1、121 拉氏變換的概念拉氏變換的概念定義定義 設函數 )(tf當 0t時有定義，而且積分 ttfstde )( 0 （s是一個復參量） 在s的某一域內收斂，則由此積分所確定的函數ttfsFstde )()( 0 稱為函數 )(tf的拉普拉斯變換式拉普拉斯變換式（簡稱拉氏變換式）記為 )()(tfsFLF(s)稱為 )(tf的拉氏變換拉氏變換（或稱為象函數象函數）。 一、拉氏變換一、拉氏變換3若F(s)是 )(tf的拉氏變換，則稱 )(tf為F(s)的拉拉氏氏逆變換逆變換（或稱為象原函數象原函數），記為 )()(1sFtf L可以看出， )0( )(ttf的拉氏變換，實際上就是 ttutf e

2、)()(的傅氏變換。 4例例1 求單位階躍函數 0, 10, 0)(tttu的拉氏變換。 解 由拉氏變換的定義 ttustde)( 0 L此積分在 0)(sRe時收斂，且 sstst-st1e1de0 0 所以 stu1)(L）（0)(sRe5例例2 求指數函數 kttfe)(的拉氏變換（k為解 tttftksstktdedee)( 0 )( 0 L積分在 ks )(Re時收斂，且有 ksttks1de 0 )(所以 kskt1eL)(ks (Re實數）。62. 拉氏變換的存在定理拉氏變換的存在定理 可以看出，拉氏變換存在的條件要比傅氏變換存在的條件弱得多。對于一個函數，滿足什么條件時，它的拉

3、氏變換一定存在呢？ 72當 t時， )(tf的增長速度不超過某一指數函 0c，使得 tMetfct0 ,)(成立（滿足此條件的函數，稱它的增大是指數級的，c為它的增長指數）。 拉氏變換的存在定理拉氏變換的存在定理 若函數 )(tf滿足下列條件： 1在 0t的任一有限區間上分段連續； 數，亦即存在常數M0及8則 )(tf的拉氏變換 ttfsFstde )()( 0 在半平面 cs )(Re上一定存在，右端的積分在 ccs1)(Re上絕對收斂而且一致收斂， 并且在 cs )(Re的半平面內， )(sF為解析函數。 9例例3 求正弦函數 kttfsin)(（k為實數）的拉解解 tktktstdesi

4、nsinL 0 22022)cossin(sekskktkktskst)0)(s(Re同樣可得余弦函數的拉氏變換： 22cosLksskt)0)(s(Re氏變換。 10例例6 求單位脈沖函數 )( t的拉氏變換。 利用性質： )0(d)( )( ftttf，有 tttstde )( )( 0 Lttstde )( 0 1ede )( 0 tststtt解解 11例例7 求函數 )0)(e )( e)( tuttftt的拉氏變換。 ttftfstde )( )( L 0 ttttstsde de)( 0 0 )()(ssssttts1e e0)(s0)(解解 ttutstttde )(e )(

5、e 0 在實際工作中，求函數的拉氏變換可通過拉氏變換表查得。 123拉氏變換的性質拉氏變換的性質 為了敘述方便起見，假定要求拉氏變換的函數都滿足拉氏變換存在定理中的條件，并且把這些函數的增長指數都統一地取為c。以下均設)()(),()(),()(2211sFtfLsFtfLsFtfL13a. 線性性質線性性質 若 ,是常數，則有 . )(L )(L )( )( L; )(L )(L )( )( L21112112121sFsFtFsFtftftftf-根據定義，利用積分性質就可推出這個性質。此性質表明：函數線性組合的拉氏變換等于各函數拉氏變換的線性組合。14 b 微分性質微分性質 )0()()

6、(fssFtfL證證 由定義并利用分部積分法得 )(Ltf 0 de )(ttfst)0()( ftfsL)(cs (Re這個性質表明：一個函數求導后取拉氏變換等于這個函數的拉氏變換乘以參變數s，再減去函數的初值。 ttfstfststd)e(e )( 0 015推論推論: : ) 0() 0() 0()()() 1(21)(nnnnnffsfssFstfL特別，當初值 0)0()0()0()1(nfff時，有,),()(L),()(L2sFstfssFtf )()()(sFstfnnL此性質使我們有可能將 )(tf的微分方程轉化為F(s)的代數方程，因此它對分析線性系統有著重要的作用。)(c

