 2 F E 2O 4 2 20 4 2 幅度頻譜幅度頻譜相位頻譜相位頻譜 單位沖激信號，亦稱沖激函數，單位沖激信號，亦稱沖激函數， 函數，或稱函數，或稱狄拉克（狄拉克（DiracDirac）函數）函數 實質：可視為寬度為實質：可視為寬度為 ，幅值為，幅值為1/ 的矩形脈沖的矩形脈沖在在0的極限情況。的極限情況。 延時延時 函數：函數： 單位沖激信號的傅里葉變換單位沖激信號的傅里葉變換0 0( ) ( )d10ttttt00000 () ()d1ttttttttttO 1 tf抽樣特性抽樣特性 連續時間

25、信號連續時間信號x(t)與沖激信號與沖激信號 (t)相乘，并在整個時間范相乘，并在整個時間范圍內積分，可以得到信號圍內積分，可以得到信號x(t)在沖激發生時刻的函數值。在沖激發生時刻的函數值。偶函數性質偶函數性質函數的重要性質函數的重要性質(1)0000( ) ( )d( ) (0)d(0)( )d(0)() ( )d() ( )d( )t x ttt xtxttxttx ttttx ttx t( )()tt卷積：卷積：卷積性質卷積性質移位性質移位性質 連續時間信號連續時間信號x(t)與沖激信號與沖激信號 (t)(t)進進行卷積，等價于把該連續信號行卷積，等價于把該連續信號x(t)平平移到沖激

26、信號移到沖激信號 (t)(t)的沖激發生時刻的沖激發生時刻（沖激點所在位置）（沖激點所在位置） 函數的重要性質函數的重要性質(2)( )* ( )( )* ( )( )x tttx tx t00( )* ()()x tttx tt( )* ( )( )* ( )( ) ()dx ty ty tx txy t 函數的傅里葉變換函數的傅里葉變換1j2 ( )( )ed1ftFfffj20 ( )( )ede1ftFtttx(t)t(t)ofoX(f)1X(f)f(f)otox(t)1 和 的傅里葉變換 函數性質應用函數性質應用0000j2j2j2j2()j2()0eee e 1 e ()f tf

27、tftfftfftFdtdtdtff0j2( )ef tx t 0j2( )ef tx t0j20e()f tFffu正、余弦的傅里葉變換正、余弦的傅里葉變換 由由歐拉公式歐拉公式 已知已知 由頻移性質由頻移性質 得得周期信號的傅里葉變換周期信號的傅里葉變換0j20( )e()f tF x tX ff j2j2j2j211cos2(ee),sin2(ee)22jftftftftftft 1f00j2j2001 e 1 ef tf tffff0001cos22f tffff0001sin22f tffffj0000001cos2 ()(),2jsin2 ()()2Ff tffffFf tffff

28、Review 傅里葉級數(FS)周期信號2021( )dTTax ttT222( )cosdTTkkax tt tT222( )sindTTkkbx tt tT01( )(cossin)kkkkkx taatbt02kkkT02TReview 傅里葉級數復指數表達形式： 傅里葉級數頻譜特點：離散的譜線0/2j/21( )eTktkTcx tdtT0j( )e 0, 1, 2,ktkkx tck Review 傅里葉變換(FT)非周期信號 傅里葉變換頻譜特點：連續函數j1( )( )ed2tXx ttj( )( )edtx tXj2( ) ( )( )edftX fF x tx tt1j2( )( )( )edftx tFX fX ff 單位沖激信號單位沖激信號 函數函數 延時延時 函數：函數： Review0 0( ) ( )d10ttttt00000 () ()d1ttttttttttO 1 tf1j2 ( )( )e