7、s (Re16例例 求函數 kttfcos)(的拉氏變換。 解 由于 ktktfffcos)(, 0)0(, 1)0(2 由微分性質有 )0()0()()( cos22fsftfstfktk LLL即 sktsktk cos cos22LL移項化簡得 2 coskssktL)0)(s(Re17例例 求函數 mttf)(的拉氏變換，其中m是正整數 解 由于 0)0()0()0()1(mfff而 !)()(mtfm 所以 )0()0()()(!21)(fsfstfstfmmmmmLLL)0()1(mf18即 mmtsmLL!而 smmm!1!LL所以 !1mmsmtL)0)(s(Re 由拉氏變換存

8、在定理，可得到象函數的微分性質： csttfsF)(,)()(ReL一般地，有 cstftsFnn)(,)()()()(ReL19例例 求函數 ktttfsin)(的拉氏變換。 解 因為 )sinL22kskkt根據象函數的微分性質 22222)(2 dd)sinLksksksksktt同理可得， 2222222)( dd) cosLksksksssktt20c積分性質積分性質 )(1d)(L 0 sFsttft證證 設 tttfth 0 d)()(，則有 )()(tfth，且 0)0(h由微分性質，有 )( )0()( )(thshthsthLLL即 )(1)(L 1d)(L 0 sFstf

9、sttft 這個性質表明：一個函數積分后再取拉氏變換等于這個函數的拉氏變換除以復參數s。 21重復應用積分性質可得： )(1d)(dd 0 0 0 sFsttfttntntt次L 此外，由拉氏變換存在定理，還可以得到象函數的積分性質： d)()( sssFttfL或 1)d()(sssFttfL一般地，有 d)( dd)(snssnssFssttf次L22例例 求函數 tttfsinh)(的拉氏變換。 解 因為 11sinh2stL據象函數的積分性質可知 ssstttssd 11d sinh sinh 2 LL11ln2111ln21sssss23其中 )()(tfsFL這一公式，常用來計算某

10、些積分。 存在，在象函數的積分性質公式中取s = 0，則有 0 0 )d(d)(ssFtttf如果積分 0 d)(tttf24例例 求積分 0 dsin ttt解 因為 11sin2stL且 0 0 )d(d)(ssFtttf所以2arctand11dsin 0 02 0 sssttt25d位移性質位移性質 若 )()(sFtfL，則有 )( )()(ecasasFtfatReL證證 ttfttftftasstatatde )(de )(e)(e 0 )( 0 L上式右方只是在 )(sF中把s換成 as ，所以 )( )()(ecasasFtfatReL這個性質表明：一個象原函數乘以指數函數

11、eat的拉氏變換等于其象函數作位移a。26例例 求 matteL 解 因為 1) 1(mmsmtL利用位移性質，可得 1)() 1(emmatasmtL27例例 求 ktatsineL解 因為 22sinLkskkt由位移性質得 22)(sineLkaskktat285. 延遲性質延遲性質 若 )()(sFtfL，又 0t時 0)(tf則對于任一非負實數 有 ),(e)(LsFtfs或 )()(eL1tfsFs證 ttftfstde )()( 0 Lttfttfststde )(de )( 0 29由于 t 時， 0)(tf，所以上式右端第一個積分為零。對于第二個積分，令 ut，則 uuftf

12、usde )()()( 0 Luufsusde )(e 0 )()(ecssFsRe30函數 )(tf 與f(t)相比，f(t)是從t = 0開始有非零數值， 而 )(tf是從 t 開始才有非零數值，即延遲了一個時間 。從它們的圖象來講， )(tf的圖象是由f(t)的圖象沿t 軸向右平移距離而得。象函數乘以指數因子 se。 這個性質表明，時間函數延遲 的拉氏變換等于它的31例例 求函數 tttu , 1 , 0)(的拉氏變換。 解 由于 stu1)(L根據延遲性質，有 sstue1)(L32二、拉氏逆變換 在實際應用中常會碰到的問題是：已知象函數)(sF求它的象原函數f(t)。由拉氏變換的概念

13、可知，函數 的拉氏變換就是 的傅氏變換。 )(tfttutf e)()(33于是，當 ttutf e )()(滿足傅氏積分定理的條件時，按傅氏積分公式，在 )(tf連續點處有: de dee )()(21e )()(j j tttuftutf de )(de21 0 )j(jft 0,de )j(21 jtFt34等式兩邊乘以 ，并考慮到它與積分變量 無關，則 t e 0,de )j(21)( )j(tFtft令 ，有 sj 0,de )(j 21)(j j stssFtft這就是從象函數F(s)求它的象原函數f(t)的一般公式，右端的積分稱為拉氏反演積分反演積分。35此公式是一個復變函數的積

14、分，通常計算起來比較困難，但當F(s)滿足一定條件時，可以用留數學方法來計算這個反演積分，特別當F(s)為有理函數時更為簡單。 36定定 理理 若 是函數 的所有奇點（適當選取 使這些奇點全在 的范圍內），且當 時， ，則有 nsss,21)(sF)(sRes0)(sF e )(Rede )(j 211j j stnkssstsFsssFk即即0, e )(Re)(1tsFstfstnkssk37例例1：求求1)(2sssF的逆變換。的逆變換。 解解 : F(s)有兩個一級極點有兩個一級極點 j, j1sss由拉氏反演積分公式得由拉氏反演積分公式得 j21e2e21L)(sstjsstssss

15、sstf0 ,cos)ee (21jjtttt38 例例2： 求求2) 1(1)(sssF的逆變換。的逆變換。 解: s=0 為一級極點，s=1為二級極點，拉氏反演積 分公式得 stssstsssssstfe) 1(1) 1(ddlime1431)(22102ststsstssstsse1elim1e1ddlim12110 ),1(e1)ee(1tttttt39例例3： 求求) 1(1)(2sssF的逆變換的逆變換。 解 : 利用部分分式的方法將F(s)化成 1111) 1(1)(22ssssssF所以)1(1L)(21sstfs1L1211Ls) 1(1L1stet 140卷卷 積積 拉氏變

16、換的卷積性質，不僅被用來求某些函數的逆變換及一些積分值，而且在線性系統的分析中起著重要的作用。 411. 卷積的概念卷積的概念傅氏變換中兩個函數的卷積是指 tfftftfd )()()()( 2121在拉氏變換中函數 如果都滿足條件：當t0時， )()(21tftf與0)()(21tftf則上式可寫成 ttfftfftftf 0 210 2121d )()(d )()()()(tfftd )()(2 1tfftd )()(2 0 1今后如不特別聲明，都假定這些函數在t0時恒為零。 42 例例1 求函數 和 的卷積， 即求 。 ttf)(1ttfsin)(2ttsin解：根據定義得：ttttd

17、)sin(sin 0 ttsintttd )cos(t)cos( 0 043卷積的性質：卷積的性質： )()()()(2121tftftftf)()()()(1221tftftftf)()()()()()(321321tftftftftftf)()()()()()()(3121321tftftftftftftf442. 卷積定理卷積定理 假定 ， 滿足拉氏變換存在定理中的條件，且 ，則 的拉氏變換一定存在，且ttf)(1)(2tf)()(),()(2211sFtfsFtfLL)()(21tftf).()()()(),()()()(212112121tftfsFsFsFsFtftfLL或45推論

18、若 滿足拉氏變換存在定理中的條件，且 ，則有 ), 2 , 1)(nktfk), 2 , 1( )()(LnksFtfkk)( )( )()()()(2121sFsFsFtftftfnnL 在拉氏變換的應用中，卷積定理起著十分重要的作用。下面舉例說明它在求函數的逆變換中的應用。 46 例例2 設 ，求f(t)。 )1 (1)(22sssF解:111)1 (1)(2222sssssF11)(,1)(2221ssFssF 令ttfttfsin)(,)(21則根據卷積定理和例1得 tttttftftfsinsin)()()(2147例例3 設 ，求f(t)。 222) 1()(sssF解：11) 1

19、()(22222sssssssF0 ,cos1L ,21ttssttsssstfcoscos11)(221-L所以ttd )cos(cos 0 tttd )2cos(cos21 0 )sincos(21ttt48 例例4 設 ，求f(t)。 22)134(1)(sstfL解：222223)2(1)134(1)(ssstfLtst-3sine3)2(12221L根據位移性質， 所以)3sine ()3sine (91)(22tttftttttd )(3sine3sine91 0 )(2249tttd )(3sin3sine91 0 2ttttd 3cos)36cos(21e91 0 2tttt023cos6)3sin(6e181)3cos33sin(e5412tttt50微分方程的拉氏變換解法微分方程的拉氏變換解法 利用拉氏變換的線性性質和微分性質來解常微分方程，其方法是先取拉氏變換把微分方程化為象函數的代數方程，根據這個代數方程求出象函數，然后再對象函數取逆變換就得出原來微分方程的解。解法的的過程如下圖所示。 51象 函 數象 原 函 數(微分方程的解)象 函 數 的代 數 方 程微 分 方